《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习3.2利用导数研究函数的单调性课件理新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习3.2利用导数研究函数的单调性课件理新人教A版.ppt（77页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第二节 利用导数研究函数的单调性 (全国卷5年6考),【知识梳理】 1.利用导数研究函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x), f(x)0f(x)在(a,b)上为_. f(x)0f(x)在(a,b)上为_. f(x)=0f(x)在(a,b)上为_.,增函数,减函数,常数函数,2.由导数求单调区间的步骤 (1)求定义域. (2)求导数. (3)由导数大于0求单调递增区间,由导数小于0求单调递减区间.,【常用结论】 1.利用导数求函数单调区间的方法 (1)当导函数不等式可解时,解不等式f(x)0或 f(x)0求出单调区间.,(2)当方程f(x)=0可解时,解出方程的实根,按实根把函数的定义域划
2、分区间,确定各区间f(x)的符号,从而确定单调区间. (3)若导函数的方程、不等式都不可解,根据f(x)的结构特征,利用图象与性质确定f(x)的符号,从而确定单调区间.,2.两个条件 (1)f(x)0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件. (2)f(x)0是函数f(x)为减函数的必要不充分条件.,3.确定单调区间端点值的三个依据 (1)导函数等于零的点. (2)函数不连续的点. (3)函数不可导的点.,4.三点注意 (1)在函数定义域内讨论导数的符号. (2)两个或多个增(减)区间之间的连接符号,不用“”,可用“,”或用“和”. (3)区间端点可以属于单调区间,也可以不属于单调区间.,【基础
3、自测】 题组一:走出误区 判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)如果恒有f(x)=0,那么函数y=f(x)在这个区间内是常数函数. ( ),(2)若函数f(x)在定义域上都有f(x)0恒成立. ( ),提示:(1). (2).不一定,如函数y= 的导函数y=- 0恒成立, 但是函数y= 的图象不是恒下降的. (3).不一定,如y=x3在-1,3上单调递增,但是 y=3x2在x=0处的值为0.,题组二:走进教材 1.(选修2-2P26T1改编)函数f(x)=x-ln x的单调递减区间为 ( ) A.(0,1) B.(0,+) C.(1,+) D.(-,0)(1,+),【解析】选A.函数的
4、定义域是(0,+), 且f(x)=1- 令f(x)0,得0x1.,2.(选修2-2P26T3改编)已知函数f(x)= x3- ax2, 其中参数a0.设函数g(x)=f(x)+(x-a)cos x-sin x, 讨论g(x)的单调性.,【解析】g(x)=f(x)+cos x-(x-a)sin x-cos x= x(x-a)-(x-a)sin x =(x-a)(x-sin x), 令h(x)=x-sin x,则h(x)=1-cos x0, 所以h(x)在R上单调递增,因为h(0)=0, 所以,当x0时,h(x)0;,当x0时,h(x)0. 当a=0时,g(x)=x(x-sin x), 当x(-,
5、+)时,g(x)0,g(x)单调递增; 所以g(x)在(-,+)上单调递增.,当a0时,g(x)=(x-a)(x-sin x), 当x(-,0)时,x-a0,g(x)单调递增; 当x(0,a)时,x-a0,g(x)0,g(x)单调递增. 综上,当a=0时,g(x)在(-,+)上单调递增;,当a0时,g(x)在(-,0)和(a,+)上单调递增,在(0,a)上单调递减.,考点一 利用导数讨论(或证明)函数单调性 【题组练透】 1.函数f(x)= 的图象大致为 ( ),【解析】选B.函数f(x)= 的定义域为x|x0,xR, 当x0时,函数f(x)= ,可得函数的极值点为: x=1,当x(0,1)时
6、,函数是减函数,x1时,函数是增函 数,并且f(x)0,选项B、D满足题意. 当x0时,函数f(x)= 0,选项D不正确.,2.已知函数f(x)=ln x+a(1-x),讨论f(x)的单调性.,【解析】f(x)的定义域为(0,+),f(x)= -a. 若a0,则f(x)0恒成立, 所以f(x)在(0,+)上单调递增. 若a0,则当x 时,f(x)0;x 时, f(x)0,所以f(x)在 上单调递增, 在 上单调递减.,3.(2018临沂模拟)已知函数f(x)=x2-aln x. (1)若函数f(x)在点(3,f(3)处切线的斜率为4,求实数a的值. (2)求函数f(x)的单调区间.,【解析】(
7、1)f(x)=2x- ,而f(3)=4,即23- =4, 解得a=6. (2)函数f(x)的定义域为(0,+). 当a0时,f(x)0,f(x)的单调递增区间为(0,+); 当a0时,f(x)=2x-,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下:,所以f(x)的单调递减区间是 ,单调递增区间是,【规律方法】 要特别注意的是,涉及含参数的单调性或单调区间问题,一定要弄清参数对导数f(x)在某一区间内的符号是否有影响.若有影响,则必须分类讨论.,考点二 利用导数求函数的单调区间 【典例】(2018杭州模拟)已知函数f(x)= x2-ax+ (a-1)ln x,当a0时,求函数f(x)的单调区间.
8、,【解析】由题知,函数f(x)的定义域为(0,+), f(x)=x-a+ 令f(x)=0,解得x1=1,x2=a-1, 当a2时,a-11,在区间(0,1)和(a-1,+)上f(x)0;,在区间(1,a-1)上f(x)0, 故函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和(a-1,+),单调递减区间是(1,a-1). 当a=2时,f(x)0恒成立,故函数f(x)的单调递增区间是(0,+).,当10; 在(a-1,1)上f(x)0, 故函数f(x)的单调递增区间是(0,a-1),(1,+),单调递减区间是(a-1,1).,当a=1时,f(x)=x-1,x1时f(x)0,x1时f(x)0, 函数f(x)
9、的单调递增区间是(1,+),单调递减区间是(0,1).,当02时函数f(x)的单调递增区间是(0,1)和 (a-1,+),单调递减区间是(1,a-1); 当a=2时,函数f(x)的单调递增区间是(0,+);,当1a2时,函数f(x)的单调递增区间是(0,a-1), (1,+),单调递减区间是(a-1,1); 当0a1时,函数f(x)的单调递增区间是(1,+),单调递减区间是(0,1).,【规律方法】 利用导数讨论(证明)函数f(x)在(a,b)内单调性的步骤 (1)求f(x). (2)确认f(x)在(a,b)内的符号. (3)得出结论:f(x)0时为增函数,f(x)0时为减函数.,提醒:研究含
10、参数函数的单调性时,需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.,【对点训练】 已知f(x)= (a0,且a为常数), 求f(x)的单调区间.,【解析】因为f(x)= (a0,且a为常数), 所以f(x)= 所以若a0时,当00;当x1时, f(x)0时,函数f(x)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).,若a1时,f(x)0. 即a0时,函数f(x)单调递增区间为(1,+),单调递减区间为(0,1).,考点三 利用导数解决函数单调性的应用问题 【明考点知考法】 利用导数解决函数单调性的应用问题多以解答题的形式呈现,试题难度较大.,命题角度1 依据函数的单调性求参数的取值范
11、围 【典例】已知函数f(x)=ex-2(a-1)x-b,其中e为自然对数的底数.若函数f(x)在区间0,1上是单调函数,试求实数a的取值范围.,【解析】根据题意,函数f(x)=ex-2(a-1)x-b, 其导数为f(x)=ex-2(a-1), 当函数f(x)在区间0,1上单调递增时, f(x)=ex-2(a-1)0在区间0,1上恒成立, 所以2(a-1)(ex)min=1(其中x0,1), 解得a ;,当函数f(x)在区间0,1上单调递减时, f(x)=ex-2(a-1)0在区间0,1上恒成立, 所以2(a-1)(ex)max=e(其中x0,1), 解得a +1. 综上所述,实数a的取值范围是
12、,【状元笔记】 求出函数的导数、变量分离,求函数最值得a的取值范围.,命题角度2 根据函数的单调性解决恒成立问题 【典例】(2018长春模拟)已知函数f(x)=x2eax. (1)当a2恒成立.,【解析】(1)由题意知f(x)=eax(ax2+2x),令f(x) =0,可得x=0或x=- . 又a- ,由f(x)0,得 0x- .所以函数f(x)在(-,0)和 上单调递 减,在 上单调递增.,(2)在(1)条件下,当- 1,即-2a0时,f(x)在 0,1上单调递增, 则f(x)的最大值为f(1)=ea; 当- 1,即a-2时,f(x)在 上单调递增,在 上单调递减, 则f(x)的最大值为,(
13、3)要证g(x)-xf(x)2, 即证(2-3x)ex2+ 令h(x)=(2-x3)ex, 则h(x)=(-x3-3x2+2)ex=-ex(x+1)(x2+2x-2), 又x(0,1),易知在(0,1)上h(x)存在极大值点, 又h(0)=2,h(1)=e,则h(x)在(0,1)上恒大于2,而2+ 在(0,1)上恒小于2,因此g(x)-xf(x)2在(0,1)上恒成立.,【状元笔记】 利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路 (1)由函数在区间a,b上单调递增(减)可知f(x) 0(f(x)0)在区间a,b上恒成立列出不等式. (2)利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题.,(3)对等号单
14、独检验,检验参数的取值能否使f(x)在整个区间恒等于0,若f(x)恒等于0,则参数的这个值应舍去;若只有在个别点处有f(x)=0,则参数可取这个值.,命题角度3 依据函数单调性解综合问题 【典例】已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex,当b1时,函数 f(x)在(-,-2),(1,+)上均为增函数,则 的最 大值为_.,【解析】由函数的解析式可得:f(x)=exx2+(a+2)x+ (a+b), 函数f(x)在(-,-2),(1,+)上均为增函数, 则在(-,-2),(1,+)上x2+(a+2)x+(a+b)0恒成立, 又由已知b1,所以 画出满足条件的平面区域,如图所示:,目标函数: 其中
15、 表示平面直角坐标系中的点(a,b)与点(2,-2) 之间连线的斜率, 数形结合可得,当点(a,b)位于C(-1,-1)时,斜率有最大值, 即a=b=-1时, 答案:,【状元笔记】 首先利用函数的单调性将原问题转化为线性规划的问题,然后利用线性规划的知识求解最大值即可.,【对点练找规律】 若函数f(x)=2x- sin 2x+2mcos x在(0,)上单调递增,则m的取值范围是_.,【解析】f(x)=2-cos 2x-2msin x, 若f(x)在(0,)上递增, 则2-cos 2x-2msin x0在(0,)恒成立, 即m x(0,),令g(x)= =sin x+ 2 当且仅当sin x=
16、时取等号. 故m . 答案:(-, ,思想方法系列7分类与整合思想在研究函数中的应 用 【思想诠释】含参数的函数的单调性问题一般要分类 讨论,常见有 以下几种可能:方程f(x)=0是否有根; 若f(x)=0有根,求出根后是否在定义域内;若根 在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法.,【典例】已知函数f(x)= (a0). (1)当a=0时,试求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线. (2)试讨论函数f(x)的单调区间.,【解析】(1)当a=0时,f(x)= , 所以f(x)= 所以k=f(0)=1, 因为f(0)=1, 所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y-1
17、=x,即x-y+1=0.,(2)f(x)= 当a=0时,函数定义域为R,f(x)= 0, 所以f(x)在R上单调递增. 当a(0,2)时,因为=a2-40恒成立, 函数定义域为R,又a+11,所以f(x)在(-,1)上单调递增,(1,1+a)上单调递减, (1+a,+)上单调递增. 当a=2时,函数定义域为(-,1)(1,+), f(x)= , 所以f(x)在(-,1)上单调递增,(1,3)上单调递减, (3,+)上单调递增.,当a(2,+)时,因为=a2-40,则x2-ax+1=0的两个 根为 由根与系数的关系易知两根均为正根, 且 所以函数的定义域为,又对称轴x= 0, 则 a+1, 所以
18、f(x)在 上单调递增, 上单调递减,(1+a,+)上 单调递增;,综上所述:当a=0时,f(x)在R上单调递增, 当a(0,2)时,f(x)在(-,1)上单调递增, (1,1+a)上单调递减,(1+a,+)上单调递增, 当a=2时,f(x)在(-,1)上单调递增,(1,3)上单调递减,(3,+)上单调递增,当a(2,+)时,f(x)在 上单调递增, 上单调递减,(1+a,+)上 单调递增.,【技法点拨】 (1)根据导数的几何意义即可求出. (2)先求导函数,然后讨论a,得到导数符号,从而得到函数的单调区间.,【即时训练】 已知函数f(x)=a(x-ln x)+ ,aR.试讨论f(x) 的单调性.,【解析】f(x)的定义域为(0,+), f(x)=a- 当a0时,x(0,1)时,f(x)0,f(x)单调递增; x(1,+)时,f(x)0时,f(x)=,(1)当01, 当x(0,1)或x 时,f(x)0,f(x)单调递增; 当x 时,f(x)0,f(x)单调递减. (2)当a=2时, =1,在x(0,+)内,f(x)0, f(x)单调递增.,(3)当a2时,00,f(x)单调递增; 当x 时,f(x)0,f(x)单调递减. 综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增, 在(1, +)内单调递减;,当02时,f(x)在 内单调递增,在 内单调 递减,在(1,+)内单调递增.,