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1、章末复习,第三章 空间向量与立体几何,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.梳理本章知识，构建知识网络. 2.巩固空间向量的基本运算法则及运算律. 3.会用向量法解决立体几何问题.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,知识梳理,题型探究,达标检测,1,知识梳理,PART ONE,1.空间中点、线、面位置关系的向量表示 设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则,a,a0,kv，kR,ab,ab0,v0,2.用坐标法解决立体几何问题 步骤如下： (1)建立适当的空间直角坐标系； (2)写出相关点的坐标及向量的坐标； (3)进行相关坐标的运算； (4)写出几何意义下的结论.
2、,关键点如下： (1)选择恰当的坐标系.坐标系的选取很重要，恰当的坐标系可以使得点的坐标、向量的坐标易求且简单，简化运算过程. (2)点的坐标、向量的坐标的确定.将几何问题转化为向量的问题，必须确定点的坐标、直线的方向向量、平面的法向量，这是最核心的问题. (3)几何问题与向量问题的转化.平行、垂直、夹角问题都可以通过向量计算来解决，如何转化也是这类问题解决的关键.,4.若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行.( ),1.向量a，b的夹角a，b与它们所在直线所成的角相等.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题型探究,PART TWO,例1
3、 如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，S到A，B，C，D的距离都等于2.给出以下结论：,题型一 空间向量及其运算,其中正确结论的序号是_.,反思感悟 向量的表示与运算的关键是熟练掌握向量加减运算的平行四边形法则、三角形法则及各运算公式，理解向量运算法则、运算律及其几何意义.,由已知ABCD是平行四边形，,题型二 利用空间向量解决位置关系问题,例2 在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证： (1)PC平面EBD；,证明 如图，以D为坐标原点，分别以DC，DA，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz. 设DCa，P
4、Db，,设平面EBD的法向量为n(x，y，z)，,(2)平面PBC平面PCD.,设平面PBC的法向量为m(x1，y1，z1)，,反思感悟 (1)证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量. (2)证明线面平行的方法 证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. 能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线. 利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.,(3)证明面面平行的方法 转化为线线平行、线面平行处理. 证明这两个平面的法向量是共线向量. (4)证明两条直线垂直，只需证明这两条直线的方向向量垂直. (5)证明线面垂直的方法 证明直线的方向向量与平
5、面的法向量是共线向量. 证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量互相垂直. (6)证明面面垂直的方法 转化为证明线面垂直. 证明两个平面的法向量互相垂直.,跟踪训练2 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，CD的中点，求证：平面AED平面A1FD1.,证明 如图，建立空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为1，,设m(x1，y1，z1)，n(x2，y2，z2)分别是平面AED和A1FD1的法向量，,令y11，得m(0,1，2).,令z21，得n(0,2,1). mn(0,1，2)(0,2,1)0， mn，平面AED平面A1FD1.,题型三 利用空间向量求角,例3 如图，在直
6、三棱柱ABC-A1B1C1中，AB4，ACBC3，D为AB的中点. (1)求点C到平面A1ABB1的距离；,解 由ACBC，D为AB的中点，得CDAB，又CDAA1，AA1ABA， 故CD平面A1ABB1，,(2)若AB1A1C，求二面角A1-CD-C1的平面角的余弦值.,解 如图，过D作DD1AA1交A1B1于D1，在直三棱柱中，易知DB，DC，DD1两两垂直，以D为原点，DB，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz. 设直三棱柱的高为h，,设平面A1CD的法向量为m(x1，y1，z1)，,设平面C1CD的法向量为n(x2，y2，z2)，,取x21，得n(1,0
7、,0)，,反思感悟 用向量法求空间角的注意点 (1)异面直线所成角：两异面直线所成角范围为090，需找到两异面直线的方向向量，借助方向向量所成角求解. (2)直线与平面所成的角：要求直线a与平面所成的角，先求这个平面的法向量n与直线a的方向向量a的夹角的余弦值cosn，a，再利用公式sin |cosn，a|，求. (3)二面角：,如图，有两个平面与，分别作这两个平面的法向量n1与n2，则平面与所成的角跟法向量n1与n2所成的角相等或互补，所以首先必须判断二面角是锐角还是钝角.,跟踪训练3 如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB平面BEC，BEEC，ABBEEC2，G，F分别是线
8、段BE，DC的中点. (1)求证：GF平面ADE；,证明 方法一 如图，取AE的中点H，连接HG，HD， 又G是BE的中点，,又F是CD的中点，,由四边形ABCD是矩形， 得ABCD，ABCD， 所以GHDF，且GHDF， 从而四边形HGFD是平行四边形，所以GFDH. 又DH平面ADE，GF平面ADE， 所以GF平面ADE.,方法二 如图，取AB中点M，连接MG，MF. 又G是BE的中点，可知GMAE. 又AE平面ADE，GM平面ADE， 所以GM平面ADE. 在矩形ABCD中，由M，F分别是AB，CD的中点得MFAD. 又AD平面ADE，MF平面ADE. 所以MF平面ADE. 又因为GMM
9、FM，GM平面GMF，MF平面GMF， 所以平面GMF平面ADE. 因为GF平面GMF，所以GF平面ADE.,(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值.,解 如图，在平面BEC内， 过B点作BQEC. 因为BECE，所以BQBE. 又因为AB平面BEC，所以ABBE，ABBQ. 以B为原点，分别以BE，BQ，BA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Bxyz， 则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1).,为平面BEC的法向量.设n(x，y，z)为平面AEF的法向量.,取z2，得n(2，1,2).,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,
10、4,5,解析 在BCD中，因为点G是CD的中点，,1,2,3,4,5,2.在以下命题中，不正确的个数为 |a|b|ab|是a，b共线的充要条件； 对ab，则存在唯一的实数，使ab；,|(ab)c|a|b|c|. A.2 B.3 C.4 D.1,1,2,3,4,5,解析 由|a|b|ab|，得a与b的夹角为，故是充分不必要条件，故不正确； b需为非零向量，故不正确； 因为2211，由共面向量定理知，不正确； 由向量的数量积的性质知，不正确.,1,2,3,4,5,3.(2018安徽黄山高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，A(0,1,0)，B(1,1,1)，C(0,2,1)确定的平面记为，不经过点
11、A的平面的一个法向量为n(2,2，2)，则与的关系为_.,平行,故n也是平面的一个法向量，又点A不在平面内，故.,4.已知平面经过点O(0,0,0)，且e(1,1,1)是的一个法向量，M(x，y，z)是平面内任意一点，则x，y，z满足的关系式是_.,1,2,3,4,5,xyz0,1,2,3,4,5,5.如图，在RtABC中，ACB90，AC4，BC2，E，F分别在AC和AB上，且EFCB.将它沿EF折起，且平面AEF平面EFBC，且四棱锥AEFBC的体积为2. (1)求EF的长；,1,2,3,4,5,解 因为EFCB，ACB90， 所以CEEF，AEEF. 又平面AEF平面EFBC， 平面AE
12、F平面EFBCEF，AEEF， AE平面AEF， 所以AE平面EFBC. 设EFx，由于EFBC，AC4，BC2，在图1中，,1,2,3,4,5,即(x1)(x2x3)0，,1,2,3,4,5,(2)当EF的长度为1时，求直线AC与平面ABF夹角的正弦值.,1,2,3,4,5,解 以E为坐标原点，EF，EC，EA所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Exyz， 因为EF1，则A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，F(1,0,0).,设平面ABF的法向量n(x，y，z)，,1,2,3,4,5,令z1，则x2，y1， 所以n(2，1,1)，设直线AC与平面ABF的夹角为，,课堂小结,KETANGXIAOJIE,解决立体几何中的问题，可用三种方法：几何法、基向量法、坐标法.几何法以逻辑推理作为工具解决问题；基向量法利用向量的概念及其运算解决问题；坐标法利用数及其运算来解决问题.坐标方法经常与向量运算结合起来使用.,本课结束,更多精彩内容请登录：,