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1、第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算 1.平面向量的实际背景及基本概念. (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算. (1)掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共 线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 名称定义备注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大 小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0 单位向量长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向 量为 共线向量 (平行向量
2、) 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平 行或共线 相等向量长度相等且方向相同的向量记作ab 1.向量的有关概念 向量 运算 定义法则(或几何意义)运算律 加法 求两个向量和的 运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： abba. (2)结合律： (ab)c a(bc) 2.向量的线性运算 (续表) |a| 0 a ab 3.共线向量定理 向量 a(a0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数， 使得 ba. 1.在四边形 ABCD 中，若AC ABAD ，则四边形 ABCD 一定是( ) A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.平行四边形 2.(2015 年新课标)设 D 为A
3、BC 所在平面内的一点，BC 3CD ，则( ) A.AD 1 3AB 4 3AC B.AD 1 3AB 4 3AC C.AD 4 3AB 1 3AC D.AD 4 3AB 1 3AC D A 3.(2017 年广东茂名一模)对于向量 a，b，c 和实数，下列 命题中真命题是() A.若 ab0, 则 a0 或 b0 B B.若a0，则0 或 a0 C.若 a2b2，则 ab 或 ab D.若 abac，则 bc 解析：因为非零向量 ab 时，也有 ab0，所以 A 错误； a2b2 只说明向量 a 与 b 的模相等，a 与 b 不一定共线，所以 C 错误；当向量 a，b，c 两两垂直时，也有
4、 abac，但 b 与 c 方向不一定相同，故 bc，所以 D 错误.故选 B. 图 4-1-1 D 考点 1 平面向量的基本概念 例 1：(1)给出下列命题： 若|a|b|，则 ab； ABCD 为平行四边形的充要条件； 若 ab，bc，则 ac； 若 ab，bc，则 ac. 其中正确命题的序号是() A.B.C.D. 答案：A (2)(2017 年新课标)设非零向量 a，b 满足|ab|ab|， 则() A.abB.|a|b|C.abD.|a|b| 解析：方法一，由|ab|ab|，得 |ab|2|ab|2，得ab 0ab.故选 A. 方法二，由|ab|ab|得平行四边形为矩形，所以 ab.
5、 故选 A. 答案：A 【规律方法】(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也 具有传递性.(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时， 考点 2平面向量的线性运算 答案：A 图 D27 答案：C 【规律方法】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等 向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本 向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置； 寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果. 考点 3 共线向量定理的应用 例 3：设两个非零向量 a 与 b 不共线. D 三点共线； (2)试确定实数 k，
6、使 kab 和 akb 共线. 【规律方法】(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决， 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且 有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量 a，b 共线是指存在不 全为零的实数1，2，使1a2b0成立；若1a2b0，当 且仅当120时成立，则向量a，b不共线. 【互动探究】 1.(2015 年新课标)设向量 a，b 不平行，向量ab 与 a2b 平行，则实数_. 考点 4 三点共线的充要条件 有公共点 A，A，P，B 三点共线. 必要性：若 P，A，B 三点共线， 【互动探究】 图 4-1-2 答案：(1)D 3 (2)5 难点突破 利用向量加法的几何意义解决三角形的四心问题 例题：(1)已知 O 是平面上一定点，A，B，C 是平面上不共 则点 P 的轨迹一定通过ABC 的() A.外心 C.内心 B.垂心 D.重心 答案：D 答案：B 【互动探究】 答案：C 答案：(1)垂心 (2)外心