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1、第三章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.方程x2+(x2+y2-1)2=0所确定的曲线是()A.y轴或圆B.两点(0,1)与(0,-1)C.y轴或直线y=1D.以上都不正确答案:B2.如图,已知圆O的方程为x2+y2=100,点A(-6,0),M为圆O上任一点,AM的垂直平分线交OM于点P,则点P的轨迹是()A.圆B.抛物线C.椭圆D.两条直线解析:P为AM垂直平分线上的点,|PM|=|PA|.又|OP|+|PM|=10,|PA|+|PO|=106=|AO|.故P点的轨迹是以A,O
2、为焦点,长轴长为10的椭圆.答案:C3.双曲线=1(mn0)的离心率为2,有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合,则mn的值为()A.B.C.D.解析:抛物线y2=4x的焦点为(1,0),双曲线=1的焦点在x轴上.m0,n0,a=,b=,c=1,e=2,mn=.答案:A4.若抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为10,则P点坐标为()A.(9,6)B.(9,6)C.(6,9)D.(6,9)解析:抛物线的焦点坐标为(1,0),准线为x=-1.P到F的距离为10,设P为(x,y),x+1=10,x=9.又P在抛物线上,y2=36,y=6,P点坐标为(9,6).答案:B5.以双曲线=-1的焦点为顶
3、点,顶点为焦点的椭圆方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:椭圆的顶点和焦点分别是=-1的焦点和顶点,椭圆的长半轴长为4,半焦距为2,且焦点在y轴上,故所求方程为=1.答案:D6.若点P是以F1,F2为焦点的椭圆=1(ab0)上一点,且=0,tanPF1F2=,则此椭圆的离心率e=()A.B.C.D.解析:由=0得.则tanPF1F2=.设|PF2|=m,则|PF1|=2m,|F1F2|=m.所以e=.答案:A7.已知双曲线=1(a0,b0)的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=k,则双曲线方程为()A.=1B.=1C.=1D.=1解析:由题意,知k=.又e=k=,所以,即c=b.
4、易知a2=5b2-b2=4b2.答案:C8.抛物线y=x2上到直线2x-y-4=0的距离最近的点的坐标是()A.B.(1,1)C.D.(2,4)解析:设P(x,y)为抛物线y=x2上任意一点,则P到直线2x-y-4=0的距离d=,当x=1时d最小,此时y=1,故选B.答案:B9.已知点M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆C与直线MN相切于点B,过M,N与圆C相切的两直线相交于点P,则点P的轨迹方程为()A.x2-=1(x1)B.x2-=1(x0)D.x2-=1(x1)解析:设圆与直线PM,PN分别相切于E,F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|,|NB|=|NF|.|PM|-
5、|PN|=|PE|+|ME|-(|PF|+|NF|)=|MB|-|NB|=4-2=2,点P的轨迹是以M(-3,0),N(3,0)为焦点的双曲线的右支,且a=1,c=3,b2=8.故双曲线的方程是x2-=1(x1).答案:A10.若点P为共焦点的椭圆C1和双曲线C2的一个交点,F1,F2分别是它们的左、右焦点,设椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,若=0,则=()A.1B.2C.3D.4解析:设椭圆的方程为=1(a1b10),双曲线的方程为=1(a20,b20),它们的半焦距为c,不妨设P为它们在第一象限的交点,因为=0,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2.由椭圆和双曲线
6、的定义知,解得|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2,代入式,得(a1+a2)2+(a1-a2)2=4c2,即=2c2,所以=2.答案:B11.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则OAB的面积为()A.B.C.D.解析:由已知得F,故直线AB的方程为y=tan 30,即y=x-.设A(x1,y1),B(x2,y2),联立将代入并整理得x2-x+=0,x1+x2=,线段|AB|=x1+x2+p=12.又原点(0,0)到直线AB的距离为d=,SOAB=|AB|d=12.答案:D12.导学号90074088在平面直角坐标系中,两点P1(
7、x1,y1),P2(x2,y2)间的“L-距离”定义为|P1P2|=|x1-x2|+|y1-y2|,则平面内与x轴上两个不同的定点F1,F2的“L-距离”之和等于定值(大于|F1F2|)的点的轨迹可以是()解析:不妨设F1(-a,0),F2(a,0),其中a0,点P(x,y)是其轨迹上的点,P到F1,F2的“L-距离”之和等于定值b(大于|F1F2|),所以|x+a|+|y|+|x-a|+|y|=b,即|x-a|+|x+a|+2|y|=b.当xa,y0时,上式可化为x+y=;当x-a,y0时,上式可化为x+y=-;当-axa,ya,y0时,上式可化为x-y=;可画出其图像.(也可利用前三种情况
8、,再关于x轴对称)故选A.答案:A二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案:填在题中的横线上)13.平面上一机器人在行进中始终保持与点F(1,0)的距离和到直线x=-1的距离相等.若机器人接触不到过点P(-1,0)且斜率为k的直线,则k的取值范围是.解析:由题意知,机器人行进的路线为抛物线y2=4x.由题意知过点P的直线为y=kx+k(k0),要使机器人接触不到过点P的直线,则直线与抛物线无公共点,联立方程得y2-y+k=0,即=1-k21或kb0),则e=.因为c=1,所以a=.所以b=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.答案:+y2=115.在抛物线y2=16x内,通过点M
9、(2,4)且在此点被平分的弦所在直线方程是.解析:设所求直线与y2=16x相交于点A,B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入抛物线方程得=16x1,=16x2,两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=16(x1-x2),即,又M(2,4)是A,B的中点,y1+y2=24=8,kAB=2.所求直线方程为y=2x.答案:y=2x16.导学号90074089已知双曲线C1:=1(a0,b0)与双曲线C2:=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=,b=.解析:与双曲线=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为=(0).C1的右焦点为(,0),0.a2=4,b2=16,c2=20=5.=
10、,即a2=1,b2=4,a=1,b=2.答案:12三、解答题(本大题共6个小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,一条渐近线方程为y=x,且过点(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在此双曲线上,求.解(1)双曲线的一条渐近线方程为y=x,a=b,设双曲线方程为x2-y2=(0).把(4,-)代入双曲线方程得42-(-)2=,=6,所求双曲线方程为x2-y2=6,即=1.(2)由(1)知双曲线方程为x2-y2=6,双曲线的焦点为F1(-2,0),F2(2,0).点M在双曲线上,32-m2=6
11、,m2=3,=(-2-3,-m)(2-3,-m)=(-3)2-(2)2+m2=-3+3=0.18.(满分12分)如图,已知抛物线C1:x2+by=b2经过椭圆C2:=1(ab0)的两个焦点.(1)求椭圆C2的离心率;(2)设点Q(3,b),又M,N为C1与C2不在y轴上的两个交点,若QMN的重心在抛物线C1上,求C1和C2的方程.解(1)因为抛物线C1经过椭圆C2的两个焦点F1(-c,0),F2(c,0),所以c2+b0=b2,即c2=b2.由a2=b2+c2=2c2,得椭圆C2的离心率e=.(2)由(1)可知a2=2b2,则椭圆C2的方程为=1.联立抛物线C1的方程x2+by=b2得2y2-
12、by-b2=0,解得y=-或y=b(舍去),所以x=b,即M,N.所以QMN的重心坐标为(1,0).因为重心在抛物线C1上,所以12+b0=b2,得b=1.所以a2=2.所以抛物线C1的方程为x2+y=1,椭圆C2的方程为+y2=1.19.(满分12分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线C:2x2-y2=1.(1)设F是C的左焦点,M是C右支上一点,若|MF|=2,求点M的坐标;(2)设斜率为k(|k|)的直线l交C于P,Q两点,若l与圆x2+y2=1相切,求证:OPOQ.(1)解双曲线C:-y2=1,左焦点F,设M(x,y),则|MF|2=+y2=,由点M是双曲线右支上一点,知x,所以|M
13、F|=x+=2,得x=,则y=.所以M.(2)证明设直线PQ的方程是y=kx+b.因为直线PQ与已知圆相切,故=1,即b2=k2+1.(*)由得(2-k2)x2-2kbx-b2-1=0.设P(x1,y1),Q(x2,y2),又|k|0)交于A,B两点,O为坐标原点,=(-4,-12).(1)求直线l和抛物线C的方程;(2)抛物线上一动点P从点A到点B运动时,求ABP面积的最大值.解(1)由得x2+2pkx-4p=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2)-4=-2pk2-4.因为=(x1+x2,y1+y2)=(-2pk,-2pk2-4)=(-
14、4,-12),所以解得所以直线l的方程为y=2x-2,抛物线C的方程为x2=-2y.(2)设点P(x0,y0),依题意,抛物线过点P的切线与直线l平行时,ABP的面积最大.设切线方程是y=2x+t,由得x2+4x+2t=0,=42-42t=0,t=2.此时,点P到直线l的距离为两平行线间的距离,d=.由得x2+4x-4=0,|AB|=|x1-x2|=4,ABP面积的最大值为4=8.22.导学号90074090(满分12分)如图,O为坐标原点,双曲线C1:=1(a10,b10)和椭圆C2:=1(a2b20)均过点P,且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1
15、,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|=|?证明你的结论.解(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P在双曲线x2-=1上,所以=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=2.于是a2=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,=1.(2)不存在符合题设条件的直线.若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点,所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(),B(,-),所以|=2,|=2.此时,|.当x=-时,同理可知,|.若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得2k2=m2-3,因此=x1x2+y1y2=0,于是+2-2,即|,故|.综合可知,不存在符合题设条件的直线.