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1、第7讲 数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.运用数学归纳法证明命题要分两步，第一步是归纳奠基 (或递推基础)，第二步是归纳递推(或归纳假设)，两步缺一不可. 2.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题， 其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、整除性问题、几何 问题等. D C 3.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形有对角线数 f(n1)为()C A.f(n)n1 B.f(n)n C.f(n)n1 D.f(n)n2 故当 nk1 时，不等式成立. 上述证法() A.过程全都正确 C.归纳假设不正确 B.n1 验得不正确
2、D.从 nk 到 nk1 的推理不正确 D 考点 1 用数学归纳法证明恒等式命题 所以当 nk1 时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对于一切 nN*等式都成立. 【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看 项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始 值n0是多少.(2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立， 一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利 用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳 假设的证明，就不是数学归纳法. 【互动探究】 考点 2 用数学归纳法证明不等式命题 (1)解：由题意，得Snbnr， 解得 r1. 当n2时，Sn1
3、bn1r， 所以anSnSn1bn1(b1). 因为b0，且b1，所以当n2时，an是以b为公比的 等比数列. 【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题： 当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时，应用其他办法 不容易证，则可考虑应用数学归纳法. 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk 成立，推证 nk1 时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、 综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法. 【互动探究】 2.函数f(x)x22x3.定义数列xn如下：x12，xn1是 过两点P(4,5)，Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明：2xnxn13； (2)求
4、数列xn的通项公式. 考点 3 用数学归纳法证明整除性命题 例 3：试证：当n为正整数时，f(n)32n28n9能被64 整除. 证明：方法一，(1)当 n1 时，f(1)348964， 命题显然成立. (2)假设当 nk(k1，kN*)时， f(k)32k28k9能被64整除. 32(k1)28(k1)99(32k28k9)98k99 8(k1)99(32k28k9)64(k1)， 即f(k1)9f(k)64(k1)， 当nk1时命题也成立. 根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立. 方法二，(1)当n1时，f(1)348964，命题显然 成立. (2)假设当nk(k1，kN*)时
5、，f(k)32k28k9能被 64整除. 由归纳假设，设32k28k964m(m为大于1的自然数)， 将32k264m8k9代入f(k1)中， 得f(k1)9(64m8k9)8(k1)964(9mk1)， 故当nk1时命题成立. 根据(1)(2)可知，对任意的nN*，命题都成立. 【互动探究】 3.求证：二项式x2ny2n(nN*)能被xy整除. 证明：(1)当 n1 时， x2y2(xy)(xy)，能被xy整除，命题成立. (2)假设当nk(k1，kN*)时， x2ky2k能被xy整除， 则当nk1时， x2k2y2k2x2x2ky2y2k x2x2kx2y2kx2y2ky2y2k x2(x
6、2ky2k)y2k(x2y2)， 显然x2k2y2k2能被xy整除， 即当nk1时命题成立. 由(1)(2)知，对任意的正整数n命题均成立. 考点 4 用数学归纳法证明几何问题 例 4：平面内有 n 条直线，其中任何两条不平行，任何三 思路点拨：用数学归纳法证明几何问题的关键是注意从n k 到nk1 时图形的变化情况，为了发现这一变化规律往往 从特殊情况入手，如 n1,2,3，时，图形的变化规律，从而 推出从nk 到nk1 时图形的变化情况.有时也可以用f(k1) f(k)来探讨变化情况. 第 k1 条直线被这 k 条直线分成 k1 段， 每段把它们所在的区域分成两块，因此增加了 k1 个 区
7、域， 当 nk1 时命题也成立. 由知，对一切 nN*，命题均成立. 【名师点评】用数学归纳法证明几何问题时，要注意从 nk 到 nk1 图形究竟发生了哪些变化，变化的规律是什 么等. 【互动探究】 B 4.若 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k1 棱柱的对角面的个数 为() A.2f(k) C.f(k)k B.f(k)k1 D.f(k)2 解析：增加一条棱与前面 k 条棱中不相邻的棱作对角面， 有 k2 个，同时，一个侧面变成了对角面，故共增加了 k 21k1 个对角面.故选 B. 难点突破 归纳猜想证明 【规律方法】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关 的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳 猜想 证 明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理论证结论的 正确性. (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳 猜想证明”.高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题.