黄冈名师2020版高考数学大一轮复习10.6椭圆课件理新人教A.ppt

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1、第六节 椭 圆 (全国卷5年5考),【知识梳理】 1.椭圆的定义 平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做_.这两个定点叫做椭圆的 _,两焦点间的距离叫做椭圆的_.,椭圆,焦点,焦距,集合P=M|MF1|+|MF2|=2a,|F1F2|=2c,其中a0,c0, 且a,c为常数: (1)当_时,M点的轨迹是椭圆; (2)当_时,M点的轨迹是线段; (3)当2a|F1F2|时,M点的轨迹不存在.,2a|F1F2|,2a=|F1F2|,2.椭圆的标准方程和几何性质,-b,-a,-a,-b,坐标轴,(0,0),(-a,0),(a,0),(0,-b),(0,b),

2、(0,-a),(0,a),(-b,0),(b,0),(0,1),a2-b2,【常用结论】 1.平面内点M到两定点F1,F2的距离之和为常数2a, 当2a|F1F2|时,点M的轨迹是椭圆; 当2a=|F1F2|时,点M的轨迹是一条线段; 当2a|F1F2|时,点M的轨迹不存在.,2.椭圆的标准方程有两种形式,若含x2项的分母大于含 y2项的分母,则椭圆的焦点在x轴上,反之焦点在y轴上. 求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置,直接设为 (ab0).,3.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系 (1)点P(x0,y0)在椭圆内 1.,4.椭圆的常用性质 (1)设椭圆 (ab0)上任意一点P(x,y),

3、则当 x=0时,|OP|有最小值b,P点在短轴端点处;当x=a 时,|OP|有最大值a,P点在长轴端点处.,(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角 三角形,其中a为斜边,a2=b2+c2. (3)已知过焦点F1的弦AB,则ABF2的周长为4a. (4)过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦之长为 . (5)椭圆离心率e=,5.直线与椭圆位置关系的判断 联立直线与椭圆方程构成方程组,消掉y,得到Ax2+Bx+ C=0的形式(这里的系数A不为0),设其判别式为:,(1)0直线与椭圆相交; (2)=0直线与椭圆相切; (3)0直线与椭圆相离.,6.弦长公式 (1)若直线与椭圆相交于两点A(x1,y

4、1),B(x2,y2),则 |AB|= (k为直线斜率). (2)焦点弦(过焦点的弦):焦点弦最短为 ,最长为2a.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.思维辨析(在括号内打“”或“”). (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆. ( ),(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距). ( ) (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. ( ) (4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形. ( ),(5)方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)表示的曲线是椭圆. ( ),答案:(1).由椭圆的定义知,

5、当该常数大于|F1F2|时,其轨迹才是椭圆,而常数等于|F1F2|时,其轨迹为线段,常数小于|F1F2|时,不存在轨迹.,(2).由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,又|F1F2|=2c, 所以|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c. (3). 因为 所以e越大,则 越小,椭圆就越扁.,(4).由椭圆的对称性知,其关于原点中心对称,也关 于两坐标轴对称. (5).方程mx2+ny2=1(m0,n0,mn)可化为 表示的曲线是椭圆.,2.已知点M(-2,0),N(2,0),点P是曲线C: +y2=1(y0) 上的动点,直线PM与PN的斜率之积为_.,【解析】设P(x0,y0)

6、,因为点P在曲线C上, 所以 (y00), 直线PM与PN的斜率之积为 答案:,【一题多解】换元法:观察发现曲线C: +y2=1(y0) 是椭圆去掉与x轴的交点,令x=2m,y=n,相当于将平面直 角坐标系xOy换为mOn,则方程变为m2+n2=1(n0),是圆 去掉两个点,在坐标系mOn中,点M(-1,0),N(1,0), 设点P(m0,n0)是曲线m2+n2=1 (n0)上的动点,数形,结合发现,线段MN是圆的直径,所以直线PM与 PN垂直,斜率之积为-1,又因为x=2m,即m= x , 所以在坐标系xOy中,斜率之积为-1 = . 答案:,题组二:走进教材 1.(选修2-1P49习题2.

7、2A组T2改编)已知椭圆 =1的焦点在x轴上,焦距为4,则m等于 ( ) A.8 B.7 C.6 D.5,【解析】选A.因为椭圆 =1的焦点在x轴上. 所以 解得6m10. 因为焦距为4, 所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.,2.(选修2-1P80A组T3(1)改编)曲线 =1与曲线 =1(k144)的 ( ) A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等,【解析】选D.曲线 =1中c2=169-k-(144-k) =25,所以c=5,所以两曲线的焦距相等.,3.(选修2-1P46例4改编)已知椭圆的方程为2x2+3y2=m (m0),则此椭圆的离心率为 ( ),【解

8、析】选B.由题意得椭圆的标准方程为 所以a2= ,b2= , 所以c2=a2-b2= ,e2= ,e= .,考点一 椭圆的定义及标准方程 【题组练透】 1.(2018杭州模拟)已知椭圆C: =1(ab0)的 左、右焦点为F1,F2,离心率为 ,过F2的直线l交C于 A,B两点.若AF1B的周长为4 ,则C的方程为 ( ),【解析】选A.由已知及椭圆的定义知4a=4 ,即a= , 又 所以c=1,b2=2, 所以C的方程为 =1.,2.(2019惠州模拟)设F1,F2为椭圆 的两个 焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则 的值为 ( ),【解析】选D.如图,设线段PF1的中点为M,因

9、为O是F1F2的中点,所以OMPF2,PF2x轴, |PF2|= |PF1|=2a-|PF2|= , 所以,3.设点P为椭圆C: 上一点,F1,F2分别是椭 圆C的左、右焦点,且PF1F2的重心为点G,若 |PF1|PF2|=34,则GPF1的面积为 ( ) A.24 B.12 C.8 D.6,【解析】选C.因为点P为椭圆C上一点, |PF1|PF2|=34,|PF1|+|PF2|=2a=14,所以|PF1|=6,|PF2|=8,又因为|F1F2|=2c=10, 所以PF1F2是直角三角形, |PF1|PF2|=24, 因为PF1F2的重心为点G,所以 所以GPF1的 面积为8.,4.已知F1

10、,F2是椭圆C: (ab0)的两个焦点, P为椭圆C上的一点,且PF1PF2,若PF1F2的面积为9, 则b=_.,【解析】设|PF1|=r1,|PF2|=r2,则 所以2r1r2=(r1+r2)2-( )=4a2-4c2=4b2,所以 S= r1r2=b2=9,b=3. 答案:3,【规律方法】 1.椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)通常定义和余弦定理结合使用,求解关于焦点三角形的周长和面积问题.,2.求椭圆的标准方程的方法 (1)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法.如果焦点位置不确定,要考虑是否有两解,

11、有时为了解题方便,也可把椭圆方程设为mx2+ny2=1(m0,n0,mn)的形式.,(2)用待定系数法求椭圆标准方程的四个步骤:,考点二 弦及弦中点问题 【典例】(1)已知椭圆 +y2=1,过点P 且被P点平 分的弦所在直线的方程为_. 世纪金 榜导学号,(2)焦点是F(0, ),并截直线y=2x-1所得弦的中点的 横坐标是 的椭圆的标准方程为_.,【解析】(1)设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点 为(x0,y0),则有 两式作差得 (y2-y1)(y2+y1)=0,因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0, =kAB,代入后求得 所以弦所在的方程为 即2x+4y-3=0

12、. 答案:2x+4y-3=0,【答题模板微课】点差法在弦中点问题中的模板化过程 本例(1)的求解过程 可模板化为: 建模板:设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 中点为M(x0,y0), 设点,则有 代入方程 两式作差得 +(y2-y1)(y2+y1)=0, 作差 因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0, =kAB,代入后求得 kAB= 代入点坐标,所以弦所在的方程为 即2x+4y-3=0.写方程 答案:2x+4y-3=0,套模板:若椭圆x2+4y2=36的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线方程为_.,【解析】设弦的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),中点为M(x0

13、,y0),设点 则有 代入方程 两式作差得(x2-x1)(x2+x1)+4(y2-y1)(y2+y1)=0, 作差 因为x2+x1=2x0,y2+y1=2y0, =kAB,代入后求得kAB= 代入点坐标 所以弦所在的方程为y-2=- (x-4),即x+2y-8=0. 写方程 答案:x+2y-8=0,(2)设所求的椭圆方程为 =1(ab0),直线被 椭圆所截弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2). 由题意,可得弦AB的中点坐标为 且,将A,B两点坐标代入椭圆方程中,得 两式相减并化简, 得 所以a2=3b2,又c2=a2-b2=50,所以a2=75,b2=25,故所求椭圆的标准方程为 答案

14、:,【互动探究】 本例(1)中,过N(1,2)的直线l与椭圆相交,则被l截得的弦的中点的轨迹方程为_.,【解析】k不存在,且要与椭圆相交,那么l方程为x=1,此时与x轴垂直,于是弦的中点的轨迹为一点(1,0).,当k存在时,不妨设l交椭圆于A,B两点,弦的中点坐标 为M(x,y),由(1)中解析知kl=kAB= 又因为kl=kMN= 所以 整理,得x2+2y2-x-4y=0(),联立方程 消去y得:9x2-4x-12=0. 解得:x1,2= 又中点在椭圆内, 所以,将(1,0)代入()式显然成立. 所以所求的轨迹方程为x2+2y2-x-4y=0 答案:x2+2y2-x-4y=0,【规律方法】

15、1.椭圆中弦及弦中点问题的类型及解决策略,2.弦及弦中点问题的注意事项 (1)合理消元,消元时可以选择消去y,也可以消去x. (2)利用弦长公式、点到直线的距离公式等将所求量表示出来. (3)涉及弦中点的问题常用“点差法”解决.,【对点训练】 1.(2019南昌模拟)已知椭圆: +x2=1,过点P , 的直线与椭圆相交于A,B两点,且弦AB被点P平分,则直 线AB的方程为 ( ) A.9x-y-4=0 B.9x+y-5=0 C.2x+y-2=0 D.x+y-5=0,【解析】选B.设A(x1,y1),B(x2,y2), 因为A,B在椭圆 +x2=1上, 所以,两式相减得 即 +(x1-x2)(x

16、1+x2)=0, 又弦AB被点P 平分, 所以x1+x2=1,y1+y2=1,将其代入上式得 +x1-x2=0,即 =-9,所以直线AB的斜率为-9,直线AB的方程为 即9x+y-5=0.,2.已知直线l:y=k(x-1)与椭圆C: +y2=1交于不同的 两点A,B,AB中点横坐标为 ,则k=_.,【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得 (4k2+1)x2-8k2x+4k2-4=0, 因为直线l过椭圆内的定点(1,0),所以0,x1+x2= 所以 所以k= . 答案: ,考点三 椭圆的简单几何性质 【明考点知考法】 椭圆作为圆锥曲线部分的重要内容,是高考命题的热点,也是高考的难

17、点.主要考查椭圆的简单几何性质,离心率,最值问题,题型常以选择题、填空题为主,一般为中档题,有时出现在解答题的第一问.考查范围、最值问题时常出现在解答题的第二问.,命题角度1 求椭圆的离心率(或取值范围) 【典例】设椭圆C: =1(ab0)和圆x2+y2=b2,若 椭圆C上存在点P,使得过点P引圆O的两条切线,切点分 别为A,B,满足APB=60,则椭圆的离心率e的取值范 围是 ( ),【解析】选D.椭圆C焦点在x轴上,连接OA,OB,OP,由已知,O,P,A,B四点共圆,因为APB=60,APO=BPO=30, 在直角三角形OAP中,AOP=60, 所以cos AOP= 因为b|OP|a,所

18、以2ba,4b2a2, 由a2=b2+c2,即4(a2-c2)a2,所以3a24c2,即 又0e1,所以 e1,所以椭圆C离心率的取值范围是,【状元笔记】 求椭圆离心率的方法: (1)直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. (2)列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.,(3)因为离心率是比值,所以可利用特殊值法.例如,令a=1,求出相应c的值,求离心率,能有效简化计算.,命题角度2 最值、取值范围问题 【典例】已知椭圆 (ab0)的长轴长是短轴 长的 倍,且过点(2, ). (1)求椭圆的标准方程.,(2)若OAB的顶

19、点A,B在椭圆上,OA所在的直线斜率为 k1,OB所在的直线斜率为k2,若k1k2= 求 的最大值.,【解析】(1)由已知, 所以椭圆的标准方程为,(2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 不妨设x10,x20.由 直线OA,OB的方程分别为y=k1x,y=k2x, 联立,同理,x2= 因为 =x1x2+y1y2= x1x2,当且仅当|k1|= 时,等号成立. 所以 的最大值为2.,【状元笔记】 求解最值、取值范围问题的技巧 (1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到一个图形.,(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-axa,-byb,

20、0e1,在求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系. (3)最值问题,将所求列出表达式,构造基本不等式或利用函数单调性求解.,【对点练找规律】 1.设F1,F2分别是椭圆C: =1(ab0)的左、右 焦点,点P在椭圆C上,若线段PF1的中点在y轴 上,PF1F2=30,则椭圆的离心率为 ( ),【解析】选A.如图,设PF1的中点为M,连接PF2. 因为O为F1F2的中点,所以OM为PF1F2的中位线,所以OMPF2,所以PF2F1=MOF1=90, 因为PF1F2=30,所以|PF1|=2|PF2|.,由勾股定理得|F1F2|= 由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=3|PF2|,

21、即a= 2c=|F1F2|= |PF2|, 即c= 则e=,2.已知直线l1经过椭圆 =1(ab0)的左焦点F1, 交椭圆于B(0,b)和A,且 直线l2经过椭圆的右 焦点,且垂直于椭圆的长轴,交椭圆于MN,|MN|=1,则这 个椭圆的方程为_.,【解析】因为B(0,b),F1(-c,0), 所以A , 代入椭圆方程得 =1,所以 因为|MN|=1,所以 =1,联立得,a2=4,b2=1, 所以椭圆方程为 +y2=1. 答案: +y2=1,思想方法系列22求椭圆方程中的函数与方程思想 【思想诠释】 函数思想的实质是用联系及变化的观点提出数学对象抽象数量特征建立函数关系.方程的思想,是在解决数学

22、问题时,先设定一些未知数,再把它们当成已知数,根据题设中各变量间的关系,列出方程,最后求得未知数.,函数与方程思想就是用函数及方程的方法处理变量或者未知数之间的关系,进而解决问题.,【典例】(2019兰州模拟)已知椭圆C: (ab0)的一个顶点为A(2,0),离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N. (1)求椭圆C的方程. (2)当AMN的面积为 时,求k的值.,【解析】(1)由已知 所以椭圆C的方程为,(2)由 得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点M(x1,y1),N(x2,y2),则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1), x1+x2= x

23、1x2=,所以 又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1) 的距离 所以AMN的面积为 S= |MN|d=,由 所以所求k的值为1.,【一题多解】(2)(画出草图,观察发现直线y=k(x-1)过定点P(1,0),AMN被x轴分成上下两部分, SAMN=SAMP+SANP = |AP|yM|+ |AP|yN| = |AP|yM-yN|.,设点M(x1,y1),N(x2,y2), 由 得 (1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0, 因为直线y=k(x-1)过椭圆内的定点P(1,0), 所以0,x1+x2= x1x2=,所以SAMN= |AP|y1-y2|= |k|x1-x2| 由 所以所求k的

24、值为1.,【技法点拨】求三角形面积常用方法 (1)S= 底高. (2)S= absin C. (3)S= Cr(C为周长,r为内切圆半径). (4)分割(一般被坐标轴分割).,(5)三角形向量面积公式 S= |x1y2-x2y1|,其中 (x1,y1),(x2,y2)分别是三角形两边所表示的向量坐标.,【即时训练】 (2018洛阳模拟)设椭圆C: (ab0)过点 (0,4),离心率为 . (1)求C的方程. (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被C所截线段的中 点坐标.,【解析】 (1)将(0,4)代入C的方程得 =1, 所以b=4, 所以C的方程为,(2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为y= (x-3), 设直线与椭圆C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的 中点为M(x0,y0). 将y= (x-3)代入椭圆C的方程得 即x2-3x-8=0,即线段AB的中点坐标为,