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1、选修4-5 不等式选讲 第一节 绝对值不等式(全国卷5年9考),1.绝对值三角不等式 定理1:如果a,b是实数,则|a+b|a|+|b|,当且仅当 _时,等号成立.,ab0,定理2:如果a,b,c是实数,那么 |a-c|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)0时,等号成立.,2.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|a的解集:,(2)|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c-cax+bc; |ax+b|cax+bc或ax+b-c.,(3)|x-a|+|x-b|c(c0)和 |x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法.,【常用结论】
2、 1.绝对值不等式的性质 |a|-|b|a-b|a|+|b|,等号成立的条件: 当ab0时,左侧不等式成立; 当ab0时,右侧不等式成立.,2.两个等价关系 (1)|x|0)-aa(a0)xa. 推广:|x|f(x)xf(x).,3.实用口诀 解含绝对值的不等式: “找零点,分区间,逐个解,并起来”,考点一 解绝对值不等式 【题组练透】 1.求不等式|x-1|+|2x+1|2的解集.,【解析】由题意x=1时,|x-1|=0;x=- 时,|2x+1|=0 (以下分类讨论). 所以当x- 时,原不等式等价于 得- x- .,当- x1时,原不等式等价于 得- x0.,当x1时,原不等式等价于 得x
3、无解.由得原不等式的解集为,2.已知一次函数f(x)=ax-2. (1)当a=3时,解不等式|f(x)|4. (2)解关于x的不等式|f(x)|4.,【解析】(1)当a=3时,则f(x)=3x-2, 所以|f(x)|4|3x-2|4-43x-24-23x6 - x2. 所以不等式的解集为,(2)|f(x)|0时,不等式的解集为 ; 当a0时,不等式的解集为,【规律方法】 形如|x-a|+|x-b|c(或c)型的不等 式主要有两种解法 (1)零点分区法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将 数轴分为(-,a,(a,b,(b,+)(此处设ab)三个部 分,在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式
4、 求解,然后取各个不等式解集的并集.,(2)几何法:利用|x-a|+|x-b|c(c0)的几何意义:数轴 上到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+|x- b|x-a-(x-b)|=|a-b|. 提醒:易出现解集不全的错误.对于含绝对值的不等式, 不论是分段去绝对值号还是利用几何意义,都要不重不 漏.,考点二 绝对值不等式性质的应用 【典例】(2019重庆模拟)已知函数f(x)=|2x+1|. (1)解不等式f(x)x+5. (2)若对于任意x,yR,有|x-3y-1| ,|2y+1| ,求 证f(x)1.,【解析】(1)f(x)x+5|2x+1|x+5 2x+1x+5或2x
5、+14或x-2. (2)f(x)=|2x+1|=|2x-6y-2+6y+3| 2|x-3y-1|+3|2y+1| =1.,【误区警示】本例易出现未能正确构造题设形式的问题,应结合已知条件灵活构造.,【规律方法】 利用不等式的性质证明 不等式的性质应用的难点是利用已知的绝对值不等式,构造出要证明的绝对值, (1)抓住典型区别进行构造:如本题中要证明的不等式中没有y,因此构造的过程中可以围绕着消去y进行构造.,(2)利用加项、减项进行构造:如|a-c|=|a-b+b-c| =|(a-b)+(b-c)|a-b|+|b-c|,根据要证明的不等式灵活加、减项.,【对点训练】 已知|2x-3|1的解集为m
6、,n. (1)求m+n的值. (2)若|x-a|m,求证:|x|a|+1.,【解析】(1)不等式|2x-3|1可化为-12x-31, 解得1x2,所以m=1,n=2,m+n=3. (2)若|x-a|1, 则|x|=|x-a+a|x-a|+|a|a|+1, 即|x|a|+1.,考点三 与绝对值不等式有关的参数问题 【明考点知考法】 与参数相关的绝对值不等式问题是高考的重点,也是绝对值不等式的难点,涉及含绝对值的函数的最值、图象、零点等综合性问题.,命题角度1 解绝对值不等式中的参数问题 【典例】(2019沈阳模拟)已知函数f(x)=|x-a|+3x, 其中aR. (1)当a=1时,求不等式f(x
7、)3x+|2x+1|的解集. (2)若不等式f(x)0的解集为x|x-1,求a的值.,【解析】(1)当a=1时,f(x)=|x-1|+3x, 由f(x)|2x+1|+3x得|x-1|-|2x+1|0, 故|x-1|2x+1|,解得-2x0, 所以不等式的解集为x|-2x0.,(2)由|x-a|+3x0,可得 或 即 或 当a0时,不等式的解集为 由- =-1,得a=2.,当a=0时,不等式的解集为x|x=0,不合题意, 当a0时不等式的解集为 由 =-1得a=-4,综上a=2或-4.,【状元笔记】 与绝对值的解集相关的问题 (1)用参数表示出解集,比较集合端点间的关系求范围 (2)利用函数图象
8、、零点、取值与已知集合端点之间的关系求范围,命题角度2 与最值有关的参数问题 【典例】(2018肇庆模拟)已知f(x)=|x+3|+|x-1|, g(x)=-x2+2mx. (1)求不等式f(x)4的解集. (2)若对任意的x1,x2,f(x1)g(x2)恒成立,求m的取值范 围.,【解析】(1)方法一:不等式 f(x)4,即|x+3|+|x-1|4. 可得 或 或 解得x1, 所以不等式的解集为x|x1.,方法二:|x+3|+|x-1|x+3-(x-1)|=4, 当且仅当(x+3)(x-1)0, 即x1或x-3时等号成立. 所以不等式的解集为x|x1.,(2)依题意可知f(x)ming(x)
9、max, 由(1)知f(x)min=4, g(x)=-x2+2mx=-(x-m)2+m2, 所以g(x)max=m2, 由m24得m的取值范围是-2m2.,【状元笔记】 存在、恒成立问题的解题策略 (1)存在、恒成立问题都可以转化成最值问题,但要注意最值类型不同 (2)利用绝对值不等式的性质求最值,命题角度3 方程的根和函数图象中的参数问题 【典例】设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|. (1)画出y=f(x)的图象. (2)当x0,+)时,f(x)ax+b,求a+b的最小值.,【解析】(1)f(x)= y=f(x)的图象如图所 示.,(2)由(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2, 且各部分所在直线斜率的最大值为3, 故当且仅当a3且b2时,f(x)ax+b在0,+)成立, 因此a+b的最小值为5.,【状元笔记】 利用图象求参数范围 首先画出含绝对值的函数的图象,再利用图象之间的关系求参数范围,