《2020版高中数学人教B版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的几何性质 （2） .pptx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版高中数学人教B版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的几何性质 （2） .pptx（42页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2.2 椭圆的几何性质,高中数学选修2-1精品课件,第二章 圆锥曲线与方程,复习回顾,椭圆的标准方程,当焦点在x轴上时，,当焦点在y轴上时，, 2 2 + 2 2 =1 0 ；, 2 2 + 2 2 =1 0 .,引入课题,解析几何研究的问题：,范围,对称性,顶点,离心率,知识点一：椭圆的范围,如何利用方程 2 2 + 2 2 =1 0 . 研究椭圆的范围？,x、y的取值范围, 2 2 0, 1,-axa, 2 2 0, 2 2 1,-byb,知识点二：椭圆的对称性,如何利用方程 2 2 + 2 2 =1(0) 研究椭圆的对称性？,-x、-y是否满足方程,(1)把x换成-x方程不变,图象关
2、于y轴对称；,图象关于x轴对称；,图象关于原点对称.,(3)把x换成-x，同时把y换成-y方程不变,(2)把y换成-y方程不变,知识点三：椭圆的顶点,如何利用方程 2 2 + 2 2 =1(0) 研究椭圆的顶点？,令x=0，y=0,令 x=0，得 y=b；,令 y=0，得 x=a.,长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别 叫做椭圆的长轴和短轴. a、b分别叫做椭圆的 长半轴长和短半轴长.,知识点四：椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：= .,1离心率的取值范围：,0e1,2离心率对椭圆形状的影响：,(1)e 越接近 1，c 就越接近 a，从而 b就越小，椭圆就越扁； (2)e 越接
3、近 0，c 就越接近 0，从而 b就越大，椭圆就越圆.,知识探究,当椭圆的焦点在y轴上时，其几何性质又如何？,|x| a, |y| b,关于x轴、y轴、原点对称,(0, a)、(0, -a)、(b, 0)、(-b, 0),(c,0)、(-c,0),长半轴长为a, 短半轴长为b, 2 2 + 2 2 =1(0),= ,典例分析,解：,求椭圆9x216y2144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,方程化为 2 16 + 2 9 =1， 于是a4，b3，c 7 ， 椭圆的长轴长2a8,短轴长2b6，,离心率e 7 4 ，又知焦点在x轴上， 焦点是F1( 7 ，0)和F2( 7 ，0)， 顶点是
4、A1(4，0)，A2(4，0)，B1(0，3)和B2(0，3),跟踪训练,求椭圆4x29y236的长轴长和焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率,解：将椭圆方程变形为 2 9 + 2 4 =1， a3，b2，c 5 . 椭圆的长轴长2a6，焦距2c2， 焦点坐标为F1( 5 ，0)，F2( 5 ，0)， 顶点坐标为A1(3，0)，A2(3，0)， B1(0，2)，B2(0，2)，离心率e 5 3 .,典例分析,求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)长轴长是10，离心率是 4 5 ； (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线 互相垂直，且焦距为6.,思路探索 判断焦点所在坐标轴并设出标准方程；
5、 利用题目条件求参数a，b，c.,典例分析,(1)长轴长是10，离心率是 4 5 ；,长轴及离心率 与焦点位置无关,由已知得2a10，a5.e 4 5 ，c4.,椭圆的标准方程为,b2a2c225169., 2 25 + 2 9 =1 或 2 9 + 2 25 =1 .,解：,典例分析,(2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线 互相垂直，且焦距为6.,x,A1,A2,F,O,y,c,b,a,由已知cb3， a2b2c218， 故所求椭圆的方程为 2 18 + 2 9 =1.,等腰直角 三角形,解：,跟踪训练,求满足下列各条件的椭圆的标准方程 (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，离心
6、率为 1 2 ， 焦距为8. (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点 到同侧顶点的距离为 3 .,解：(1)由题意知，2c8，c4， e = 1 2 ，a8， 从而b2a2c248， 椭圆的标准方程是 2 48 + 2 64 =1.,跟踪训练,(2)由已知：a=2c，a-c= 3 ， 解得：a=2 3 ，c= 3 ， b2=a2-c2=9， 椭圆的方程为, 2 12 + 2 9 =1 或 2 9 + 2 12 =1 .,x,O,y,a-c,a,典例分析,如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，A，B是椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1x轴，PF2AB，求此椭圆的离心率
7、,转化为a、b、c的关系,设椭圆的方程为 2 2 + 2 2 =1(ab0) 则有F1(c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0) ，,解：,典例分析,直线PF1的方程为xc，,代入方程 2 2 + 2 2 =1 ，得y 2 ，,e2 1 5 ，即e 5 5 ，,所以椭圆的离心率为 5 5 .,则b24c2，,a2c24c2，, 2 2 1 5 ., | 1 | | 1 2 | | | ，,即 2 2 ，化为b2c.,又PF2AB，PF1F2AOB.,P(c， 2 ),斜率相等也可,跟踪训练,如图所示，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等
8、于短半轴长的 2 3 ，求椭圆的离心率,解：设椭圆的方程为 2 2 + 2 2 =1(ab0)则有F1(c，0)，F2(c，0)，,由已知可解得M(c， 2 ),则 2 = 2 3 ，,化为= 3 2 ，,则 2 = 2 2 = 5 4 2 ，,= 5 2 ，,= = 5 3 .,归纳小结,1.椭圆基本量的求法 若方程非标准形式，先将所给方程化为标准形式， 然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上， 再利用a，b，c之间的关系和定义，求椭圆的基本量,归纳小结,2.利用性质求椭圆的标准方程，通常采用待定系数法， 而其关键是根据已知条件确定其标准方程的形式并 列出关于参数的关系式，利用解方程(组
9、)求解，同时 注意a、b、c、e的内在联系以及对方程两种形式的讨论,3.求离心率e时，除用关系式a2b2c2外， 还要注意e 的代换，通过方程思想求离心率,当堂训练,已知与椭圆 2 3 + 2 4 =1有相同的离心率 且长轴长与 2 8 + 2 3 =1的长轴长相同的椭圆 方程为 .,【答案】 2 8 + 2 6 =1或 2 6 + 2 8 =1,引入课题：直线与椭圆,已知椭圆 2 25 + 2 9 =1，直线l：4x-5y+40=0. 椭圆上是否存在一点，它到l的距离最小？ 是否存在到l距离最大的点？,x,O,y,知识点一：直线与椭圆的位置关系,1.直线与圆的位置关系有几种？ 如何判断？,三
10、种位置关系,相离、相切、相交,判断,几何法,代数法(),2.直线与椭圆的位置关系有几种？ 如何判断？,x,O,y,方程组解的个数,典例分析,解：,k为何值时，直线ykx2和曲线2x23y26有两个 公共点？有一个公共点？没有公共点？,即(23k2)x212kx60， 144k224(23k2)72k248， 当72k2480，即k 6 3 ，或k 6 3 时， 直线和曲线有两个公共点；,由,ykx2，,2x23y26，,得2x23(kx2)26，,典例分析,当72k2480，即k 6 3 ，或k 6 3 时， 直线和曲线有一个公共点； 当72k2480，即 6 3 k 6 3 时， 直线和曲线
11、没有公共点,跟踪训练,已知椭圆 2 25 + 2 9 =1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是否存在一点，它到l的距离最小？,x,O,y,由,4x-5yk0，,9x225y2225，,得25x28kxk2-2250，,解：设与l平行的直线m：4x-5y+k=0 与椭圆相切,令64k2425(k2-225)=0，,解得：k=25或k=-25，,显然当k=25时，m与l的距离最小，,最小为 15 41 41 .,知识点二：弦长问题,x,O,y,如何求圆的弦长？,如何求椭圆的弦长？,A(x1, y1),B(x2, y2),y=kx+m, = (x1x2) + (y1y2) ,= (x1x2) +
12、 (x1x2) ,= + (x1x2) ,= + (x1+x2) x1x2,y=kx+m,b2x2+a2y2-a2b2=0,几何性质,典例分析,已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且焦点在x轴上， 又椭圆截直线yx2所得线段AB的长为 16 2 5 . (1)求椭圆方程； (2)求OAB的面积,(1)由题意，a=2b， 设椭圆方程为 2 4 2 + 2 2 =1(b0)，,由,y=x+2，,x2+4y2-4b2=0，,得5x2+16x+16-4b2=0，,x,O,y,由韦达定理 1 + 2 = 16 5 , 1 2 = 164 2 5 ，,设A(x1, y1), B(x2, y2)，,解：,典例分
13、析,|AB|= (x1x2) 2 + (y1y2) 2,= 1+ 2 (x1+x2) 2 4x1x2,= 2 ( 16 5 ) 2 16 4 2 5,= 4 2 5 5 2 4,= 16 2 5,解得b2=4，b=2，a=4,椭圆方程为 2 16 + 2 4 =1.,(2)点O到直线的距离为= 2,SAOB= 1 2 = 16 5 .,跟踪训练,已知椭圆 2 9 y21，过左焦点F作倾斜角为30的直线交椭圆于A，B两点，求弦AB的长,【答案】2,知识点三：弦中点问题,圆中的弦的中点满足什么性质？,x,O,y,椭圆中的弦的中点满足此性质吗？,A(x1, y1),B(x2, y2),y=kx+m,
14、 0 = 1 + 2 2, 0 = 1 + 2 2,= 1 + +( 2 +) 2,= ( 1 + 2 ) 2 +,y=kx+m,b2x2+a2y2-a2b2=0,点在椭圆内,典例分析,已知椭圆 2 16 + 2 4 =1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程,显然直线的斜率存在，设为k， 则所求直线的方程为y1k(x2)， 代入椭圆方程并整理，得 (4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160, (*) 设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1、x2是(*)方程的两个根，,解：,想一想为什么？,无需求解,典例分析,x1x2 8(2 2
15、) 4 2 +1 .P为弦AB的中点， 2 1 + 2 2 4(2 2 ) 4 2 +1 . 解得k 1 2 ，,所求直线的方程为x2y40.,典例分析,设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)， P为弦AB的中点，x1x24，y1y22， 又A、B在椭圆上，x124y1216，x224y2216.,已知椭圆 2 16 + 2 4 =1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程,另解：,两式相减，得(x12x22)4(y12y22)0， 即(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.,典例分析, 1 2 1 2 1 + 2 4( 1 + 2 ) 1
16、2 ， 即kAB 1 2 . 所求直线方程为y1 1 2 (x2)， 即x2y40.,斜率,中点,典例分析,已知椭圆 2 16 + 2 4 =1，过点P(2，1)作一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程,设所求直线与椭圆的一交点为A(x，y)， 则另一交点为B(4x，2y) A、B在椭圆上，x24y216， (4x)24(2y)216， 得：x2y40上， 而过A、B的直线只有一条，所求直线的方程为x2y40.,另解：,对称性,跟踪训练,已知椭圆 2 2 y21，求过点P( 1 2 , 1 2 )且被P平分的弦 所在直线的方程,【答案】2x4y30,当堂训练,1若直线yxt与椭圆 2 4
17、 y21相交于A，B两点，当t变化时，|AB|的最大值是( ),A.2 B. 4 5 5 C. 4 10 5 D. 2 10 5,C,当堂训练,2直线ykx1与椭圆 2 5 + 2 =1总有公共点， 则m的取值范围是( ) Am1 Bm1或0m1 C0m5且m1 Dm1且m5,D,当堂训练,2.已知在椭圆中，长轴长为2a，焦距为2c， 且ac10，ac4，求椭圆的标准方程,解：方程有两种形式：, 2 49 + 2 40 =1 或 2 40 + 2 49 =1 .,归纳小结,解决直线与椭圆的位置关系问题经常利用设而不求 的方法，解题步骤为： (1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)； (2)联立直线与椭圆的方程； (3)消元得到关于x或y的一元二次方程； (4)利用韦达定理设而不求； (5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2， 进而求解,