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1、第八节 抛 物 线 (全国卷5年5考),【知识梳理】 1.抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)_ _的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的_, 直线l叫做抛物线的_.,距离,相等,焦点,准线,数学表达式: _.,|MF|=d(其中d为点M到准线的距离),2.抛物线的标准方程与简单性质,【常用结论】 1.焦半径、通径:抛物线y2=2px(p0)上一点P(x0,y0)到 焦点F 的距离|PF|=x0+ ,也称为抛物线 的焦半径. 过焦点垂直于对称轴的弦称为通径,通径长等于2p,是 过焦点最短的弦.,2.四倍关系:y2=ax的焦点坐标为 准线方程为 x=- .,3.直线AB
2、过抛物线y2=2px(p0)的焦点,交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如图可得.,y1y2=-p2,x1x2= . |AB|=x1+x2+p,x1+x2 =p,即当x1=x2时,弦长最 短为2p. 弦长AB= (为AB的倾斜角).,以AB为直径的圆与准线相切. 焦点F对A,B在准线上射影的张角为90.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.思维辨析(在括号内打“”或“”). (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线. ( ),(2)方程y=ax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物 线,且其焦点坐标是 准线方程是x=- . ( ) (3)抛物线既是
3、中心对称图形,又是轴对称图形. ( ),(4)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切. ( ) (5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径,那么抛物线 x2=-2ay(a0)的通径长为2a. ( ),【解析】(1).当定点在定直线上时,轨迹为过定点 F与定直线l垂直的一条直线,而非抛物线. (2).方程y=ax2(a0)可化为x2= y是焦点在y轴 上的抛物线,且其焦点坐标是 准线方程 是y=- .,(3).抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形. (4).例如直线y=1与抛物线y2=4x只有一个交点,它们相交. (5).由通径定义及抛物线性质知,原
4、命题正确.,2.直线y=kx+1与抛物线y2=x有且只有一个公共点,则k=_.,【解析】 消去y得k2x2+(2k-1)x+1=0,(*) 直线与抛物线有且只有一个公共点,等价于方程(*) 有且只有一个解或两个相等的解. 若k2=0,即直线为y=1,显然符合题意;,若k20,由=(2k-1)2-4k2=-4k+1=0得 k= ,综上,k=0或 . 答案:0或,【一题多解】若k=0,显然符合题意; 若k0,直线方程为 由 消去x得y2- y+ =0, 由= 得k=4k2,解得k= , 综上,k=0或 . 答案:0或,【误区警示】注意不要忽略k=0的情况.对抛物线的题型,在联立方程消元时,有时消去
5、一次项更容易计算.,题组二:走进教材 1.(选修2-1P72练习T1改编)过点P(-2,3)的抛物线的标准方程是 ( ),【解析】选A.设抛物线的标准方程为y2=kx或x2=my, 代入点P(-2,3),解得 所以,2.(选修2-1P73T2改编)抛物线y2=8x上到其焦点F距离为5的点P有 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.4个,【解析】选C.设P(x1,y1),则|PF|=x1+2=5,所以x1=3, y1= 故满足条件的点P有2个.,3.(选修2-1P74T8改编)如图是抛物线形拱桥,当水面在 l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽为 时, 水位下降了_ m.,【解析】以
6、抛物线的顶点为坐标原点,水平方向为x 轴建立平面直角坐标系,设抛物线的标准方程为 x2=-2py(p0),把(2,-2)代入方程得p=1,即抛物线的 标准方程为x2=-2y.将x= 代入x2=-2y得:y=-3,又 -3-(-2)=-1,所以水面下降了1 m. 答案:1,考点一 抛物线的定义及标准方程 【题组练透】 1.动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,则动点P的轨迹方程为 ( ) A.y2=4x B.y2=8x C.x2=4y D.x2=8y,【解析】选D.因为动点P到点A(0,2)的距离比它到直线l:y=-4的距离小2,所以动点P到点A(0,2)的距离与它到直线
7、y=-2的距离相等.由抛物线的定义得点P的轨迹为以A(0,2)为焦点,直线y=-2为准线的抛物线,其标准方程为x2=8y.,2.(2018广州模拟)如果P1,P2,Pn是抛物线C:y2=4x上的点,它们的横坐标依次为x1,x2,xn,F是抛物线C的焦点,若x1+x2+xn=10,则|P1F|+|P2F|+|PnF|= ( ) A.n+10 B.n+20 C.2n+10 D.2n+20,【解析】选A.由抛物线方程y2=4x知其焦点为(1,0), 准线为x=-1,由抛物线的定义知 |P1F|=x1+1,|P2F|=x2+1,|PnF|=xn+1, 所以|P1F|+|P2F|+|PnF|=x1+1+
8、x2+1+xn+1 =(x1+x2+xn)+n=n+10.,3.已知抛物线y2=2px(p0)上一点M到焦点F的距离等于 2p,则直线MF的斜率为 ( ),【解析】选D.抛物线的焦点为F ,准线方程 为x=- .因为点M到焦点F的距离等于2p,所以点M到 准线x=- 的距离等于2p,xM= p,代入抛物线方程解 得yM= p,所以,4.(2019唐山模拟)若抛物线x2=ay过点A 则点A到此抛物线的焦点的距离为_.,【解析】由已知,点A在抛物线x2=ay上,所以1= a,解 得a=4,x2=4y.由抛物线的定义知点A到焦点的距离等于 点A到准线的距离,所以点A到抛物线的焦点的距离为 yA+1=
9、 +1= . 答案:,5.(2017全国卷)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则|FN|=_.,【解析】设N(0,a),F(2,0),那么M 点M在抛物线上, 所以 =8,解得a=4 ,所以N(0,4 ),那么 |FN|= 答案:6,【规律方法】 待定系数法求抛物线标准方程的关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.,提醒: (1)当坐标系已建立时,要注意由条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种. (2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系.,(3)要
10、注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离,利用它的几何意义来解决问题.,考点二 直线与抛物线的综合问题 【典例】 (1)已知过抛物线x2=4y焦点F的 直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),若 则直线l的方程为 ( ),(2)已知抛物线C:y2=4x,过其焦点且斜率为 的直线l 与抛物线相交于A,B两点,则弦长|AB|=_.,(3)已知抛物线C:y=mx2(m0),焦点为F,直线2x-y+2=0交抛物线C于A,B两点,P是线段AB的中点,过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. 求抛物线C的焦点坐标. 是否存在实数m,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理
11、由.,【解析】(1)选B.由题知F(0,1),设直线l:y=kx+1,与抛 物线x2=4y联立得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1)(x10), B(x2,y2),则有 ,又因为 所以 x1=-3x2,与联立解得k= ,故直线l的方程为y= x+1, 即x- y+ =0.,【巧思妙解】选B.由题意得,抛物 线x2=4y焦点F 而直线l过点F, 排除A,C;画出直线与抛物线的图象,如图所示, 由图可得直线l的斜率k1,排除D.,(2)由题知,抛物线的焦点F(1,0),则直线l:y= 与y2=4x联立得3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则有 弦长|AB|=|x1-
12、x2| 答案:,【一题多解微课】 本例题(2 )还可以采用以下方法求解: (定义法)由题知,抛物线的焦点F(1,0),则直线l:y= 与y2=4x联立得3x2-10x+3=0,设A(x1,y1),B(x2,y2)， 则弦长|AB|=x1+x2+p= +2= . 答案:,(公式法)由题知,过焦点的直线l的倾斜角=60, 则弦长|AB|= 答案:,(3)因为抛物线C:x2= 所以它的焦点 存在,联立方程 消去y得mx2-2x-2=0, 依题意,有=(-2)2-4m(-2)0恒成立.,设A(x1,mx12),B(x2,m x22), 则 因为P是线段AB的中点, 所以,即 若存在实数m,使ABQ是以
13、Q为直角顶点的直角三角形,结合(*)化简得 即2m2-3m-2=0, 所以m=2或m= 而20, 0. 所以存在实数m=2,使ABQ是以Q为直角顶点的直角三 角形.,【互动探究】 在【典例】(2)中,将“斜率为 ”改为“斜率不存 在”,则|AB|=_.,【解析】由已知,AB为抛物线的通径,所以|AB|=2p=4. 答案:4,【规律方法】 1.直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组. (2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.,2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法 (1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦
14、点,若过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,若不过焦点,则必须用一般弦长公式.,(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法. 提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法”求解.,【对点训练】 1.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若 MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为 ( ) A.x2= y B.x2=6y C.x2=-3y D.x2=3y,【解析】选D.设点M(x1,y1),N(x2,y2). 由 消去y得x2-2ax+2a=0, 所以 即a=3,所以所求的抛物线方程是 x2=3y.,2.(2019郑州模
15、拟)已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,若|AF|+|BF|=5,则线段AB的中点到y轴的距离为_.,【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),则由抛物线定义得 |AF|+|BF|=5,即x1+ +x2+ =5,解得x1+x2= , 所以线段AB的中点到y轴的距离 答案:,3.已知动圆M过点F(1,0),且与直线x=-1相切. (1)求圆心M的轨迹方程. (2)过F作弦PQ,RS,满足 =0,设PQ,RS的中点 分别为A,B,求| |的最小值.,【解析】(1)设M(x,y),由已知, =|x-(-1)|, 两边平方化简得y2=4x, 因为M在原点时,符合题意, 所以圆心
16、M的轨迹方程为y2=4x.,(2)显然斜率存在,设PQ方程为y=k(x-1),k0, P(x1,y1),Q(x2,y2),由 得k2x2-2(k2+2)x+k2 =0,由根与系数的关系得 所以,即A 因为 =0,所以PQRS,只需将A点坐标中的k换 成 ,得B(1+2k2,-2k), 所以 当且仅当k=1 时取“=”,所以当k=1 时,| | 取到最小值4.,【一题多解】(1)定义法:由已知,点M到点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离, 由抛物线的定义知,圆心M的轨迹方程是以F为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,其方程为y2=4x, 因为M在原点时,符合题意,所以圆心M的轨迹方程为y2
17、=4x. (2)同上(2).,考点三 抛物线的性质及应用 【明考点知考法】 抛物线是圆锥曲线部分的重要内容之一,是高考中的一个重要考点.主要考查抛物线性质及应用.题型既有小巧灵活的选择题、填空题,又有综合性较强的解答题.,命题角度1 与抛物线有关的最值问题 【典例】(2018合肥模拟)已知抛物线C1:y2=4x和C2:x2=2py(p0)的焦点分别为F1,F2,点P(-1,-1),且F1F2OP(O为坐标原点).,(1)求抛物线C2的方程. (2)过点O的直线交C1的下半部分于点M,交C2的左半部分于点N,求PMN面积的最小值.,【解析】(1)F1(1,0),F2 所以 所以p=2,所以C2的
18、方程为x2=4y.,(2)设过点O的直线为y=kx, 联立 得M 联立 得N(4k,4k2)(k0), 所以|MN|=,点P到直线MN的距离d= 令t=k+ (t-2),则SPMN=2(t-2)(t+1),当t=-2时,SPMN有最小值8,此时k=-1. 即当过原点的直线为y=-x时,PMN的面积取得最小值8.,【状元笔记】 与抛物线有关的最值问题求解策略 (1)数形结合:一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点,看到焦点想准线”, 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”;,将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离,利用“与直线上所有点的连线中
19、垂线段最短”.这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径. (2)构造函数:将所求转化为函数求最值.,命题角度2 抛物线与向量的综合问题 【典例】(2018郑州模拟)已知过抛物线y2=2px(p0) 的焦点,斜率为2 的直线交抛物线于A(x1,y1), B(x2,y2)(x1x2)两点,且|AB|=9. 世纪金 榜导学号,(1)求该抛物线的方程. (2)O为坐标原点,C为抛物线上一点, 求的值.,【解析】(1)直线AB的方程是 与y2=2px联立,得4x2-5px+p2=0, 由已知,方程必有两个不等实根, 所以x1+x2= ,由抛物线定义知|AB|=x1+x2+p= +p=9,解得p=4,
20、所以抛物线方程为y2=8x.,(2)由(1)知,x2-5x+4=0, 所以x1=1,x2=4,y1=-2 ,y2=4 , 所以A(1,-2 ),B(4,4 ). 设C(x3,y3),则 =(x3,y3)=(1,-2 )+(4,4 ) =(4+1,4 -2 ),又 =8x3,即2 (2-1)2=8(4+1),整理得 (2-1)2=4+1,解得=0或=2.,【状元笔记】 在解决与抛物线的性质有关的综合问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,解决圆锥曲线问题的一般步骤: 第一步:联立方程,得关于x或y的一元二次方程; 第二步:写出根与系数的关系
21、,并求出0时参数范围(或指出直线过曲线内一点);,第三步:由题目要求列出关于x1x2,x1+x2(或y1y2,y1+y2)的关系式,求得结果; 第四步:反思回顾,查看有无忽略特殊情况.,【对点练找规律】 1.(2018昆明模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准 线为l,点Al,线段AF交抛物线C于点B,若 则| |等于 ( ) A.3 B.4 C.6 D.7,【解析】选B.由已知B为AF的三等分点,作BHl于H, 如图,则|BH|= |FK|= , 所以,2.已知M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值是_.,【解
22、析】由已知,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,则有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,所以|MA|+|MF|的最小值是5. 答案:5,思想方法系列23解决抛物线中的比值问题中的转 化与化归思想 【思想诠释】 转化与化归思想,就是在研究和解决有关数学问题 时采用某种手段将问题通过等价变换使之转化,进而得,到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.,【典例】(2019温州模
23、拟)已知点A(0,2),抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点 M,与其准线相交于点N,若 则p的值等于 ( ) A. B. C.2 D.4,【解析】选C.设M(xM,yM), 由 所以yN=( +1)yM;由kFA=kFN知 所以 yN=4,yM= 又 ,所以,将(xM,yM)代入y2=2px得 解得p=2.,【技法点拨】 圆锥曲线中的线段比值问题,应采用转化与化归思想方法转化为有关点的坐标关系,也可利用相似对应成比例或三角函数求解.,【即时训练】 过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为2 的直线交抛物线 于A,B两点(xAxB),则 = ( ) A. B. C.3 D.2,【解析】选D.设直线方程为y=2 (x-1),与y2=4x联立 得2x2-5x+2=0,所以(2x-1)(x-2)=0,x1= ,x2=2.因为 xAxB,所以xA=2,xB= , 所以,