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1、第2课时 绝对值不等式 1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几 何意义证明以下不等式： |ab|a|b|； |ab|ac|cb|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c； |axb|c； |xa|xb|c. 3.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法. (1)含绝对值不等式的解法：设 a0，|f(x)|af(x)a. (2)理解绝对值的几何意义：|a|b|ab|a|b|. 1.(2015 年新课标)不等式 x|2x3|2的解集是 _. A 2.(2015 年山东)不等式|x1|x5|1 的解集. 图 10-4-1 解：(1)如图 D104. 图
2、 D104 【规律方法】形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要 有三种解法： 分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数 轴分为(，a，(a，b，(b，)(此处设 ac(c0)的几何意义：数轴上 到点x1a和x2b的距离之和大于c的全体，|xa|xb| |xa(xb)|ab|. 图象法：作出函数y1|xa|xb|和y2c的图象，结 合图象求解. 【互动探究】 1.(2015 年新课标)已知函数 f(x)|x1|2|xa|，a0. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6，求实数 a 的取值范围. 解：(1)当 a1
3、 时， 不等式 f(x)1 化为|x1|2|x1|1， 考点 2 绝对值的几何意义 例 3：(2018 年新课标)设函数f(x)5|xa|x2|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)0 的解集； (2)若 f(x)1，求实数 a 的取值范围. 可得f(x)0的解集为x|2x3. (2)f(x)1 等价于|xa|x2|4. 而|xa|x2|a2|，且当 x2 时等号成立.故 f(x)1 等价于|a2|4. 由|a2|4，可得 a6 或 a2， 所以实数 a 的取值范围是(，62，). 【规律方法】对于绝对值三角不等式，易忽视等号成立的 条件.对|ab|a|b|，当且仅当ab0 时，等号成立；
4、对|a| |b|ab|a|b|，当且仅当|a|b|，且 ab0 时左边等号 成立，当且仅当 ab0 时右边等号成立. 【互动探究】 2.(2016 年新课标)已知函数 f(x)|2xa|a. (1)当 a2 时，求不等式 f(x)6 的解集； (2)设函数 g(x)|2x1|.当 xR 时，f(x)g(x)3，求实数 a 的取值范围. 解：(1)当 a2 时，f(x)|2x2|2. 解不等式|2x2|26，得1x3. 因此，f(x)6 的解集为x|1x3. (2)当 xR 时， f(x)g(x)|2xa|a|12x| |2xa12x|a|1a|a， 所以当 xR 时，f(x)g(x)3 等价于
5、|1a|a3. 当 a1 时，等价于 1aa3，无解； 当 a1 时，等价于 a1a3，解得 a2. 所以实数 a 的取值范围是2，). 考点 3 绝对值不等式中的恒成立问题 例 4：(2018 年新课标)已知 f(x)|x1|ax1|. (1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (2)若 x(0,1)时不等式 f(x)x 成立，求实数 a 的取值范围. 解：(1)当 a1 时，f(x)|x1|x1|， (2)当 x(0,1)时|x1|ax1|x 成立等价于当 x(0,1)时 |ax1|1时，由2x28，解得x3. 不等式f(x)8的解集为x|x5，或x3. (2)f(x)|x1|x3|4，f(x)min4. 又不等式f(x)4.a4或a1. 即实数a的取值范围是(，1)(4，).