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1、第一章集合与函数概念1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(第一课时)学习目标了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法);会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数,树立应用数形结合的思想.合作学习一、设计问题,创设情境语言是沟通人与人之间联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐!”用繁体中文为生日快樂!英文为Happy Birthday!法文是Bon Anniversaire!德文是Alles Gute zum Geburtstag!西班牙文为Feliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun!荷兰文的生日快乐为Van
2、Harte Gefeliciteerd metjeverj aardag!在俄语中则是 !问题1:对于函数,又有什么不同的表示方法呢?二、自主探索,尝试解决结合研究函数概念时生活中的三个例子,以及初中学过的函数的表示方法,同学们分组讨论,总结出函数的三种不同表示方法.三、信息交流,揭示规律函数的三种表示方法:解析法:图象法:列表法:问题2:分析对比三种不同表示方法的优缺点.四、运用规律,解决问题【例1】某种笔记本的单价是5元,买x(x1,2,3,4,5)个笔记本需要y元.试用函数的三种表示法表示函数y=f(x).【例2】下表是某校高一(1)班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表
3、:测试序号成绩姓名第1次第2次第3次第4次第5次第6次王伟988791928895张城907688758680赵磊686573727582班级平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.【例3】将长为a的铁丝折成矩形,求矩形面积y关于一边长x的函数关系式,并求定义域和值域,作出函数的图象.【例4】向高为H的水瓶中注水,注满为止,如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示,那么水瓶的形状是()五、变式演练,深化提高1.已知f(1-x1+x)=1-x21+x2,则f(x)=.2.已知函数f(x)=3x+7x+2.(1)画出函数f(x
4、)的图象;(2)观察图象写出函数的定义域和值域.3.求下列函数的值域:(1)y=x2-2x(-1x2);(2)y=x4+1.六、反思小结,观点提炼请同学们回想一下,本节课我们学了哪些函数的表示方法?在具体的实际问题中如何恰当地选择?七、作业精选,巩固提高课本P24习题1.2 A组第7,8,9题.参考答案三、信息交流,揭示规律解析法:用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.图象法:以自变量x的取值为横坐标,对应的函数值y为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.列表
5、法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.问题2:解析法能够准确表达出两个变量之间的关系,简明扼要,给自变量求函数值;不足之处,比较抽象.图象法形象直观表示两个变量之间的关系,较好地反映了两个变量的变化趋势;不足之处,变量关系不够精确.列表法通过表格直接得出函数值,没有计算过程;不足之处,不能列出定义域为区间范围的所有函数值,仅能表示有限个.四、运用规律,解决问题【例1】解:这个函数的定义域是数集1,2,3,4,5,用解析法可将函数y=f(x)表示为y=5x,x1,2,3,4,5.用列表法可将函数y=f(x)表
6、示为笔记本数x12345钱数y510152025用图象法可将函数y=f(x)表示为注意:函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等;解析法:必须注明函数的定义域,否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域;图象法:根据实际情境来决定是否连线;列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.【例2】解:把“成绩”y看成“测试序号”x的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图所示.由图可看到,王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀.张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大.赵磊同学的数学学习成绩低于班级平
7、均水平,但他的成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高.点评:本题主要考查根据实际情境需要选择恰当的函数表示法的能力,以及应用函数解决实际问题的能力.通过本题可见,图象法比列表法和解析法更能直观反映函数值的变化趋势.注意:本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样便于研究成绩的变化特点.【例3】分析:解此题的关键是先把实际问题转化成数学问题,即把面积y表示为x的函数,用数学的方法解决,然后再回到实际中去.解:设矩形一边长为x,则另一边长为12(a-2x),则面积y=12(a-2x)x=-x2+12ax.又x0,a-2x0,得0xV02,即水深为一半时,实际注水量大于水瓶总水量的一半
8、.A图中VV02,C,D两图中V=V02,故选B图.答案:B五、变式演练,深化提高1.解析:可设1-x1+x=t,则有x=1-t1+t,所以f(t)=1-(1-t1+t)21+(1-t1+t)2=2t1+t2,所以f(x)=2x1+x2(x-1).答案:2x1+x2(x-1)2.解:(1)y=3x+7x+2=3x+6+1x+2=1x+2+3.将y=1x的图象向左平移两个单位得y=1x+2的图象,再向上平移三个单位得y=1x+2+3的图象.图象如图所示.(2)观察函数的图象可知,图象上所有点的横坐标的取值范围是(-,-2)(-2,+),图象上所有点的纵坐标的取值范围是(-,3)(3,+).则函数
9、的定义域是(-,-2)(-2,+),值域是(-,3)(3,+).注意:讨论函数的值域要先考虑函数的定义域,要遵守定义域优先的原则.3.解:(1)(图象法)在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2-2x(-1x2)的图象,如图所示:函数y=x2-2x(-1x2)的图象上所有点的纵坐标的取值范围就是函数的值域,观察图象知函数的值域是-1,3.(2)方法一:(观察法)函数的定义域是R,由x40,有x4+11,即函数y=x4+1的值域是1,+).方法二:(换元法)函数的定义域是R,设x2=t,则t0,则有y=t2+1.利用图象可求得当t0时,二次函数y=t2+1的值域是1,+),即函数y=x4+1的值域是1,+).