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1、第四节 导数的综合应用(全国卷5年12考),考点一 利用导数求函数的零点或方程根的问题 【典例】(2019濮阳模拟)已知函数f(x)=e2x+aex-(a+2)x. (1)讨论f(x)的单调性. (2)是否存在实数a,使得f(x)有三个相异零点?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.,【解析】(1)由题可知 f(x)=2e2x+aex-(a+2)=(ex-1)(2ex+a+2). 当a+20,即a-2时,令f(x)=0得x=0,易知f(x)在 (-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增. 当a-2时,令f(x)=0得x=0或,当 0,即a-4时,f(x)在(-,0), 上单调递增, 在 上
2、单调递减; 当a=-4时,f(x)=2(ex-1)20,f(x)在R上单调递增; 当a(-4,-2)时,f(x)在 (0,+)上单调递增,在 上单调递减.,(2)不存在.理由如下:假设f(x)有三个相异零点.由(1)的讨论,一定有a(-,-4)(-4,-2)且f(x)的极大值大于0,极小值小于0. 已知取得极大值和极小值时x=0或x= ,注意到此时恒有,f(0)=a+10， 又f = a(-4,-2),故存在a使得2-a-4 .,令t= (0,1),即存在t(0,1)满足ln t1+ . 令g(t)=ln t-1- ,g(t)= 从而g(t)在(0,1)上单调递增,所以g(t)1+ ,与假设矛
3、盾, 从而不存在a使得f(x)有三个相异零点.,【规律方法】利用导数研究函数零点或方程根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法. 借助导数研究函数的单调性、极值后,通过极值的正负,函数单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围.,(2)数形结合法求解零点. 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性,画出草图数形结合确定其中参数的范围.,(3)构造函数法研究函数零点. 根据条件构造某个函数,利用导数确定函数的单调区间及极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求解.,解决此类问题
4、的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化,突出导数的工具作用,体现转化与化归的思想方法.,【对点训练】(2018信阳模拟)已知函数f(x)=4x2+ -a, g(x)=f(x)+b,其中a,b为常数. (1)若x=1是函数y=xf(x)的一个极值点,求曲线y=f(x) 在点(1,f(1)处的切线方程. (2)若函数f(x)有2个零点,f(g(x)有6个零点,求a+b的 取值范围.,【解析】(1)函数f(x)=4x2+ -a,则y=xf(x)=4x3+1-ax 的导数为y=12x2-a, 由题意可得12-a=0,解得a=12, 即有f(x)=4x2+ -12, f(x)=8x- , 可得曲
5、线在点(1,f(1)处的切线斜率为7,切点为(1,-7),即有曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程为y+7=7(x-1), 即为y=7x-14.,(2)由f(x)=4x2+ -a,导数f(x)=8x- ,当x 时, f(x)0,f(x)在 上单调递增;当x0或0x 时, f(x)0,f(x)在(-,0), 上单调递减.,可得x= 处取得极小值,且为3-a, 由f(x)有两个零点,可得3-a=0,即a=3,零点分别为 -1, . 令t=g(x),即有f(t)=0,可得t=-1或 ,则f(x)=-1-b 或f(x)= -b,由题意可得f(x)=-1-b或f(x)= -b都有3个实数解,
6、则-1-b0,且 -b0,即b-1且b ,可得b-1, 即有a+b2. 则a+b的取值范围是(-,2).,考点二 利用导数求解生活中的优化问题 【典例】(2018盐城模拟)有一矩形硬纸板材料(厚度 忽略不计),一边AB长为6分米,另一边足够长.现从中截 取矩形ABCD(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩 下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒,(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中OEMF是以O为圆 心、EOF=120的扇形,且弧 分别与边BC,AD 相切于点M,N. (1)当BE长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积. (2)当BE的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最 大?,【
7、解析】(1)在题图甲中,连接MO交EF于点T 设OE=OF=OM=R, 在RtOET中,因为EOT= EOF=60, 所以OT= ,则MT=OM-OT= . 从而BE=MT= ,即R=2BE=2.,故所得柱体的底面积 S=S扇形OEF-SOEF= R2- R2sin 120= 又所得柱体的高EG=4, 所以V=SEG= -4 . 答:当BE长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为 立方分米.,(2)设BE=x,则R=2x,所以所得柱体的底面积 S=S扇形OEF-SOEF= R2- R2sin 120= x2, 又所得柱体的高EG=6-2x, 所以V=SEG= (-x3+3x2),其中0x3. 令f
8、(x)=-x3+3x2,0x3,则由f(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),令f(x)=0. 解得x=2. 列表如下:,所以当x=2时,f(x)取得最大值. 答:当BE的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大.,【规律方法】 利用导数解决生活中的优化问题的四个步骤 (1)分析实际问题中各量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).,(2)求函数的导数f(x),解方程f(x)=0. (3)比较函数在区间端点和f(x)=0处的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值. (4)回归实际问题作答.,【对点训练】 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计
9、厚度). 设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米. 假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄 水池的总建造成本为12 000元(为圆周率).,(1)将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域. (2)讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大.,【解析】(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh =200rh元,底面的总成本为160r2元,所以蓄水池的 总成本为(200rh+160r2)元.又根据题意得200rh +160r2=12 000,所以h= (300-4r2),从而V(r)= r2h
10、= (300r-4r3).由h0,且r0可得0r5 ,故函 数V(r)的定义域为(0,5 ).,(2)因为V(r)= (300r-4r3),所以V(r)= (300-12r2). 令V(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因为r2=-5不在定义域内, 舍去). 当r(0,5)时,V(r)0,故V(r)在(0,5)上为增函数;,当r(5,5 )时,V(r)0,故V(r)在(5,5 )上为减 函数. 由此可知,V(r)在r=5处取得最大值,此时h=8, 即当r=5,h=8时,该蓄水池的体积最大.,考点三 利用导数求解不等式的有关问题 【明考点知考法】 利用导数研究不等式是高考常考内容,主要考查利用
11、导数证明不等式问题及函数在某个区间恒成立问题,题目以解答题形式呈现,属难题.,命题角度1 证明不等式 【典例】已知函数f(x)=(x+1)eax(a0),且x= 是它 的极值点. (1)求a的值. (2)求f(x)在t-1,t+1上的最大值. (3)设g(x)=f(x)+2x+3xln x,证明:对任意x1,x2(0,1), 都有|g(x1)-g(x2)| +1.,【解析】(1)f(x)=(x+1)eax(a0)的导数f(x)=eax+a(x+1)eax=(ax+a+1)eax, 因为x= 是f(x)的一个极值点, 所以f =(a+3)e2=0, 所以a=-3.,(2)由(1)知f(x)=(x
12、+1)e-3x,f(x)=(-3x-2)e-3x, 易知f(x)在 上递增,在 上递减, 当t+1- ,即t- 时,f(x)在t-1,t+1上递增, f(x)max=f(t+1)=(t+2)e-3(t+1);,当t-1- ,即t 时,f(x)在t-1,t+1上递减, f(x)max=f(t-1)=te-3(t-1); 当t-1- t+1,即- t 时,f(x)max=f,(3)g(x)=(x+1)e-3x+2x+3xln x, 设g(x)=m1(x)+m2(x),x(0,1), 其中m1(x)=(x+1)e-3x+2x,m2(x)=3xln x, 则m1(x)=(-3x-2)e-3x+2, 设
13、h(x)=(-3x-2)e-3x+2, 则h(x)=(9x+3)e-3x0,可知m1(x)在(0,1)上是增函数, 所以m1(x)m1(0)=0, 即m1(x)在(0,1)上是增函数, 所以10, 得x ;由m2(x)0,得0x ,所以m2(x)在 上单调递减,在 上单调递增, 所以- m2(x)0, 从而1- m1(x)+m2(x)2+ . 所以,对任意x1,x2(0,1), |g(x1)-g(x2)|,【状元笔记】不等式的证明问题解题策略 可以从所证不等式的结构和特点出发,结合已有的知识 利用转化与化归思想,构造一个新的函数,再借助导数 确定函数的单调性,利用单调性实现问题的转化,从而 使
14、不等式得到证明,其一般步骤是:构造可导函数研 究单调性或最值得出不等关系整理得出结论.,命题角度2 已知不等式恒成立,求参数的取值范围 【典例】(2018开封模拟)已知函数f(x)=(t-1)xex, g(x)=tx+1-ex. (1)当t1时,讨论f(x)的单调性. (2)f(x)g(x)在0,+)上恒成立,求t的取值范围.,【解析】(1)由f(x)=(t-1)xex,得f(x)=(t-1)(x+1)ex, 若t1,则x-1时, f(x)0,f(x)递增, 若t0,f(x)递增,x-1时, f(x)0,f(x)递减,故t1时,f(x)在(-,-1)上递减,在(-1,+)上递增, t1时,f(
15、x)在(-,-1)上递增,在(-1,+)上递减.,(2)f(x)g(x)在0,+)上恒成立, 即(t-1)xex-tx-1+ex0对x0成立, 设h(x)=(t-1)xex-tx-1+ex, h(0)=0,h(x)=(t-1)(x+1)ex-t+ex,h(0)=0, h(x)=ex(t-1)x+2t-1,t=1时,h(x)=ex0,h(x)在0,+)上递增, 所以h(x)h(0)=0,故h(x)在0,+)上递增, 故h(x)h(0)=0,显然不成立, 所以t1,则h(x)=ex (t-1), 令h(x)=0,则x=- ,当- 0即t 或t1时, 若t ,则h(x)在0,+)上为非正数,h(x)
16、递减, 故有h(x)h(0)=0,h(x)在0,+)上递减, 所以h(x)h(0)=0成立, 若t1,则h(x)在0,+)上为正,h(x)递增,故有h(x)h(0)=0,故h(x)在0,+)上递增, 故h(x)h(0)=0,不成立, - 0即 t1时, h(x)在 内有h(x)h(0)=0,h(x)递增, 故h(x)在 内有h(x)h(0)=0不成立,综上,t的 范围是,【状元笔记】 不等式恒成立问题解题策略 若f(x)a或g(x)a恒成立,只需满足f(x)mina或g(x)maxa即可,利用导数方法求出f(x)的最小值或g(x)的最大值,从而问题得解.,命题角度3 不等式存在性问题 【典例】
17、(2018商丘模拟)已知函数 f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x(a0). (1)如图,设直线x=- ,y=-x将坐标平面分成, 四个区域(不含边界),若函数y=f(x)的图象恰好位于 其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a的取 值范围.,(2)当a 时,求证:x1,x2(0,+)且x1x2, 有f(x1)+f(x2) .,【解析】(1)因为函数的定义域为 ,且当x=0时,f(0)=-a0, 又直线y=-x恰好过原点, 所以函数y=f(x)的图象应位于区域内, 于是f(x)-x, 即(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)2-x-x,因为2x+10,所以a
18、令h(x)= 所以h(x)= 令h(x)=0,得x= , 因为x- ,所以x 时,h(x)0,h(x)单调 递增,x 时,h(x) .,(2)因为f(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1, 设u(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1, 则u(x)= -8a, 因为x0时, 时,8a4, 所以u(x)= -8a0,所以x0时f(x)为单调递减函数, 不妨设x2x10, 令g(x)=f(x)+f(x1)-2f (xx1), 可得g(x1)=0, g(x)=f(x)-f , 因为x 且f(x)在(0,+)上是单调递减函数,所以g(x)x1,g(x)为单调递减函数, 所以g(x2)
19、g(x1)=0, 即f(x1)+f(x2)2f .,【状元笔记】 存在xa,b,f(x)a成立f(x)maxa. 存在xa,b,f(x)a成立f(x)mina. 存在x1a,b. 对任意x2a,bf(x1)g(x2)成立f(x)ming(x)min.,【对点练找规律】 1.(2018郑州模拟)设函数f(x)=ax2-(x+1)ln x,曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的斜率为0. (1)求a的值. (2)求证:当0 x.,【解析】(1)f(x)=2ax-ln x-1- , 由题意可得:f(1)=2a-2=0,所以a=1.,(2)只需证:x- -ln x ,令g(x)=x-ln x, h(x
20、)= + , 由g(x)=1- =0解得:x=1,所以g(x)在(0,1)上递减, 在(1,2上递增, 故g(x)min=g(1)=1,由h(x)= 可知:h(x)在(0,2上递增, 故h(x)max=h(2)= x.,2.(2018洛阳模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(aR). (1)若曲线y=f(x)与直线x-y-1-ln 2=0相切,求实数a的 值. (2)若不等式(x+1)f(x)ln x- 在定义域内恒成立, 求实数a的取值范围.,【解析】(1)根据题意,由f(x)=ln x-ax, 得f(x)= -a, 设切点横坐标为x0, 依题意得 解得 ,即实数a的值为1.,(2)由在(
21、x+1)f(x)=(x+1)(ln x-ax)ln x- 定义域 内恒成立, 得a 在定义域内恒成立, 令g(x)= (x0), 则g(x)=,再令h(x)=1- -ln x, 则h(x)=- 0,从而g(x)0,g(x)在x(0,e)上递增;,当x(e,+)时,h(x)0,从而g(x)0,g(x)在 x(e,+)递减, 所以g(x)在x=e处取得最大值g(e)= 所以实数a的取值范围是,数学能力系列7数形结合在零点问题中的应用 【能力诠释】在运用数形结合思想分析和解决问题时, 要注意三点:第一要彻底明白一些概念和运算的几何意 义以及曲线的代数特征, 对数学题目中的条件和结论 既分析其几何意义
22、又分析其代数意义;第二是恰当设参、,合理用参,建立关系,由数思形,以形想数,做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围.在解答导数问题中,主要存在两类问题,一是“有图考图”,二是 “无图考图”.,【典例】已知f(x)= (xR),若关于x的方程 f2(x)-mf(x)+m-1=0恰好有4个不相等的实数根,则实 数m的取值范围为 ( ) A. (2,e) B. C. D.,【解析】选C.依题意,由f2(x)-mf(x) +m-1=0,得f(x)=1或f(x)=m-1.当x0时,f(x)=xe-x,f(x)=-(x-1)e-x, 若00,f(x)是增函数;若x1,则f(x) 0,f(x)是减函数.
23、因此,要使关于x的方程f2(x)-mf(x),+m-1=0恰好有4个不相等的实数根,只要求直线y=1,直 线y=m-1与函数y=f(x)的图象共有四个不同的交点.注 意到直线y=1与函数y=f(x)的图象有唯一公共点,因此 要求直线y=m-1与函数y=f(x)的图象共有三个不同的交 点,结合图象可知,0m-1 ,即1m1+ ,则实数m的 取值范围为,【技法点拨】导数在研究函数零点中的应用 (1)研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点,归根到底是研究函数的性质,如单调性、极值等.,(2)用导数研究函数的零点,一方面用导数判断函数的单调性,借助零点存在性定理判断;另一方面,也可将零点问题转化为函数图象的交点问题,利用数形结合来解决. (3)了解曲线的意义以及曲线的代数特征正确求出参数的取值范围.,【即时训练】 已知函数f(x)的定义域为-1,4,部分对应值如表:,f(x)的导函数y=f(x)的图象如图所示,当1a2时,函数y=f(x)-a的零点的个数为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.根据导函数的图象知,2是函数的极小值点,函数f(x)的大致图象如图所示,由于f(0)=f(3)=2, 1a2,所以y=f(x)-a的零点个数为4.,