《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理新人教A版.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《黄冈名师2020版高考数学大一轮复习4.1任意角和蝗制及任意角的三角函数课件理新人教A版.ppt（81页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第四章 三角函数、解三角形 第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(全国卷5年1考),【知识梳理】 1.任意角的概念 (1)角的概念:角可以看成平面内一条射线绕着_从 一个位置旋转到另一个位置所成的图形.,端点,(2)角的分类:按旋转方向分为_角、_角、_角; 按终边位置分为_角、_角. (3)终边相同的角:与角终边相同的角的集合:S= |= _.,正,负,零,象限,轴线,+k360,kZ,2.弧度制 (1)弧度角:长度等于_的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角;1弧度=_. (2)弧长、扇形面积的公式:设扇形的弧长为l,圆心角 大小为(rad),半径为r,则l=_,扇形的面积为S= _=_.,
2、半径长,r,3.任意角的三角函数 (1)定义:设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么sin =_,cos =_,tan =_.,y,x,(2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何 表示,正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点, 正切线的起点都是(1,0),如图中有向线段MP,OM,AT分 别叫做角的_、_和_.,正弦线,余弦线,正切线,【常用结论】 1.明晰角的概念 (1)第一象限角未必是锐角,但锐角一定是第一象限角. (2)不相等的角未必终边不相同,终边相同的角也未必相等.,2.角的应用的两个关注点 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是
3、弧度. (2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致,不能混用.,3.三角函数值的符号口诀 三角函数值在各象限的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.,4.三角函数定义的推广 设点P(x,y)是角终边上任意一点且不与原点重合, r=|OP|,则sin = ,cos = ,tan = .,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)小于90的角是锐角. ( ) (2)锐角是第一象限角,反之亦然. ( ),(3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30. ( ) (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等. ( ),提示:根据任意角的概念知(1)(2
4、)(3)(4)均是错误的. 答案:(1) (2) (3) (4),2.已知角的终边过点P(-1,2),则sin = ( ) 【解析】选B.因为|OP|= (O为坐标原点), 所以sin =,3.已知扇形的圆心角为60,其弧长为2,则此扇形的 面积为_. 【解析】设此扇形的半径为r,由题意得 r=2,所以 r=6,所以此扇形的面积为 26=6. 答案:6,题组二:走进教材 1.(必修4P5T4改编)下列与 的终边相同的角的表达 式中正确的是 ( ) A.2k+45(kZ) B.k360+ (kZ) C.k360-315(kZ) D.k+ (kZ),【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
5、 同时出现角度和弧度,应为 +2k或k360+45 (kZ).,2.(必修4P20A组T2改编)已知角的终边过点 P(-8m,-6sin 30)(m0),且cos =- ,则m的值 为 ( ) A.- B. C.- D.,【解析】选B.由P(-8m,-3)(m0)知点P位于第三或第 四象限,又因为cos =- 0,又因为cos = ,所以m= .,考点一 象限角与终边相同的角 【题组练透】 1.设是第三象限角,且 则 是 ( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角,【解析】选B.因为是第三象限角,所以+2k +2k(kZ),故 +k +k(kZ),当k= 2n(nZ
6、)时, +2n +2n(nZ), 是第二象 限角,当k=2n+1时, +2n +2n(nZ), 是第四象限角,又 即cos 0,因此 是 第二象限角.,2.若角=45+k180,kZ,则角的终边落 在 ( ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限,【解析】选A.当k为偶数时,令k=2n,=45+n360,此时为第一象限角,排除C,D;当k为奇数时,令k=2n +1,=225+n360,此时是第三象限角,排除B;所以角的终边落在第一或第三象限.,3.下列各角中,与角330的终边相同的是( ) A.150 B.-390 C.510 D.-150 【解析】选
7、B.与角330的终边相同的角为=k360+330(kZ),令k=-2,可得=-390.,4.(2018福州模拟)与-2 010终边相同的最小正角是_.,【解析】因为-2 010=(-6)360+150, 所以150与-2 010终边相同,又终边相同的两个角相差360的整数倍,所以在0360中只有150与-2 010终边相同,故与-2 010终边相同的最小正角是150. 答案:150,【互动探究】若将题1中的条件“是第三象限角”变为“是第一象限角”,其他条件不变,结论又如何呢?,【解析】选C.因为是第一象限角,所以2k +2k(kZ),故k +k(kZ), 当k=2n(nZ)时,2n 2n+ (
8、nZ), 是第 一象限角, 当k=2n+1时,+2n +2n(nZ), 是第三 象限角,又因为 即cos 0,故 是第三象限角.,【规律方法】 1.表示区间角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360 360范围内的角和,写出最简区间.,(3)起始、终止边界对应角,再加上360的整数倍,即得区间角集合.,2.象限角的两种判断方法 (1)图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象 限角的定义直接判断已知角是第几象限角. (2)转化法:先将已知角化为k360+(0 360,kZ)的形式,即找出与已知角终边相同的角, 再由角终
9、边所在的象限判断已知角是第几象限角.,【拓展】求 或n(nN*)所在象限的方法 (1)将的范围用不等式(含有k)表示. (2)两边同除以n或乘以n. (3)对k进行讨论,得到 或n(nN*)所在的象限.,提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角的终边逆时针旋转180可得角+180的终边,类推可知+k180(kZ)表示终边落在角的终边所在直线上的角.,考点二 弧度制、扇形的弧长及面积公式的应用 【典例】(1)已知扇形的面积为2 ,扇形的圆心角的 弧度数是 ,则扇形的周长为_.,(2)已知扇形的圆心角为,所在圆的半径为r. 若=120,r=6,求扇形的弧长; 若扇形的周长为24,当为多少弧度时,该
10、扇形面积S最大;并求出最大面积.,【解析】(1)设扇形的弧长为l,半径为R,由题意可得: 解得:l=2 ,R=2,则扇形的周长为:l+2R=4+2 . 答案:4+2,(2)因为=120=120 r=6,所以l=r= 6=4; 设扇形的弧长为l,则l+2r=24,即l=24-2r(0r12). 扇形的面积 S= lr= (24-2r)r=-r2+12r,=-(r-6)2+36, 所以当且仅当r=6时,S有最大值36, 此时l=24-26=12,所以= =2rad.,【误区警示】切记在利用公式S= R2求扇形面积时 的单位是弧度而并非度,因此本题解答过程中将120 先化为了弧度,再代入公式求解.,
11、【规律方法】应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.,(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.,【对点训练】 1.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,卷一方田三三二:“今有宛田,下周三十步,径十六步.问为田几何?”译成现代汉语其意思为:有一块扇形的田,弧长30步,其所在圆的直径是16步,问这块田的面积是多少(平方步)? ( ) A.120 B.240 C.360 D.480,【解析】选A.由题意可得:S= 830=120(
12、平方步).,2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为 ( ),【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 r, 所以圆心角弧度为,考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点知考法】 任意角三角函数的定义,是三角函数的最基本的概念,很多知识点都是在其基础之上派生出来的.试题常以选择题、填空题形式出现,考查符号的判断、比较大小、解不等式及求值等问题.,命题角度1 三角函数值符号的判断问题 【典例】sin 2cos 3tan 4的值 ( ) A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在,【
13、解析】选A.因为 0,cos 30. 所以sin 2cos 3tan 40.,【状元笔记】 三角函数值符号的判断方法 (1)先分别判断每个三角函数值的符号. (2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.,命题角度2 比较大小、解不等式问题 【典例】函数y= 的定义域为_.,【解析】由题意可得sin x- 0,即sin x .作 直线y= 交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围 成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围, 故满足条件的角x的集合为,答案:,【状元笔记】 利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤 (1)用边界值定出角的终边位置. (2)根据不等式组定出角的范围
14、. (3)求交集,找单位圆中公共的部分. (4)写出角所满足的范围.,命题角度3 利用任意角三角函数定义求值问题 【典例】已知角的终边经过点P(- ,m)(m0)且 sin = m,试判断角所在的象限,并求cos 和 tan 的值.,【解析】由题意得r= ,所以sin = = (m0),所以m= ,故角是第二或第三象限角. 当m= 时,r=2 ,点P的坐标为 所以,当m=- 时,r=2 ,点P的坐标为 所以 综上可知,cos =- ,tan =- 或cos =- , tan = .,【状元笔记】 用定义法求三角函数值的两种情况 (1)已知角终边上一点P的坐标,则可先求出点P到原点的距离r,然后
15、用三角函数的定义求解.,(2)已知角的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求解.,【对点练找规律】 1.点A(sin 2 018,cos 2 018)位于 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,【解析】选C.2 018=5360+218,为第三象限角, 所以sin 2 018=sin 2180,cos 2 018= cos 2180, 所以点A在第三象限.,2.若 从单位圆中的三角函数线观察sin , cos ,tan 的大小是 ( ) A.sin tan cos B.cos sin tan C.sin cos
16、tan D.tan sin cos ,【解析】选C.如图所示,作出角的正弦线MP,余弦线 OM,正切线AT,因为 所以终边位置在图中 的阴影部分,观察可得ATOMMP,故有sin cos tan .,3.(2018资阳模拟)已知角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,若它的终边经过点P(2,1),则tan 2= ( ),【解析】选A.因为角的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,终边经过点P(2,1), 所以tan = , 因此tan 2=,数学能力系列9现实生活中数学建模的核心素养 【能力诠释】数学建模就是根据实际问题来建立数学模型,对数学模型来进行求解,然后根据结果去解决实际问题
17、.,【典例】如图,某大型水上乐园内有一块矩形场地 ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半 圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐 园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该 主题乐园.为了进一步提高经济效益,水上乐园管理部 门决定沿着 修建不锈钢护栏,沿着线段EF修建,该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为 上的动点,EFAB,且线段EF与线段AB在圆心O1和O2连 线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线 部分的平均修建费用为400元/米.,(1)若EF=80米,则检票等候区域(其中阴影部分)面积为多少平方米
18、? (2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.,【解析】(1)如图,设直线EF与矩形ABCD交于M,N两点, 连O1E,O2F,则ME=20米,O1M=20 米.,梯形O1O2FE的面积为 (120+80)20 =2 000 (平方米), 矩形AO1O2B的面积为12040=4 800平方米, 由AO1E= ,得扇形O1AE和扇形O2FB的面积均为 1 600= 平方米,故阴影部分面积为 平方米.,(2)设AO1E=, ,则 =40, 所以EF=120-240sin =120-80sin , 修建费用f()=20080+400(120-80sin )= 16 000(+3-2sin ), 所以
19、f()=16 000(1-2cos ),令f()=0,得= ,当变化时,f()、f()的变化情况如下表:,由上表可得当= ,即AO1E= 时,f()有极小值, 也为最小值. 故当AO1E为 时,修建费用最低.,【即时训练】 在一块顶角为120、腰长为2的等腰三角形厚钢板废料OAB中用电焊切割成扇形,现有如图所示两种方案,既要充分利用废料,又要切割时间最短,问哪一种方案最优?,【解析】因为AOB是顶角为120、腰长为2的等腰三 角形, 所以A=B=30= ,AM=BN=1,AD=2, 所以方案一中扇形的弧长=2 ;方案二中扇形的 弧长=1,方案一中扇形的面积= 22 ,方案二中扇形 的面积= 由此可见:两种方案中利用废料面积相等,方案一中切 割时间短.因此方案一最优.,