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1、第三章直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.3点到直线的距离学习目标1.理解点到直线的距离公式的推导过程;2.掌握点到直线的距离公式;3.掌握点到直线的距离公式的应用;4.会求两条平行线间的距离.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:已知直线l:x+y-2=0,O为坐标原点.问:直线l上是否存在点P,到原点O的距离为2,若存在,这样的点有几个?若不存在,请说明理由.二、信息交流,揭示规律问题2:通过问题1,我们知道点在直线外时,可以用点到直线的距离定量地刻画点与直线的位置关系.你能将这个问题推广到一般情形,得到点到直线的距离公式吗?大家自己提出问题,并制定解决思路或方案.三、运用规律
2、,解决问题【例1】 求点P0(-1,2)到下列直线的距离:(1)y=10-2x; (2)3x=2.问题3:在公式的推导过程中,A,B可以为零吗?我们得到的点到直线的距离公式中A,B是否可以为零? 【例2】 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求ABC的面积.四、变式演练,深化提高【例3】 已知直线l1:2x-7y-8=0,l2:6x-21y-1=0,l1与l2是否平行?若平行,求l1与l2间的距离.问题4:如何求两平行线之间的距离?为什么?你能解决下面的问题吗?求两条平行直线l1:Ax+By+C1=0和l2:Ax+By+C2=0之间的距离. 五、信息交流,教学相长问题5:点到直线
3、的距离公式以及两条平行直线之间的距离公式的推导过程体现出了怎样的数学思想方法?六、反思小结,观点提炼问题6:本节课我们学习了什么知识?布置作业课本P109习题3.3A组第9,10题,B组第2,4题.参考答案一、问题1:思路一:(函数思想)设点P(x,y)是直线l上任意一点,则y=2-x,所以|OP|2=x2+y2=x2+(2-x)2=2x2-4x+4=2(x-1)2+22,所以|OP|2.因此, 直线l上到原点O的距离为2的点P,仅有一个,即P(1,1).思路二:(转化为两点间的距离)直线l的斜率为-1,所以过原点且与直线l垂直的直线方程为y=x,与x+y-2=0联立,解得垂足Q的坐标为(1,
4、1),所以原点到直线l的距离为(1-0)2+(1-0)2=2.思路三:(解三角形)如图,易知OAQ=45,在RtOAQ中,|OA|=2,所以|OQ|=|OA|sinOAQ=222=2.思路四:(等面积法)如图,易知|OA|=|OB|=2,所以|AB|=22,|OQ|=|OA|OB|AB|=2.二、问题2:将问题推广到一般情形:求点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0距离.根据问题1的求解,制定以下思路:思路一(函数思想)步骤:设出直线l上任意一点Q的坐标;用两点间距离公式表示|P0Q|,并借助直线方程消元;将|P0Q|关于横坐标x的二次函数后求最值.思路二(转化为两点间距离)的步骤:
5、确定直线l的斜率k(k0);求与l垂直的直线l的斜率k=-1k;求过点P0垂直于l的直线l的方程;求l与l的交点Q;求点P0与点Q的距离,得到点P0到l的距离d=|PQ|.思路三(解三角形)的步骤(如图)过点P0作x轴,y轴的垂线交l于点S,R;用x0,y0表示点R,S的坐标;求出|P0R|,|P0S|;利用勾股定理求出|RS|,并计算sinP0SR=|P0R|RS|;解P0SQ得|P0Q|=|P0S|sinP0SR.思路四(等面积法)的步骤(如图):过点P0作x轴、y轴的垂线交l于点R,S;用x0,y0表示点R,S的坐标;求出|P0R|,|P0S|;利用勾股定理求出|RS|;根据面积相等,求
6、出|P0Q|=|P0R|P0S|RS|.推导公式:过点P0作x轴,y轴的垂线交l于点R,S;则直线P0R的方程为y=y0,R的坐标为(-By0+CA,y0);同理S的坐标为(x0,-Ax0+CB).于是有|P0R|=|Ax0+By0+C|A|,|P0S|=|Ax0+By0+C|B|,所以|RS|=|Ax0+By0+C|A2+B2|AB|.由三角形的面积公式可得|P0Q|=|P0R|P0S|RS|=|Ax0+By0+C|A2+B2.三、【例1】 解:(1)先将方程y=10-2x化为一般式为2x+y-10=0,由点到直线的距离公式得d=|2(-1)+2-10|22+12=25.(2)d=|3(-1
7、)-2|32+02=53.问题3:不能;可以,一方面A2+B20,另一方面,可以验证,当A=0或B=0时,公式仍然成立.【例2】 解:设AB边上的高为h,则SABC=12|AB|h.|AB|=(3-1)2+(1-3)2=22.AB边上的高h就是点C到AB的距离.AB边所在的直线方程为y-31-3=x-13-1,即x+y-4=0.点C(-1,0)到x+y-4=0的距离h=|-1+0-4|12+12=52.因此, SABC=122252=5.四、【例3】 解:l1的斜率k1=27,l2的斜率k2=621=27.l1的纵截距b1=-87,l2的纵截距b2=-121.因为k1=k2,b1b2,所以l1
8、l2.求得l1与x的交点A的坐标为(4,0).点A到直线l2的距离d=|64-210-1|62+212=2315953.所以l1与l2间的距离2315953.问题4:可以求一条直线上任意一点到另一条直线的距离;两条平行线之间的距离是指夹在两条平行线间的公垂线段的长,而所有公垂线段长度都相等.当A0时,求得l1与x轴的交点A的坐标为(-C1A,0).点A到直线l2的距离d=|-C1AA+B0+C2|A2+B2=|C2-C1|A2+B2.当A=0时,经验证上述公式也成立.五、问题5:体现了化归转化的数学思想和数形结合的数学思想.六、问题6:点到直线的距离公式的推导和简单应用;两条平行直线间的距离.