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1、第8讲 解三角形应用举例 1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形 度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与 测量和几何计算有关的实际问题. 已知条件应用定理一般解法 一边和两角 (如 a，B，C) 正弦定理 由 ABC180，求角 A；由正弦定理 求 b 与 c. 在有解时只有一解 1.解三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解， 常见类型及其解法如下表所示： 已知条件应用定理一般解法 两边和夹角 (如 a，b，C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边 c；由正弦定理求出角 A 或 B；再由 ABC180求另一角
2、. 在有解时只有一解 三边 (a，b，c) 余弦定理 由余弦定理求角 A，B；再由 ABC 180求角 C. 在有解时只有一解 两边和其中一 边的对角 (如 a，b，A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求角 B；再由 ABC180， 求角 C；再利用正弦定理或余弦定理求 c. 可有两解、一解或无解 (续表) 2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航 海问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角： 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平 视线下方的角叫做俯角如图 3-8
3、-1(1). (1)(2) 图 3-8-1 (2)方向角： 相对于某正方向的水平角，如南偏东 30，北偏西 45等. (3)方位角： 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的 方位角为如图 3-8-1(2). (4)坡角： 坡面与水平面所成的二面角的度数. 2.如图 3-8-2，某河段的两岸可视为平行，在河段的一岸边 选取两点 A，B，观察对岸的点 C，测得CAB75，CBA 45，且 AB200 m.则 A，C 两点的距离为() A 3.江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测 得俯角分别为 45和 30，且两条船与炮台底部连线成 30角， 则两条船相距() 图
4、D2430 m. 答案：D 4.一船向正北航行，看见正西方向有相距 10 海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在 船的南偏西 60，另一灯塔在船的南偏西 75，则这艘船的速 度是( ) 图 D25 答案：C 考点测量问题 考向 1 测量距离问题 例 1：某沿海四个城市 A，B，C，D 的位置如图3-8-3所示， 其中ABC60，BCD135，AB80 nmile，BC40 50 nmile/h 的速度向 D 直线航行，60 min 后，轮船由于天气原 因收到指令改向城市 C 直线航行，则收到指令时该轮船到城市 C 的距离是_nmile. 图 3-8-3 答案：10
5、0 【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在 有关的三角形中，建立一个解三角形的模型. (2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角，求得该数学 模型的解. 1.(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-4，为了测量 A，B 处岛 屿的距离，小明在 D 处观测，A，B 分别在 D 处的北偏西 15、 北偏东 45方向，再往正东方向行驶 40 海里至 C 处，观测 B 在 C 处的正北方向，A 在 C 处的北偏西 60方向，则 A，B 两处岛 屿间的距离为() 图 3-8-4 【互动探究】 解析：由题意，可知BDC904545， 又BCD90，BCCD40 海里. 在ADC 中，AD
6、C105，ACD906030， 答案：A 考向 2 测量高度问题 例 2：(1)(2015 年湖北)如图 3-8-5，一辆汽车在一条水平的 公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 30，则此山的高度 CD_m. 图 3-8-5 (2)(2014 年新课标)如图3-8-6，为测量山高 MN，选择点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角 为MAN60，点C的仰角为CAB45，以及MAC 75；从点 C 测得MCA60.已知山高 BC100 m，则山 高
7、MN _m. 图 3-8-6 答案：150 【规律方法】(1)测量高度时，要准确理解仰角、俯角的 概念. (2)分清已知量和待求量，分析(画出)示意图，明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理. 【互动探究】 2.在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔顶和塔底的俯角分 别是 30，60，则塔高为_m. 图 D26 考向 3 测量角度问题 例 3：如图 3-8-7，在一个坡度一定的山坡 AC 的山顶上有 一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的 坡角，在山坡的 A 处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达 B 处，又测得DBC45.根据以上数据计算可得 cos _. 图
8、 3-8-7 【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行， 同时要理解实际问题中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、 方位角、坡角等. 【互动探究】 B 3.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等，灯塔 A 在 观察站北偏东 40，灯塔 B 在观察站南偏东 60，则灯塔 A 在 灯塔 B 的() A.北偏东 10 C.南偏东 10 B.北偏西 10 D.南偏西 10 难点突破 三角函数在解三角形中的应用 例题：在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， (1)求角 B 的大小； (2)若 M 为 AB 的中点，且 AMAC，求 sinBAC. (2)方法一，如图 3-8-8，取线段 MC 的中点 D，连接 AD， AMAC，ADMC.设 CDx，则 BD3x. 图 3-8-8 方法二，设 BMx，则 ABc， 【互动探究】 4.(2014 年新课标)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补， AB1，BC3，CDDA2. (1)求角 C 和 BD； (2)求四边形 ABCD 的面积. 解：(1)由题设及余弦定理，得 BD2BC2CD22BCCDcos C1312cos C， BD2AB2DA22ABDAcos A54cos C. (2)四边形 ABCD 的面积