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1、第3讲 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系 1.理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作 用下平面图形的变化情况. 2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标 系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标 和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极 点或圆心在极点的圆)的方程.通过比较这些图形在极坐标系和 平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择 适当坐标系的意义. 4.了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法， 并与空间直角坐标系中表示点的位置的方法相比较，了解它 们的区别. 极坐标和直角坐标的互化公式 若点 M 的
2、极坐标为(，)，直角坐标为(x，y)，则 将直角坐标化为极坐标利用公式，将极坐标化为直角坐 标利用公式. 2 1 2.(2017 年北京)在极坐标系中，点 A 在圆22cos 4sin 40 上，点 P 的坐标为(1,0)，则|AP|的最小值为_. 解析：将圆的极坐标方程化为普通方程为 x2y22x4y 40，整理为(x1)2(y2)21，圆心C(1,2)，点P是圆外 一点，所以|AP|的最小值就是|CP|r211. 3.(2018 年北京)在极坐标系中，直线cos sin a(a0) 与圆2cos 相切，则 a_. 2 考点 1 极坐标与直角坐标的相互转化 例 1：(2018 年新课标)在直
3、角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的 方程为 yk|x|2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 C2的极坐标方程为22cos 30. (1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程. 解：(1)由 xcos ，ysin ，得 C2 的直角坐标方程为 (x1)2y24. (2)由(1)，知C2是圆心为A(1,0)，半径为2的圆. 由题设知，C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面， 故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且 l2
4、与C2有两个公共点，或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个 公共点. 当l1与C2只有一个公共点时，A到l1所在直线的距离为2， 【互动探究】 1.(2017 年新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原 点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1 的极坐 标方程为cos 4. (1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM|OP|16，求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程； 面积的最大值. 考点 2 极坐标与参数方程的相互转化 x2(y1)2a2. C1为以(0,1)为圆心，a为半径的圆. 方程为x2y22y1a20. x2y22，ysin
5、 ， 22sin 1a20，即为C1的极坐标方程. (2)C2：4cos ， 两边同乘，得24cos . 2x2y2，cos x， x2y24x. 即(x2)2y24. C3化为普通方程为y2x. 由题意C1和C2的公共点所在直线即为C3， 得，4x2y1a20，即为C3. 1a20. a0，a1. 【规律方法】将曲线C2 与C3 的极坐标方程化为直角坐标 方程，联立求交点，得其交点的直角坐标，也可以直接联立极 坐标方程，先求得交点的极坐标，再化为直角坐标. 【互动探究】 2，曲线 C 的方程为4cos ，求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 解：因为曲线 C 的极坐标方程为4cos ， 所以
6、曲线 C 的圆心为(2,0)，直径为 4 的圆. 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点. 解：(1)消去参数 t，得l1的普通方程l1：yk(x2)； 消去k，得x2y24(y0). 所以C的普通方程为x2y24(y0). 易错、易混、易漏 直接利用极坐标解题应该注意几何意义 例题：(2016 年新课标)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为(x6)2y225. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 求 C 的极坐标方程； 于 A，B 两点，|AB| 10，求直线 l 的斜率. 思路点拨：(1)利用2x2y2 ，xcos 可得 C 的极坐标 方程；(2)另法：可先将直线 l 的参数方程化为普通方程，利用 弦长公式可得直线 l 的斜率. 正解：(1)由 xcos ，ysin 可得 C 的极坐标方程为 212cos 110. (2)在(1)中建立的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为(R). 由 A，B 所对应的极径分别为1，2 ，将直线 l 的极坐标方 程代入C的极坐标方程212cos 110， 于是有1212cos ，1211. 【失误与防范】极坐标与直角坐标互化的注意点：在由点 的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的 范围，否则点的极坐标将不唯一.在曲线的方程进行互化时，一 定要注意变量的范围.要注意转化的等价性.