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1、第2课时 正弦定理和余弦定理,第一章 1.1.2 余弦定理,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.熟练掌握正弦、余弦定理及其变形形式. 2.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、证明及形状判断等问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 正弦定理、余弦定理及常见变形 1.正弦定理及常见变形,外接圆的半径,2.余弦定理及常见变形 (1)a2 ， b2 ， c2 ；,(2)cos A ， cos B ， cos C .,b2c22bccos A,a2c22accos B,a2b22abcos C,知识点二 有关三角
2、形的隐含条件 (1)由ABC180可得 sin(AB) ，cos(AB) ， (2)由大边对大角可得sin Asin BA B. (3)由锐角ABC可得任意两内角之和大于 ，进而可得sin A cos B.,sin C,cos C,1.当b2c2a20时，ABC为锐角三角形.( ) 2.ABC中，若cos 2Acos 2B，则AB.( ) 3.在ABC中，恒有a2(bc)22bc(1cos A).( ) 4.ABC中，若c2a2b20，则角C为钝角.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,题型一 利用正弦、余弦定理解三角形
3、,解 由ccos Bbcos C，结合正弦定理，得sin Ccos Bsin Bcos C， 故sin(BC)0，0B，0C， BC，BC0，BC，故bc.,引申探究 1.对于本例中的条件，ccos Bbcos C，能否使用余弦定理？,化简得a2c2b2a2b2c2， c2b2，从而cb.,2.本例中的条件ccos Bbcos C的几何意义是什么？,解 如图， 作ADBC，垂足为D. 则ccos BBD，bcos CCD. ccos Bbcos C的几何意义为边AB，AC在BC边上的射影相等.,反思感悟 (1)边、角互化是处理三角形边、角混合条件的常用手段. (2)解题时要画出三角形，将题目条
4、件直观化，根据题目条件，灵活选择公式.,跟踪训练1 在ABC中，已知b2ac，a2c2acbc. (1)求A的大小；,解 由题意及余弦定理知，,题型二 判断三角形形状,解 方法一 由正弦定理知，a2Rsin A，b2Rsin B，R为ABC外接圆半径.,sin Acos Bsin Bcos Bsin Acos Bsin Acos A， sin Bcos Bsin Acos A， sin 2Bsin 2A， 2A2B或2A2B，,ABC为等腰三角形或直角三角形.,a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， a2c2a4b2c2b4， c2(a2b2)(a2b2)(a2b2). a2b2或c2a2
5、b2. ABC是等腰三角形或直角三角形.,反思感悟 (1)要结合题目特征灵活选择使用正弦定理还是使用余弦定理. (2)变形要注意等价性，如sin 2Asin 2B2A2B. c2(a2b2)(a2b2)(a2b2) c2a2b2.,跟踪训练2 在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定,sin2Asin2Bsin2C可化为 a2b2c2，a2b2c20.,角C为钝角，ABC为钝角三角形.,题型三 利用正弦、余弦定理进行求值、化简和证明,例3 在ABC中，有 (1)abcos Cccos B； (2)bccos A
6、acos C； (3)cacos Bbcos A， 这三个关系式也称为射影定理，请给出证明.,证明 方法一 (1)由正弦定理，得 b2Rsin B，c2Rsin C， bcos Cccos B2Rsin Bcos C2Rsin Ccos B 2R(sin Bcos Ccos Bsin C) 2Rsin(BC) 2Rsin Aa. 即abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,方法二 (1)由余弦定理，得,abcos Cccos B. 同理可证(2)bccos Aacos C； (3)cacos Bbcos A.,反思感悟 证明三
7、角形中边角混合关系恒等式，可以考虑两种途径：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系，正弦借助正弦定理转化，余弦借助余弦定理转化；二是通过正弦定理把边的关系转化为角的关系.,1,求三角形一角的值,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,a2c2b22accos B，,素养评析 选择运算方法是数学运算素养的内涵之一.运算从一点出发可以有无限个方向.一个式子也可以有无限个变形，逐个试探肯定不现实.那么如何选择运算方向才能算得出，算得快？要点有3个：,观察联想，如看到a2c2b2应联想到a2c2b22accos B. 权衡选择，如本例也可把所有的边都化为相应
8、角的正弦，但权衡运算繁简，不如整体把a2c2b2化为2accos B简单.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,1.在ABC中，若b2a2c2ac，则B等于 A.60 B.45或135 C.120 D.30,解析 b2a2c22accos Ba2c2ac，,又0B180， B120.,1,2,3,4,2.在ABC中，角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，若asin Absin B csin C，则ABC的形状是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定,解析 根据正弦定理可得a2b2c2.,故C是钝角，ABC是钝角三角形.,1,2,3,4,3.已知在ABC
9、中，sin Asin Bsin C432，则cos B等于,解析 依题意设a4k，b3k，c2k(k0)，,1,2,3,4,4.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccos Aacos C2c，若ab，则sin B等于,1,2,3,4,解析 ccos Aacos C2c， 由正弦定理可得sin Ccos Asin Acos C2sin C， sin(AC)2sin C， sin B2sin C，b2c， 又ab，a2c.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.熟悉正弦、余弦定理的各种变形，注意观察题目条件的结构特征，根据这些特征尽量使用正弦、余弦定理各种变形整体代换，可以有效减少计算量. 2.对所给条件进行变形，主要有两种方向 (1)化边为角. (2)化角为边.,