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1、第15讲 导数的意义及运算 1.函数导数的定义 2.导数的几何意义和物理意义 (1)导数的几何意义：函数 yf(x)在 x0 处的导数 f(x0)的几 何意义，就是曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率.相应 地，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). (2)导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律 是 ss(t)，那么该物体在时刻 t0 的瞬时速度为 vs(t0).如果 物体运动的速度随时间变化的规律是 vv(t)，则该物体在时刻 t0 的瞬时加速度为 av(t0). 3.基本初等函数的导数公式表 0 x1 sin x ex 1 x 4.运算法则 u(x)v(
2、x)u(x)v(x) ) C 1.已知函数 f(x)42x2，则 f(x)( A.4xB.8x C.82xD.16x 2.(2018 年新课标)曲线 y(ax1)ex 在点(0,1)处的切线的 斜率为2，则 a_.3 4.若函数 f(x)ln xax 在点 P(1，b)处的切线与 x3y2 0 垂直，则 2ab() A.2B.0C.1D.2 A D 考点1导数的概念 所以正确.故选 B. 答案：B f(x0k)f(x0) 【互动探究】 1.若 f(x0)2，则lim k0 2k () A.1B.2C.1D.1 2 A x ，f(1) e1ln 1 e. 考点2导数的计算 例2：(1)(2018
3、年天津)已知函数 f(x)exln x，f(x)为 f(x) 的导函数，则 f(1)的值为_. f(x)exln ex x 解析：由函数的解析式，可得 e1 1 答案：e (2) 已知函数 f(x) 的导函数为 f(x) ，且满足 f(x) 3x2 2xf(2)，则 f(5)_. 解析：对 f(x)3x22xf(2)求导，得 f(x)6x2f(2). 令 x2，得 f(2)12.再令 x5，得 f(5)652f(2) 6. 答案：6 (3)设函数f(x)在(0，)内可导，其导函数为f(x)，且 x)xln x，则 f(1)_. 解析：f(ln x)xln x，令 ln xt，xet，则 f(t
4、)ett， 即 f(x)exx.又 f(x)ex1，f(1)e1. 答案：e1 f(ln 【规律方法】求函数的导数时，要准确地把函数分割为 基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数，对于 不具备求导法则的结构形式要进行适当的恒等变形.注意求函 数的导数(尤其是对含有多个字母的函数)时，一定要清楚函 数的自变量是什么，对谁求导，如f(x)x2sin 的自变量为x， 而f()x2sin 的自变量为. 考点3导数的几何意义 考向1导数的物理意义 答案：D 考向2导数的几何意义 例4：(1)(2017 年新课标)曲线 线方程为_. 1.所以在点(1,2)处的切线方程为 y21(x1)，即 yx1
5、. 答案：yx1 解析：f(x)axlnx，f(1)a，f(x)a ，f(1)a1， (2)(2017 年天津)已知 aR，设函数 f(x)axln x 的图象 在点(1，f(1)处的切线为 l，则 l 在 y 轴上的截距为_. 1 x 所以在点(1，a)处的切线为 ya(a1)(x1)，即 y(a1)x 1，在 y 轴上的截距为 1. 答案：1 (3)(2016年新课标)已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x) ln(x)3x，则曲线yf(x)在点(1，3)处的切线方程是 _. 答案：y2x1 (4)(2018 年新课标)设函数 f(x)x3(a1)x2ax，若 f(x) 为奇函数，则曲线
6、yf(x)在点(0,0)处的切线方程为() A.y2x C.y2x B.yx D.yx 解析：函数 f(x)x3(a1)x2ax 为奇函数，则 a1，f(x) x3x，f(x)3x21，f(0)1.则曲线 yf(x)在点(0,0)处的 切线方程为 yx.故选 D. 答案：D 【规律方法】求曲线yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点) 的切线方程，其方法如下： 求出函数yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)，即函数 yf(x) 在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率； 切点为P(x0，f(x0)，切线方程为 yf(x0)f(x0)(xx0). 易错、易混、易漏 混淆“在某点处的切
7、线”与“过某点的切线”致误 例题：已知曲线 f(x)x3x，则： (1)曲线在点(1,0)处的切线方程为_； (2)曲线过点(1,0)的切线方程为_ _； 解析：f(x)3x21. (1)曲线在点(1,0)处的切线的斜率为 kf(1)2. 又切点为(1,0)，所求切线方程为 y2(x1)，即 2xy 20. 答案：(1)2xy20(2)2xy20 或 x4y10 【失误与防范】(1)通过例题的学习，要彻底改变“切线与 曲线有且只有一个公共点”“直线与曲线只有一个公共点，则 该直线就是切线”这一传统误区，如“直线 y1 与 ysin x 相 切，却有无数个公共点”，而“直线 x1 与 yx2 只有一个公 共点，显然直线 x1 不是切线”. (2)求曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处(该点为切点)的切线方 程，其方法如下： 求出函数yf(x)在xx0 处的导数f(x0)，即函数yf(x) 在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率； 切点为P(x0，f(x0)，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0). (3)求曲线yf(x)过点P(x0，f(x0)(该点不一定为切点)的切 线方程，其方法如下： 设切点 A(xA，yA)，求切线的斜率 kf(xA)； 利用斜率公式k f(x0)yA x0xA f(xA)建立关于 xA 的方程， 解出xA，进而求出切线方程.