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1、3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域,第三章 3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.理解二元一次不等式(组)的解、解集的概念. 2.会画出二元一次不等式(组)表示的平面区域. 3.能把平面区域用不等式(组)表示.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 二元一次不等式(组)的概念 1.含有两个未知数，并且未知数的次数是1的不等式称为 不等式. 2.由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 3.满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成有序数对(x，y)称
2、为二元一次不等式(组)的一个 . 4.所有这样的有序数对(x，y)构成的 称为二元一次不等式(组)的解集.,二元一次,解,集合,知识点二 二元一次不等式表示的平面区域 1.在平面直角坐标系中，二元一次不等式AxByC0(或0(或0)表示的是直线AxByC0哪一侧的平面区域.,虚线,实线,相同,知识点三 二元一次不等式组表示的平面区域 1.二元一次不等式组的解集为组中各不等式解集的交集，其表示的平面区域是组中各不等式表示区域的公共部分. 2.画二元一次不等式组表示的平面区域的步骤： (1)画线画出不等式组中各不等式所对应的方程表示的直线(如果原不等式中带等号，则画成实线，否则画成虚线)； (2)
3、定侧将某个区域内的一个特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧； (3)求交在确定了各个不等式所表示的平面区域后，再求这些平面区域的公共部分，这个公共部分就是不等式组所表示的平面区域，“直线定界，特殊点定域”的方法仍然适用.,1.点(1,2)是不等式组 的解.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2.x1也可理解为二元一次不等式，其表示的平面区域位于直线x1右侧. ( ) 3.点(1,2)不在2xy10表示的平面区域内.( ),4. 表示的平面区域为第一象限.( ),2,题型探究,PART TWO
4、,解析 点(3,1)和(4,6)必有一个是3x2ya0的解，另一个点是3x2ya0的解.,题型一 二元一次不等式解的几何意义,例1 已知点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是 .,(7,24),即(3321a)3(4)26a0， (a7)(a24)0，解得7a24.,反思感悟 对于直线l：AxByC0两侧的点(x1，y1)，(x2，y2)，若Ax1By1C0，则Ax2By2C0，即同侧同号，异侧异号.,跟踪训练1 经过点P(0，1)作直线l，若直线l与连接A(1，2)，B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围.,解 由题意知直线l的斜率存在，设为k.
5、 则可设直线l的方程为kxy10， 由题意知A，B两点在直线l上或在直线l的两侧， 所以有(k1)(2k2)0， 所以1k1.,题型二 二元一次不等式表示的平面区域,命题角度1 由不等式画平面区域 例2 画出不等式x4y4表示的平面区域.,多维探究,解 先作出边界x4y4， 因为这条线上的点都不满足x4y4， 所以画成虚线.取原点(0,0)，代入x4y4， 因为040440， 所以原点(0,0)在x4y40表示的平面区域内， 所以不等式x4y4表示的平面区域在直线x4y4的左下方. 所以x4y4表示的平面区域如图阴影部分所示.,反思感悟 画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定
6、域”的方法.特别是当C0时，常把原点(0,0)作为测试点，当C0时，常把(0,1)或(1,0)作为测试点.,跟踪训练2 不等式x2y60表示的平面区域在直线x2y60的 A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方,解析 在平面直角坐标系中画出直线x2y60， 观察图象(图略)知原点在直线的右下方，将原点(0,0)代入x2y6， 得00660，所以原点(0,0)在不等式x2y60表示的平面区域内， 故选B.,命题角度2 给不等式组画平面区域 例3 画出下列不等式组所表示的平面区域.,解 x2y3，即x2y30，表示直线x2y30上及左上方的区域； xy3，即xy30，表示直线xy30上及左下
7、方的区域； x0表示y轴及其右边区域； y0表示x轴及其上方区域. 综上可知，不等式组(1)表示的区域如图阴影部分(含边界)所示.,解 xy2，即xy20，表示直线xy20左上方的区域； 2xy1，即2xy10，表示直线2xy10上及右上方的区域； xy2表示直线xy2左下方的区域. 综上可知，不等式组(2)表示的区域如图阴影部分所示.,反思感悟 在画二元一次不等式组表示的平面区域时，应先画出每个不等式表示的区域，再取它们的公共部分即可.其步骤：画线；定侧；求“交”；表示.但要注意是否包含边界.,跟踪训练3 用平面区域表示不等式组 的解集.,解 不等式y3x12，即3xy120， 表示的平面区
8、域在直线3xy120的左下方； 不等式x2y，即x2y0，表示的是直线x2y0左上方的区域. 取两区域重叠的部分， 如图中的阴影部分就表示原不等式组的解集.,题型三 二元一次不等式组表示平面区域的应用,例4 已知约束条件 表示面积为1的直角三角形区域，则实数,k的值为 A.1 B.1 C.0 D.0或1,解析 条件 表示的平面区域，如图阴影部分(含边界)所示，,要使约束条件表示直角三角形区域， 直线kxy0要么垂直于直线x1， 要么垂直于直线xy40，k0或k1. 当k0时，直线kxy0，即y0，交直线x1， xy40于点B(1,0)，C(4,0). 此时约束条件表示ABC及其内部，,同理可验
9、证当k1时符合题意.,反思感悟 平面区域面积问题的解题思路 (1)求平面区域的面积： 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解，再求和即可. (2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解.,跟踪训练4 已知不等式组 表示的平面区域为D，若直线ykx,1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是 .,解析 由题意可得A(0,1)，B(1,0
10、)，C(2,3).,直线ykx1过点A.,核心素养之直观想象,HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG,数形结合的魅力,典例 我们可以验证点(1,2)是不等式xy6的一个解.怎么证明直线xy6左上方半平面(不包括边界)上所有点均是xy6的解？,证明 设点A(x0，y0)位于直线xy6左上方区域， 则过点A作直线ABy轴，交直线xy6于点B. 设B(x0，y1)，则有y0y1. B在直线xy6上， x0y16. 由y0y1，得y0y1，x0y0x0y16. 即点(x0，y0)满足不等式xy6. xy6左上方半平面区域任一点均是xy6的解.,素养评析 提升学生的数形结合能力，
11、是培养直观想象核心素养的一大具体任务，本例证明任务是代数问题：不等式的解的问题.在证明过程中，我们把“直线左上方区域”这一几何条件，转化成数：y0y1，再借助代数手段：不等式性质，严谨证明了一个初看无从下手的问题，完善诠释了数形结合的魅力.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,1.不在不等式3x2y6表示的平面区域内的一个点是 A.(0,0) B.(1,1) C.(0,2) D.(2,0),解析 将四个点的坐标分别代入不等式中， 其中点(2,0)代入后不等式不成立， 故此点不在不等式3x2y6表示的平面区域内，故选D.,2.已知点(1,2)和点(3，3)在直线3xya0的两侧，则a
12、的取值范围是 A.(1,6) B.(6,1) C.(，1)(6，) D.(，6)(1，),解析 由题意知，(32a)(93a)0， 即(a1)(a6)0，1a6.,1,2,3,3.(1)画出 表示的平面区域；,解,1,2,3,(2)画出(y2x)(x2y4)0表示的平面区域.,解,1,2,3,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.二元一次不等式(组)的一个解对应一个坐标点，解集对应点集一般形成一个平面区域. 2.画边界直线.画出不等式所对应的方程表示的直线，若此区域包括边界，则直线画成实线；若不包括边界，则画成虚线(即看不等式能否取到等号). 3.特殊点定域.确定边界后，只需在直线的某一侧取一特殊点(原点不在边界上时，常取原点，在边界上时，取坐标轴上的点)验证其坐标是否满足二元一次不等式，若满足不等式，则区域为特殊点所在一侧，不满足，则为另一侧. 简记为“直线定界，特殊点定域”.,