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1、第2课时 等差数列的性质,第二章 2.2 等差数列,学习目标,XUEXIMUBIAO,1.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 2.能运用等差数列的性质简化计算.,NEIRONGSUOYIN,内容索引,自主学习,题型探究,达标检测,1,自主学习,PART ONE,知识点一 等差数列通项公式的变形及推广 andn(a1d)(nN*)， anam(nm)d(m，nN*)，,d (m，nN*，且mn).,其中的几何意义是点(n，an)均在直线ydx(a1d)上. 可以用来利用任一项及公差直接得到通项公式，不必求a1.,即斜率公式k ，可用来由等差数列任两项求公差.,知识点二 等差数列的性质
2、在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则am ap .特别地，若mn2p，则aman2ap. 知识点三 由等差数列衍生的新数列 若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有,an,aq,1.若数列an的通项公式anknb，则an是公差为k的等差数列.( ) 2.等差数列an中，必有a10a1a9.( ) 3.若数列a1，a2，a3，a4，是等差数列，则数列a1，a3，a5，也是等差数列.( ) 4.若数列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3是等差数列.( ),思考辨析 判断正误,SIKAOBIANXIPANDUANZHENGWU,2,题
3、型探究,PART TWO,题型一 anam(nm)d的应用,例1 在等差数列an中，已知a25，a817，求数列的公差及通项公式.,解 因为a8a2(82)d，所以1756d，解得d2. 又因为ana2(n2)d， 所以an5(n2)22n1，nN*.,反思感悟 灵活利用等差数列的性质，可以减少运算.令m1，anam(nm)d即变为ana1(n1)d，可以减少记忆负担.,跟踪训练1 已知bn为等差数列，若b32，b1012，则b8 .,8,解析 方法一 bn为等差数列，可设其公差为d，,bnb3(n3)d2n8. b82888.,题型二 等差数列性质的应用,例2 已知等差数列an中，a1a4a
4、715，a2a4a645，求此数列的通项公式.,解 方法一 因为a1a72a4，a1a4a73a415， 所以a45. 又因为a2a4a645，所以a2a69， 所以(a42d)(a42d)9，即(52d)(52d)9， 解得d2. 若d2，ana4(n4)d2n3，nN*； 若d2，ana4(n4)d132n，nN*.,方法二 设等差数列的公差为d， 则由a1a4a715，得a1a13da16d15， 即a13d5. 由a2a4a645， 得(a1d)(a13d)(a15d)45， 将代入上式，得(52d)5(52d)45， 即(52d)(52d)9， 联立解得a11，d2或a111，d2，
5、 即an12(n1)2n3，nN*； 或an112(n1)2n13，nN*.,引申探究 1.在例2中，不难验证a1a4a7a2a4a6，那么，在等差数列an中，若mnpqrs，m，n，p，q，r，sN*，是否有amanapaqaras?,解 设公差为d，则ama1(m1)d， ana1(n1)d， apa1(p1)d， aqa1(q1)d， ara1(r1)d， asa1(s1)d， amanap3a1(mnp3)d， aqaras3a1(qrs3)d， mnpqrs， amanapaqaras.,2.在等差数列an中，已知a3a810，则3a5a7 .,20,解析 a3a810，a3a3a8
6、a820. 33885557， a3a3a8a8a5a5a5a7， 即3a5a72(a3a8)20.,反思感悟 解决等差数列运算问题的一般方法：一是灵活运用等差数列an的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的求解，属于通用方法；或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想.,跟踪训练2 在等差数列an中，已知a1a4a739，a2a5a833， 求a3a6a9的值.,解 方法一 (a2a5a8)(a1a4a7)3d， (a3a6a9)(a2a5a8)3d， a1a4a7，a2a5a8，a3a6a9成等差数列. a3a6a92(a2a5a8)(a1a4a7) 2333927.
7、 方法二 a1a4a7a1(a13d)(a16d) 3a19d39， a13d13， a2a5a8(a1d)(a14d)(a17d) 3a112d33. a14d11， ,a3a6a9(a12d)(a15d)(a18d) 3a115d31915(2)27.,题型三 等差数列的设法与求解,例3 已知三个数成单调递增等差数列，它们的和等于18，它们的平方和等于116，求这三个数.,解 设这三个数分别为ad，a，ad，且d0.,d0，a6，d2. 这个数列是4,6,8.,反思感悟 设等差数列的三个技巧 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：，xd，x，xd，此时公差为d. (2)对于连续偶数项的等
8、差数列，通常可设为：，a3d，ad，ad，a3d，此时公差为2d. (3)等差数列的通项可设为anpnq.,跟踪训练3 三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数.,解 设这三个数分别为ad，a，ad.,所求三个数为2,2,6或6,2，2.,核心素养之数学运算,HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN,数列问题如何选择运算方法,典例 等差数列an中，a3a72a1540，求a10.,解 方法一 设an的公差为d. 则a3a72a15a12da16d2(a114d) 4a136d4(a19d) 4a1040， a1010. 方法二 a3a72a15a3a7a1
9、5a15a10a10a10a1040， a1010.,素养评析 等差数列中的计算大致有两条路：一是都化为基本量(a1，d，n)然后解方程(组)；二是借助等差数列性质简化计算.前者是通用方法，但计算量大，后者不一定每个题都能用，能用上会使计算简单些，所以建议学习者立足通法，注意观察各项序号特点，能巧则巧，但不要刻意追求巧法.,3,达标检测,PART THREE,1,2,3,4,5,1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于 A.3 B.6 C.4 D.3,解析 由等差数列的性质得a8a3(83)d5d，,1,2,3,4,5,2.在等差数列an中，已知a42，a814，则a15等于
10、 A.32 B.32 C.35 D.35,解析 由a8a4(84)d4d14212，得d3， 所以a15a8(158)d147335.,1,2,3,4,5,3.等差数列an中，a4a515，a712，则a2等于,解析 由数列的性质，得a4a5a2a7， 所以a215123.,1,2,3,4,5,4.设公差为2的等差数列an，如果a1a4a7a9750，那么a3a6a9a99等于 A.182 B.78 C.148 D.82,解析 a3a6a9a99 (a12d)(a42d)(a72d)(a972d) (a1a4a97)2d33 502(2)33 82.,1,2,3,4,5,5.在等差数列an中，已知amn，anm，m，nN*，则amn的值为 .,0,解析 设等差数列的公差为d，,从而amnam(mnm)dnn(1)0.,课堂小结,KETANGXIAOJIE,1.在等差数列an中，每隔相同数目的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数列仍然是等差数列. 2.在等差数列an中，首项a1与公差d是两个最基本的元素，有关等差数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可根据a1，d的关系列方程组求解，但是，要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.,