黄冈名师2020版高考数学大一轮复习9.1空间几何体课件理新人教A版.ppt

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1、第九章 立 体 几 何 第一节 空间几何体(全国卷5年18考),【知识梳理】 1.多面体的结构特征,互相平行,多边形,公共顶点,底面,截面,底面,2.旋转体的形成,3.空间几何体的三视图 空间几何体的三视图是由_得到的,这种投影下 与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形 状和大小是_的,三视图包括_、_ _、_.,正投影,完全相同,正视图,侧视,图,俯视图,4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是: (1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直,直观图中,x 轴、y轴的夹角为45(或135),z轴与x轴、 y轴所在平面垂直.,(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直

2、观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.,5.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,2rl,rl,(r+r)l,6.空间几何体的表面积和体积公式,Sh,Sh,4R2,【常用结论】 1.正棱锥中的四个直角三角形 (1)高、斜高、底面边心距. (2)高、侧棱、底面外接圆半径. (3)斜高、侧棱、底面边长一半. (4)底面边心距、外接圆半径、底面边长一半.,2.直观图与原图形的面积关系 利用斜二测画法,画出的水平放置的平面图形的直观图 的面积是原来图形的 倍. 3.三视图的三条要求 三视图中“长对正、高平齐、宽相等”

3、.,4.正四面体的性质 棱长为a的正四面体,其高为 a.其内切球和外接球的 球心重合,是正四面体的中心.其外接球和内切球的半 径分别为 a和 a.,5.祖暅原理 幂势既同,则积不容异. 夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截得的两个截面的面积总相等,那么这两个几何体的体积相等.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)有两个平面平行,其余各面都是四边形的多面体是棱柱. ( ),(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥. ( ) (3)有两个面是平行的相似多边形,其余各面都是梯形的几何体是棱台. ( ),(4

4、)用一个平面去截棱锥,棱锥的底面和截面之间的部分是棱台. ( ) (5)棱台的侧面都是梯形. ( ) (6)棱台的侧棱长都相等. ( ),提示:(1),也可以是棱台. (2),棱锥其余各面都是有同一个公共顶点的三角形. (3),侧棱延长后必须交于一点. (4),必须用平行于底面的平面去截棱锥. (5),正确. (6),正棱台的侧棱长相等,非正棱台不一定相等.,2.如图所示,E,F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1中平面ADD1A1,平面BCC1B1的中心,则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是_(填序号).,【解析】由正投影的定义可知,四边形BFD1E在面AA1D1D与平面BB1

5、C1C上的正投影是图;其在平面ABB1A1与平面DCC1D1上的正投影是图;其在面ABCD与平面A1B1C1D1上的正投影也是图. 答案:,题组二:走进教材 1.(必修2P8T1改编)根据给出的平面图形,制作几何体,写出它们的名称,画出它们的直观图及三视图. (1),(2) (3),(4) (5),【解析】(1)正四面体,(2)正四棱锥,(3)正方体,(4)正四棱台,(5)正六棱柱,2.(必修2P28A组T2改编)一个圆台的母线长为20,上底面的直径为20,母线与底面所成的角为60,求这个圆台的表面积和体积.,【解析】因为上底面的直径为20,所以圆台的上底面的半径为10,如图,画出圆台的轴截面

6、的一半.,因为母线与底面所成的角为60,所以ABC=60,高 h=O1O=AC=10 ,BC=10,所以下底面半径OB=20,所以圆 台的侧面积为S侧=(r上+r下)l=(10+20)20=600, 上底面的面积为 =100,下底面的面积为 = 400,所以圆台的表面积为600+100+400=,1 100,圆台的体积为V=,3.(必修2P37T2改编)一个半径为21的球形冰块融化在 一个半径为14的圆柱形的水桶内,求水面的高度. 【解析】设水面的高度为h,则 =142h,解得 h=63,所以水面高度为63.,考点一 空间几何体的结构特征 【题组练透】 1.若四面体的三对相对棱分别相等,则称之

7、为等腰四面 体若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直,则称之,为直角四面体,以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为四面体的顶点,可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为 ( ) A.2,8 B.4,12 C.2,12 D.12,8,【解析】选A.因为矩形的对角线相等,所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的,所以长方体中有8个直角四面体.,2.圆台的高为4,过高的三等分点作平行于底面的两个截面,若截面的面积分别为361,400,则圆台的母线长为 ( ) A.2 B.3 C.4 D.5,【解析】选D.设两个截面的半径分别为r1,r2,则由

8、 =361,得r1=19,由 =400,得r2=20,如图,作出圆台的轴截面的一半ABCD,过高AB的三等分点M,N,作平行线交母线CD于点E,F,所以点E,F为母线CD的三等分点,过点E作EH垂直于BC,过点F作FI垂直于BC,点H,I为垂足.因为点F为EC的中点,所以HI=IC=1.过点D作BC的垂线,垂足为点J,则DJ=4,JC=3,所以母线长为5.,3.四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面是矩形,则四个侧面中直角三角形的个数是 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4,【解析】选D.如图,因为PA底面ABCD,所以PAAB, PAAD,因为底面是矩形,所以BCAB,又因为PABC

9、, 所以BC平面PAB,所以BCPB,同理CDPD,所以四个 侧面都是直角三角形.,4.把一个半径为20的半圆卷成圆锥的侧面,则这个圆锥 的高为 ( ) A.10 B.10 C.10 D.5,【解析】选B.设圆锥的底面半径为r,高为h.因为半圆 的弧长等于圆锥的底面周长,半圆的半径等于圆锥的母 线,所以2r=20,所以r=10,所以h=,5.在正方体上任意选择4个顶点,它们可能是如下几种几何图形的4个顶点,这些几何图形是_.(写出所有正确结论的编号),矩形;不是矩形的平行四边形;有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;每个面都是等边三角形的四面体;每个面都是直角三角形的四面体.

10、,【解析】4个顶点连成矩形的情形显然成立;图(1)中四 面体A1-D1B1A是中描述的情形;图(2)中四面体D-A1C1B 是中描述的情形;图(3)中四面体A1-D1B1D是中描述 的情形,因此正确答案为.,答案:,【规律方法】空间几何体结构特征的判定方法 (1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线面等基本要素,根据定义进行判定. (2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析,即要说明一个结论是错误的,只要举出一个反例即可.,考点二 空间几何体的表面积与体积 【典例】(1)(2018全国卷)已知圆柱的上、下底面 的中心分别为O1,O2,过直线O1O

11、2的平面截该圆柱所得的 截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为 ( ),A.12 B.12 C.8 D.10,【解析】选B.截面面积为8,所以高h=2 ,底面半径 r= ,所以该圆柱的表面积S=( )22+2 2 =12.,(2)如图,在直角梯形ABCD中,AD=AB=4,BC=2,沿中位线EF折起,使得AEB为直角,连接AB,CD,求所得的几何体的表面积和体积.,【解析】如图,过点C作CM平行于AB,交AD于点M,作CN平 行于BE,交EF于点N,连接MN.由题意可知ABCM,BENC都是 矩形,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2 ,所以SAEB= 22=2, S梯形AB

12、CD= (2+4)2 =6 , S梯形BEFC= (2+3)2=5, S梯形AEFD= (3+4)2=7,在直角三角形CMD中,CM=2 ,MD=2,所以CD=2 .又因 为DF=FC= ,所以SDFC= 2 = ,所以这 个几何体的表面积为2+6 +5+7+ =14+6 + .,因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN 和四棱锥C-MNFD,又因为直三棱柱ABE-MCN的体积为 V1=SABEAM= 222=4,四棱锥C-MNFD的体积 为V2= S四边形MNFDBE= (1+2)22=2,所以 所求几何体的体积为V1+V2=6.,【答题模板微课】本例(2)的求体积模板化过程:

13、 建模板: 因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和四棱锥C-MNFD, 分割,因为直三棱柱ABE-MCN的底面ABE是等腰直角三角形, 所以SABE= 22, 求出底面积 又因为直三棱柱ABE-MCN的高为AM=2. 求高,所以直三棱柱ABE-MCN的体积为V1=SABEAM= 2 22=4, 代入公式求体积 同理四棱锥C-MNFD的体积为V2= S四边形MNFDBE= (1+2)22=2,所以所求几何体的体积为V1+V2=6. 求总的体积,套模板: 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个 动点E,F,且EF= , 求三棱锥A-BEF的体积.,【

14、解析】连接BD,交AC于点O.在矩形BDD1B1中,点B到 D1B1的距离等于棱长1,所以SBEF= 求出底面积 因为AC垂直于对角面BDD1B1,所以AC垂直于平面BEF,所 以AO等于三棱锥A-BEF的高, 求高,所以三棱锥A-BEF的体积为VA-BEF= SBEFAO= 代入公式求体积,【一题多解微课】 解决本题(2)的求体积还可以采用以下方法:,分割法: 如图,连接AC,EC,则几何体分割为四棱锥C-ADFE 和三棱锥C-ABE,因为VC-ADFE= VC-ABE= , 所以几何体的体积为VC-ADFE +VC-ABE= =6.,补形法:如图,延长BC至点M,使得CM=2,延长EF至点

15、N,使得FN=1,连接DM,MN,DN,得到直三棱柱ABE-DMN,所以几何体的体积等于直三棱柱ABE-DMN的体积减去四棱锥 D-CMNF的体积.,因为VABE-DMN= 4=8,VD-CMNF= 2=2, 所以几何体的体积为VABE-DMN-VD-CMNF=8-2=6.,【误区警示】 求柱体、锥体的体积时,一定要先指出 底面积和高,再代入体积公式求解,锥体的体积计算时 不要忘记公式的系数 .,【互动探究】 若将本例(2)中条件改为“折叠后使得角AEB等于60”,其他条件不变,如何求解?,【解析】如图,过点C作CM平行于AB,交AD于点M,作CN平 行于BE,交EF于点N,连接MN,由题意可

16、知ABCM,BENC都是 矩形,AM=DM=2,CN=2,FN=1,AB=CM=2,所以SAEB= 2 = , S梯形ABCD= (2+4)2=6,S梯形BEFC= (2+3)2=5, S梯形AEFD= (3+4)2=7, 在直角三角形CMD中,CM=2,MD=2,所以CD=2 ,又因为 DF=FC= ,所以SDFC= 2 = ,所以这个 几何体的表面积为 +6+5+7+ =18+ + .,因为截面CMN把这个几何体分割为直三棱柱ABE-MCN和 四棱锥C-MNFD,又因为直三棱柱ABE-MCN的体积为V1= SABEAM= 2 2=2 ,四棱锥C-MNFD的体 积为V2= S四边形MNFDh

17、= (1+2)2 = , 所以所求几何体的体积为V1+V2=3 .,【规律方法】求解几何体体积常用的方法 (1)割补:将不规则的几何体通过合适的分割或拼接变 成简单的规则几何体,便于计算. (2)转化:转换底面和相应的高,将不容易求的底面和高 转化成容易求的底面和高. (3)处理高线问题时,经常利用的方法就是“等积法”.,【对点训练】 1.(2018全国卷)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC= 2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30,则该长方体的体积 为 ( ) A.8 B.6 C.8 D.8,【解析】选C.如图,连接AC1和BC1,因为AB平面BB1C1C,AC1与平面BB

18、1C1C所成的角为30, 所以AC1B=30, 所以 =tan 30,BC1=2 ,所以CC1=2 , 所以V=222 =8 .,2.若正方体的棱长为 ,则以该正方体各个面的中心 为顶点的凸多面体的体积为 ( ),【解析】选B.由题意知,以正方体各个面的中心为顶点 的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四 棱锥),所有棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为 , 故正八面体的体积为V=2V正四棱锥=2 12 = .,3.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的 同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B.如图, 画出圆柱的轴截面,r=BC= ,

19、那么圆柱的体积V=r2h = 1= .,考点三 空间几何体的三视图及其应用 【明考点知考法】 主要考查常见几何体(棱柱(长方体、正方体)、棱 锥(三棱锥、四棱锥)、棱台、圆柱、圆锥、圆台及它 们的简单组合体)的三视图,考查方式常常是给出几何,体的三视图,求几何体的表面积或体积,或者给出几何体,画出它的三视图,题目形式多数是选择题、填空题,属于中档题.,命题角度1 已知三视图,判断几何体的形状 【典例】(1)(2018全国卷)某圆柱的高为2,底面周 长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点M在正视图 上的对应点为A,圆柱表面上的点N在侧视图上的对应点 为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,

20、最短路径的 长度为 ( ),A.2 B.2 C.3 D.2,【解析】选B.将三视图还原为圆柱,M,N的位置如图1所 示,将侧面展开,最短路径为M,N连线的距离,所以MN=,(2)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长的棱的长度为_.,【解析】由三视图得到该几何体为三棱锥E-BCD,它的直观图如图,把三棱锥补形成为四棱锥E-ABCD,EA底面ABCD,CD=1,BC= , BE= ,CE=2 ,DE=3,DB=2 ,所以6 条棱的长度最大值为3,故最长棱为DE=3. 答案:3,【状元笔记】 1.识别三视图,一要抓住三视图的规则(长对正,宽相等,高平齐),二要注意实线、虚线. 2.由三视图画出直

21、观图的方法 (1)熟悉常见几何体的三视图,(2)将几何体放在长方体或正方体中,一般从俯视图入手,找几何体的顶点的位置,再确定实线、虚线. (3)将几何体放在柱体、锥体中,通过适当的切割得到对应的几何体.,命题角度2 已知三视图,求几何体的表面积或体积 【典例】(1)某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是 ( ) A.28 B.36 C.32 D.40 ,【解析】选B.由三视图可知该几何体是一个下底面半 径为4,上底面半径为2,高为3的圆台与一个底面半径为 2,高为2的圆柱的组合体,所以它的体积为V=V圆台+V圆柱 = 3+222=36.,(2)已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形,正视图

22、是一个底边长为8,高为4的等腰三角形,侧视图是一个底边长为6,高为4的等腰三角形.则该几何体的体积V为_,侧面积S为_.,【解析】由已知得这个几何体是一个底面为长等于8,宽等于6的矩形,高为4,顶点在底面上的射影是底面矩形的中心的四棱锥P-ABCD,如图,所以它的体积V= SABCDh= 864=64. 作出四棱锥的高PO,设AB的中点为M,BC的中点为N, 连接OM,ON,PM,PN,它的侧面积S=2 = 2 =85+64 = 40+24 . 答案:64 40+24,【状元笔记】 1.根据三视图求表面积或体积的方法: 已知几何体的三视图求其表面积和体积,一般是先根据三视图判断空间几何体的形状

23、,再根据题目所给数据与几何体的表面积与体积公式求其体积.,2.灵活运用转化思想: 若所给几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用等积法、分割法、补形法等进行求解.,命题角度3 已知几何体或它的直观图,求它的三视图 或其中的某一个视图 【典例】(1)(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将 木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫 卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放,的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 ( ),【解析】选A.由直观图可知选A.,(2)九章算术中一个几何体的直观图如图,下列给出的四个俯视图中正确的是 ( ),【解析】选

24、B.由直观图可知,该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看,外层轮廓线是一个矩形,矩形内部是有一条线段连接的两个三角形.,【状元笔记】 三视图问题的两点注意 (1)注意仔细观察,分析,弄清确切的位置关系. (2)注意根据原几何体想象出三视图的具体画法.,【对点练找规律】 1.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 ( ),A.10 B.12 C.14 D.16,【解析】选B.由三视图可画出立体图,该立体图各面中 只有两个面是梯形且是相同的梯形,S梯=

25、(2+4)22=6, S全梯=62=12.,2.(2018韶关模拟)已知某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为 ( ) A. B.1 C. D.3,【解析】选C.由三视图易知,该几何体是底面积为 , 高为3的三棱锥,由锥体的体积公式得V=,3.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的侧视图为 ( ),【解析】选D.侧视图是从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线.,【变式备选】 一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的_(填入所有可能的几何体前的编号). 三棱锥 四棱锥 三棱柱 四棱柱 圆锥 圆

26、柱,【解析】三棱锥的正视图是三角形;当四棱锥的底 面四边形水平放置时,其正视图是三角形;把三棱柱 某一正面水平放置,其底面正对着我们的视线时,它的 正视图是三角形;对于四棱柱,不论怎样放置,其正视 图都不可能是三角形;当圆锥的底面水平放置时,其,正视图是三角形;圆柱不论怎样放置,其正视图也不可能是三角形. 答案:,数学能力系列19球的接与切问题中的空间想象能 力 【能力诠释】直观想象是借助几何直观和空间想象感 知事物的形态变化,利用图形理解和解决数学问题的过 程,主要表现为识图、画图和对图形的想象能力.识图,是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系;画图是指将文字语言和符号语言转化为图形语

27、言以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换;对图形的想象主要包括有图想图和无图想图两种,是空间想象能力高层次的标志.,【典例】(1)体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ( ) A.12 B. C.8 D.4,(2)现有三个球和一个正方体,第一个球是正方体的内切球,第二个球与正方体的各条棱都相切,第三个球为正方体的外接球,那么这三个球的表面积之比为_ _.,【解析】(1)选A.因为正方体的体积为8,所以正方体的 棱长为2,其体对角线长为2 ,所以正方体的外接球的 半径为 ,所以球的表面积为4( )2=12.,(2)设正方体棱长为a,则三个球的半径分别为 , 所以它们的表面积

28、之比为123. 答案:123,【技法点拨】解决球与其他几何体的切、接问题 (1)关键在于仔细观察、分析,弄清相关元素的位置关系和数量关系.,(2)选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系),达到空间问题平面化的目的. (3)几种球与正方体组合的截面.,【即时训练】 1.一棱长为6的正四面体内部有一个可以任意旋转的正方体,当正方体的棱长取最大值时,正方体的外接球的表面积是 ( ) A.4 B.6 C.12 D.24,【解析】选B.因为正方体可以在正四面体内任意转动, 所以正方体在正四面体的内切球中,正方体棱长最大时, 正方体的对角线是内切球的

29、直径,此球即为正方体的外 接球.设球的半径为r,由正四面体的体积得:4 r 62= 62 所以r= ,所以正方体外接球的表面积为6.,2.在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,ABC, ACD,ADB的面积分别为 ,则三棱锥 A-BCD的外接球的体积为_.,【解析】在三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,补成长方体,两者的外接球是同一个,长方体的体对角线就是球的直径.设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a,b,c,则由题意得,ab= ,ac= ,bc= ,解得a= ,b= ,c=1,所以球 的直径为 ,所以球的半径为 ,所以三棱 锥A-BCD的外接球的体积为 = . 答案: ,