黄冈名师2020版高考数学大一轮复习12.2排列与组合课件理新人教A.ppt

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1、第二节 排列与组合(全国卷5年4考),【知识梳理】 1.排列、组合的定义,2.排列数、组合数的定义、公式、性质,不同排列,不同组合,n!,1,【常用结论】 1.排列与组合的区别,2.巧记组合数的性质,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列. ( ) (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. ( ),(3)(n+2)(n+1) ( ) (4) ( ) (5)(n+1)!-n!=nn! ( ),提示:(1).由排列与组合的定义可知,所有元素完全 相同的两个组合是相同组合,而排列则不一定是相同的 排列,与它们的

2、顺序还有关系. (2).由组合的概念可知,该说法是正确的. (3).(n+2)(n+1) =(n+2)(n+1)n (n-1) (n-m+1)= .,(4). (5).由排列数运算公式可得.,2.山城农业科学研究所将5种不同型号的种子分别试种在5块并成一排的试验田里,其中A,B两型号的种子要求试种在相邻的两块试验田里,且均不能试种在两端的试验田里,则不同的试种方法数为 ( ) A.12 B.24 C.36 D.48,【解析】选B.因为A,B两型号的种子的试种方法数为 22=4种,所以一共有4 =24种.,3.将5名学生分到A,B,C三个宿舍,每个宿舍至少1人,至多2人,其中学生甲不到A宿舍的不

3、同分法是( ) A.18种 B.36种 C.48种 D.60种,【解析】选D.由题意知,A,B,C三个宿舍中有两个宿舍分到2人,另一个宿舍分到1人.若甲被分到B宿舍, (1)A中2人,B中1人,C中2人,有 =6种分法; (2)A中1人,B中2人,C中2人,有 =12种分法;,(3)A中2人,B中2人,C中1人,有 =12种分法; 所以甲被分到B宿舍的分法有30种,同理,甲被分到C宿舍的分法有30种, 所以甲不到A宿舍的不同分法有30+30=60种.,题组二:走进教材 1.(选修2-3P27T7改编)学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序,除第1个节目和最后1个节目已确定外,还有4个音乐

4、节目,3个舞蹈节目,2个曲艺节目,且3个舞蹈节目要求不能相邻,2个曲艺节目出场前后顺序已定,共有_种不同排法.,【解析】先把4个音乐节目,2个曲艺节目,进行全排,且 2个曲艺节目出场前后顺序已定,形成了7个空,选3个, 把舞蹈节目插入,故有 =75 600. 答案:75 600,2.(选修2-3P28T17改编)在100件产品中,有2件次品,从中任取3件,其中至少有1件次品的抽法有_种.,【解析】方法一:第1类,“只有1件次品”,共有 种;第2类,“有2件次品”,共有 种,由分类加法计数 原理知共有 + =9 604(种). 方法二:无任何限制共有 种,其中“没有次品”共有 种,则“至少有1件

5、次品”共有 - =9 604(种). 答案:9 604,考点一 排列的应用 【题组练透】 1.(2018潍坊模拟)中国古代中的“礼、乐、射、 御、书、数”合称“六艺”.“礼”,主要指德育; “乐”,主要指美育;“射”和“御”,就是体育和,劳动;“书”,指各种历史文化知识;“数”,数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动,每艺安排一节,连排六节,一天课程讲座排课有如下要求:“数”必须排在前三节,且“射”和“御”两门课程相邻排课,则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有( ) A.120种 B.156种 C.188种 D.240种,【解析】选A.当“数”排在第一节时有 =48 (种)排法,当“数”排在

6、第二节时有 =36 (种)排法,当“数”排在第三节时,当“射”和“御” 两门课程排在第一、二节时有 =12(种)排法,当 “射”和“御”两门课程排在后三节的时候有 =24(种)排法,所以满足条件的共有48+36+12+24=120 (种)排法.,2.把5件不同产品摆成一排.若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有_种.,【解析】记5件产品为A、B、C、D、E,A、B相邻视为一 个元素,先与D、E排列,有 种方法;再将C插入,仅 有3个空位可选,故共有 3=263=36(种)不同 的摆法. 答案:36,3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共

7、有_种安排办法.,【解析】方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类情况下,划分“乙丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下算法: =8 640(种).,方法二:采取“总方法数减去不符合题意的所有方法 数”的算法.把“甲坐在第一排的八人坐法数”看成 “总方法数”,这个数目是 .在这种前提下,不合 题意的方法是“甲坐第一排,且乙、丙坐两排的八人坐 法.”这个数目是 .其中第一个因数,表示甲坐在第一排的方法数, 表示从乙、丙中任选 出一人的方法数, 表示把选出的这

8、个人安排在第一 排的方法数,下一个 则表示乙、丙中未安排的那个 人坐在第二排的方法数, 就是其他五人的坐法数,于 是总的方法数为 =8 640(种). 答案:8 640,4.5对姐妹站成一圈,要求每对姐妹相邻,有_种不同站法.,【解析】首先可让5位姐姐站成一圈,属圆排列有 种, 然后再让妹妹插入其间,每位均可插入其姐姐的左边和 右边,有25种方式,故不同站法有 25=768种. 答案:768,【规律方法】 1.求解有限制条件排列问题的主要方法,2.圆排列问题 把n个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列,顺序(例如按顺时针)不同的排法才算不同的排列,如下列n个普通排列:,a1,a2,a3,an

9、;a2,a3,a4,an,a1;an,a1,an-1; 在圆排列中只算一种,所以n个元素的圆排列数有 种. 因此可将某个元素固定展成线排,其他的n-1个元素全 排列.,考点二 组合的应用 【典例】(1)从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同的取法共有 ( ) A.140种 B.80种 C.70种 D.35种,(2)(2018全国卷)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_种.(用数字填写答案) (3)四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有_种.,【解析】(1)选C.至少要甲型和乙型

10、电视机各一台可分 两种情况:甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的 取法有 =70种.,【一题多解微课】解决本题(1)还可以采用以下方法: 选C.至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另 一种型号的电视机,故不同的取法共有 =70 种.,(2)方法一:根据题意,没有女生入选有 =4种选法,从 6名学生中任意选3人有 =20种选法,故至少有1位女 生入选的选法共有20-4=16种.,方法二:恰有1位女生,有 =12种, 恰有2位女生,有 =4种, 所以不同的选法共有12+4=16种. 答案:16,(3)10个点中任取4个点共有 种,其中四点共面的有 三种情况:在四面体的四个面上,每面内

11、四点共面的 情况为 ,四个面共有4 个;过四面体各棱中点的 平行四边形共3个;过棱上三点与对棱中点的三角形 共6个.所以四点不共面的情况的种数是 -3- 6=141(种). 答案:141,【互动探究】在本例(1)条件下,任取3台,其中甲型电 视机至多两台,则不同的取法共有多少种? 【解析】可分三种情况:甲型2台乙型1台;甲型1台乙 型2台;甲型0台乙型3台;故不同的取法有 =80(种).,【规律方法】两类含有附加条件的组合问题的解法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.,(2)“至

12、少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,通常用直接法分类复杂时,用间接法求解.,【对点训练】 1.某军医大学组成的7名医疗小组(含甲乙)赴沂蒙山区开展对口支援工作.现将这7名医生分成三个医疗小组,一组3人,另两组每组各2人,则甲乙不分在同一组的分法有 ( ) A.80种 B.90种 C.25种 D.120种,【解析】选A.除甲乙外的5人分三组,1人、2人、2人 和1人、1人、3人两种类型.1人、2人、2人的方法是 =15;1人、1人、3人的类型方法是 ; 对于1人、2人、2人类型:甲乙二人必有

13、一人进三组中 的1人组,另一人进另两组,方法是 =60.对于 1人、1人、3人的类型:甲乙二人都进一人组,方法是 =20.所以总方法有60+20=80(种).,2.本周日有5所不同的高校来我校作招生宣传,学校要求每位同学可以从中任选1所或2所去咨询了解,甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的,则不同的选法共有 ( ) A.330种 B.420种 C.510种 D.600种,【解析】选A.分以下三种情况: (1)甲1,乙1,丙1,方法数有 =60; (2)甲2,乙1,丙1;或甲1,乙2,丙1;或甲1,乙1,丙2方法 数有3 =180;,(3)甲2,乙2,丙1;或甲1,乙2,丙2;或甲2,乙1,

14、丙2方法 数有3 =90. 所以总的方法数有60+180+90=330(种).,3.现有12张不同的扑克牌,其中红桃、方片、黑桃、梅花各3张,现从中任取3张,要求这3张牌不能是同一种且黑桃至多一张,则不同的取法种数为_.,【解析】分两种情况:含有一张黑桃的不同取法有 =108(种),不含黑桃时,有 =81(种)不同 的取法.故共有108+81=189(种)不同的取法. 答案:189,考点三 排列组合的综合问题 【明考点知考法】 排列组合的综合问题作为考查数学应用意识的最佳载体,在高考题中经常出现,试题常以选择题、填空题的形式出现,考查排列、组合模型在计数问题中的灵活应用. 解题过程中常渗透分类

15、讨论思想.,命题角度1 数字问题 【典例】(2018浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答),【解析】分类讨论:第一类:不含0的,按照分步乘法计 数原理: =10324=720;第二类:包含0的,按 照分步乘法计数原理: =10336=540,所 以一共有1 260个没有重复数字的四位数. 答案:1 260,【状元笔记】 用排列组合解数字问题的三个关注点 (1)明确数字与编号的区别.(2)关注题目条件对数字的特殊要求.(3)适当分类先选后排.,命题角度2 涂色问题 【典例】用五种不同的颜色给三棱柱ABCD

16、EF六个顶点涂色,要求每个点涂一种颜色,且每条棱的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有_种(用数字作答).,【解析】分两步来进行,先涂A,B,C,再涂D,E,F. 若5种颜色都用上,先涂A,B,C,方法有 种;再涂 D,E,F中的两个点,方法有 种,最后剩余的一个点只 有2种涂法,故此时方法共有 2=720(种).,若5种颜色只用4种,首先选出4种颜色,方法有 种; 先涂A,B,C,方法有 种;再涂D,E,F中的1个点,方法有 3种,最后剩余的两个点只有3种涂法,故此时方法共有 33=1 080(种).,若5种颜色只用3种,首先选出3种颜色,方法有 种; 先涂A,B,C,方法有 种;再涂D,

17、E,F,方法有2种,故此 时方法共有 2=120(种). 综上可得,不同涂色方案共有720+1 080+120=1 920 (种). 答案:1 920,【状元笔记】 解答涂色问题的三个常用策略 (1)根据分步乘法计数原理,对各个区域分步涂色. (2)根据共用了多少种颜色讨论. (3)根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论.,命题角度3 分组分配问题 【典例】按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? (1)分成三份,1份1本,1份2本,1份3本. (2)甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本.,(3)平均分成三份,每份2本. (4)平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本.

18、(5)分成三份,1份4本,另外两份每份1本. (6)甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本. (7)甲得1本,乙得1本,丙得4本.,【解析】(1)先选1本,有 种选法;再从余下的5本中 选2本,有 种选法;最后余下3本全选,有 种选法. 故共有 =60(种). (2)由于甲、乙、丙是不同的三人,在(1)题基础上,还 应考虑再分配,共有 =360(种).,(3)先分三步,则应是 种方法,但是这里出现了重 复.不妨记六本书为A,B,C,D,E,F,若第一步取了AB,第 二步取了CD,第三步取了EF,记该种分法为(AB,CD,EF), 则 种分法中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,E

19、F), (CD,EF,AB), (EF,CD,AB),(EF,AB,CD),共有 种情况, 而这 种情况仅是AB,CD,EF的顺序不同,因此只能,作为一种分法,故分配方式有 =15(种).,(4)在(3)的基础上再分配给3个人, 共有分配方式 =90(种). (5)共有 =15(种).,(6)在(5)的基础上再分配给3个人, 共有分配方式 =90(种). (7)甲选1本,有 种方法;乙从余下的5本中选1本,有 种方法,余下4本留给丙,有 种方法,故共有分配 方式 =30(种).,【互动探究】本例条件下,计算 “分给甲、乙、丙三人,每人至少1本”有多少种不同的选法?,【解析】可以分为三类情况:“

20、2、2、2型”,有 =90种方法; “1、2、3型”,有 =360(种)方法;“1、 1、4型”,有 =90种方法,所以,一共有90+360 +90=540(种)方法.,【状元笔记】 均匀分组与不均匀分组、无序分组与有序分组是组合问题的常见题型.解决此类问题的关键是正确判断分组是均匀分组还是不均匀分组,无序均匀分组要除以均匀组数的阶乘数,还要充分考虑到是否与顺序有关;有序分组要在无序分组的基础上乘以分组数的阶乘数.,【对点练找规律】 1.某学校为了更好地培养尖子生,使其全面发展,决定由3名教师对5个尖子生进行“包教”,要求每名教师的“包教”学生不超过2人,则不同的“包教”方案有 ( ) A.9

21、0 B.60 C.150 D.120,【解析】选A.由题知,第1步,将5个学生分成2,2,1三组 的不同方法数有 种,第2步,将3组学生分配给3位 老师的不同方法数为 ,根据分步乘法计数原理,不同 的“包教”方案有 =90(种).,2.用四种不同颜色给图中的A,B,C,D,E,F六个点涂色,要求每个点涂一种颜色,且图中每条线段的两个端点涂不同颜色,则不同的涂色方法有_种(用数字作答).,【解析】因为图中每条线段的两个端点涂不同颜色,所以可按所涂的颜色来分类. BDEF用四种颜色,则有 11=24(种)涂法, BDEF用三种颜色,则有 22+ 212= 192(种)涂法,BDEF用两种颜色,则有

22、 22=48(种)涂法, 由分类加法计数原理有24+192+48=264(种). 答案:264,3.(2017天津高考)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个.(用数字作答),【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个 数为: =120,第二种:四位数中有一位为偶数的个数 为 =960,则共有1080个. 答案:1 080,数学能力系列28排列组合问题中的应用意识 【能力诠释】应用意识是指能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题,包括解决相关学科、生产、生活中的简单的数学问题;能理解对问题陈述的材料,并对所提供的

23、信息资料进行归纳、整理和分类,将实际问题抽象为数学问题.,应用排列组合解决实际问题应关注以下三点: (1)多读题,挖掘出隐含条件; (2)分清“是分类还是分步”“是排列还是组合”; (3)在某些特定问题上,可考虑“正难则反”的思维方式.,【典例】已知参加某项活动的六名成员排成一排合影留念,且甲乙两人均在领导丙的同侧,则不同的排法共有 ( ) A.240种 B.360种 C.480种 D.600种,【解析】选C.六名成员排成一排,6个位置自左至右依 次记为1,2,3,4,5,6.当领导丙在位置1时,不同的排 法有 =120种;当领导丙在位置2时,不同的排法有 =72种;当领导丙在位置3时,不同的

24、排法有 =48(种);,当领导丙在位置4时,不同的排法有 =48 种;当领导丙在位置5时,不同的排法有 =72(种); 当领导丙在位置6时,不同的排法有 =120(种).由 分类加法计数原理可得不同的排法共有480种.,【技法点拨】求解排列与组合问题的三个注意点 (1)解排列与组合综合题一般是先选后排,或充分利用元素的性质进行分类、分步,再利用两个原理作最后处理.,(2)解受条件限制的组合题,通常用直接法(合理分类)和间接法(排除法)来解决.分类标准应统一,避免出现重复或遗漏.,(3)对于选择题要谨慎处理,注意等价答案的不同形式,处理这类选择题可采用排除法分析选项,错误的答案都有重复或遗漏的问题.,【即时训练】 马路上有编号为1,2,3,9的九盏路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,则满足条件的关灯方案有_种.,【解析】把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个 空隙中插入3盏不亮的灯,有 种方法,所以满足条件 的关灯方案有10种. 答案:10,