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1、规范答题提分课(一) 高考中函数与导数热点题型,【高考导航】 1.函数与导数作为高中数学的核心内容,是历年高考的重点、热点,试题主要以解答题的形式命题,能力要求高,属于压轴题目.,2.高考中函数与导数常涉及的问题主要有:(1)研究函数的性质(如单调性、极值、最值);(2)研究函数的零点(方程的根)、曲线的交点;(3)利用导数求解不等式问题.,热点一 利用导数解决不等式问题 导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容,且以解答题的形式考查,难度较大,属中高档题.归纳起来常见的命题角度有:(1)证明不等式;(2)求解不等式;(3)不等式恒(能)成立求参数.,【规范解答】(1)f(x)的定义域为(
2、0,+), f(x)= +2ax+2a+1= 1分 (得分点1) 若a0,则当x(0,+)时,f(x)0, 故f(x)在(0,+)上单调递增,2分(得分点2) 若a0; 当x 时,f(x)0.,故f(x)在 上单调递增,在 上单调递减. 5分(得分点3),(2)由(1)知,当a0时,f(x)在x=- 处取得最大值, 最大值为 所以f(x)- -2等价于ln -1- - -2, 即ln + +10, 8分 (得分点4) 设g(x)=ln x-x+1,则g(x)= -1.,当x(0,1)时,g(x)0;x(1,+)时,g(x)0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+)上单调递减. 故当
3、x=1时,g(x)取得最大值,最大值为g(1)=0. 10分(得分点5),所以当x0时,g(x)0,从而当a0时, ln + +10, 故f(x)- -2.12分 (得分点6),【得分要点】 得步骤分:抓住得分点的解题步骤.“步步为赢”.如第(1)问中,求导正确,分类讨论;第(2)问中利用单调性求g(x)的最大值和不等式性质的运用.,得关键分:解题过程不可忽视关键点,有则给分,无 则没分,如第(1)问中,求出f(x)的定义域,f(x)在 (0,+)上单调性的判断;第(2)问,f(x)在x=- a处 最值的判定,f(x)- -2等价转化为ln + a +10等.,得计算分:解题过程中计算准确是得
4、满分的根本保证. 如第(1)问中,求导f(x)准确,否则全盘皆输,第(2)问 中,准确计算f(x)在x=- 处的最大值.,【答题模板】 第一步:求函数f(x)的导函数f(x); 第二步:分类讨论f(x)的单调性; 第三步:利用单调性,求f(x)的最大值; 第四步:根据要证的不等式的结构特点,构造函数g(x);,第五步:求g(x)的最大值,得出要证的不等式; 第六步:反思回顾,查看关键点、易错点和解题规范.,热点二 利用导数解决函数的零点问题 导数与函数方程交汇是近年命题的热点,常转化为 研究函数图象的交点问题,研究函数的极(最)值的正负, 求解时应注重等价转化与数形结合思想的应用,其主要 考查
5、方式有:(1)确定函数的零点、图象交点的个数; (2)由函数的零点、图象交点的情况求参数的取值范围.,【规范解答】(1)当a=1时,f(x)1等价于 (x2+1)e-x-10. 1分 设函数g(x)=(x2+1)e-x-1, 则g(x)=-(x2-2x+1)e-x=-(x-1)2e-x.2分 当x1时,g(x)0,所以g(x)在(0,1)(1,+)上单调递减. 而g(0)=0,故当x0时,g(x)0, 即f(x)1.4分,(2)设函数h(x)=1-ax2e-x.5分 f(x)在(0,+)上只有一个零点当且仅当h(x)在 (0,+)上只有一个零点. (i)当a0时,h(x)0,h(x)没有零点;
6、6分 (ii)当a0时,h(x)=ax(x-2)e-x.,当x(0,2)时,h(x)0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增. 故h(2)=1- 是h(x)在0,+)上的最小值. 8分,若h(2)0,即a ,由于h(0)=1, 所以h(x)在(0,2)上有一个零点,10分 由(1)知,当x0时,exx2,所以h(4a)=1- 故h(x)在(2,4a)有一个零点,因此h(x)在(0,+) 有两个零点. 综上,f(x)在(0,+)只有一个零点时,a= . 12分,【阅卷人点评】 能力要求:中档 核心素养:解决第(1)问,通过将f(x)=ex-ax21,转化为x(0,+)时(
7、x2+1)e-x-10.主要考查数学运算的核心素养.,易错提醒:解决第(1)问时可能会出现以下两类失分: (1)采用直接法进行证明,导致运算过程复杂造成失分. (2)采用构造法进行证明时,对新函数的求导错误导致失分.,能力要求:较高 核心素养:解决第(2)问,主要是通过构造函数,将问题转化为当且仅当h(x)在(0,+)上只有一个零点.,再通过分情况进行讨论、运算,直至得出结论.主要考查逻辑推理及数学运算的核心素养.,易错提醒:解决第(2)问时可能会出现以下失分情况: (1)解决问题时,没有通过构造新函数,导致问题解答复杂,甚至半途而废而不能得分. (2)构造新函数h(x)=1-ax2e-x对其求导出现错误,造成后续过程不能顺利进行. (3)分类不清晰,造成解题步骤混乱.,