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1、第四章圆与方程章末小结学习目标1.掌握圆的标准方程、一般方程,会根据条件求出圆心和半径,进而求得圆的标准方程;根据方程求得圆心和半径;掌握二元二次方程表示圆的等价条件;熟练进行互化.2.掌握直线和圆的位置关系,会用代数法和几何法判断直线和圆的位置关系;掌握圆与圆的位置关系,会判断圆与圆的位置关系;会简单求解曲线的方程.3.掌握空间直角坐标系的建立,能用(x,y,z)表示点的坐标;会根据点的坐标求空间两点的距离.教学重点难点重点:熟练掌握圆的方程的几种形式,能用圆的方程来解决有关问题.难点:运用圆的方程解决与之相关的问题.教学过程一、再现型题组1.以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的
2、圆的方程是()A.(x-1)2+(y+2)2=100B.(x-1)2+(y-2)2=100C.(x-1)2+(y-2)2=25D.(x+1)2+(y+2)2=252.直线3x-4y-9=0与圆x2+y2=4的位置关系是()A.相交且过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心3.方程x2+y2+2ax-by+c=0表示圆心为C(2,2),半径为2的圆,则a,b,c的值依次为()A.2,4,4B.-2,4,4C.2,-4,4D.2,-4,-44.直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y2=9截得的弦长为()A.22B.4C.42D.25.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,
3、则a的值为.6.过点A(1,-1)、B(-1,1)且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是.7.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是.提高型题组【例1】 求过两点A(1,4),B(3,2)且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)说明:本题利用两种方法求解了圆的方程,都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量,然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系,若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢?【例2】 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在
4、直线2x-y-3=0上的圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)【例3】 一圆与y轴相切,圆心在直线x-3y=0上,且直线y=x截圆所得弦长为27,求此圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)点评:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a,b,r或D,E,F;(3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.【例4】 求半径为4,与圆x2+y2-4x-2y-4=0相切,且和直线y=0相切的圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)
5、【例5】 设圆满足:截y轴所得弦长为2;被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为31,在满足条件的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离为55的圆的方程.总结规律:(试总结如何判断“点与圆的位置关系”)点评:解析几何中的最值问题一般有两类办法,一是利用图形的几何性质,即从几何证明中发现最值;二是用代数法,即用函数的方法进行解答.【例6】 有一种大型商品A、B两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得商品后回运的运费是:每单位距离A地的运费是B地运费的3倍,已知A、B两地相距10 km,居民选择A或B地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求A、B两地的售货区域的分界线的曲线形状
6、,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点.活动:学生先审题,然后思考或讨论,学生有困难教师可以提示引导,建立适当的坐标系,这里以AB所在直线为x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系较简单,假设一点距A地近,且费用低,列方程或不等式.点评:在学习中要注意联系实际,重视数学在生产、生活和相关学科中的应用,解决有关实际问题时,关键要明确题意,掌握建立数学模型的基本方法.巩固型题组1.圆x2+y2-2x+4y+3=0的圆心到直线x-y=1的距离为()A.22B.1C.2D.22.方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆,则a的取值范围是()A.a23B.-2a23C.-2
7、a0D.-23ar,点P在圆外.解法二:(直接求出圆心坐标和半径)因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点,所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上,又因为kAB=4-21-3=-1,故l的斜率为1,又AB的中点为(2,3),故AB的垂直平分线l的方程为:y-3=x-2即x-y+1=0.又知圆心在直线y=0上,故圆心坐标为C(-1,0).半径r=|AC|=(1+1)2+42=20.故所求圆的方程为(x+1)2+y2=20.又点P(2,4)到圆心C(-1,0)的距离为d=|PC|=(2+1)2+42=25r,点P在圆外.【例2】 解法一:设圆心P(x0,y0),则有2x0-y0-3=0,(x0-5)
8、2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2,解得x0=4,y0=5,半径r=10,所求圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=10.解法二:圆心在线段AB的垂直平分线和已知直线的交点处,以下同解法一.【例3】 因圆与y轴相切,且圆心在直线x-3y=0上,故设圆方程为(x-3b)2+(y-b)2=9b2.又因为直线y=x截圆得弦长为27,则有(|3b-b|2)2+(7)2=9b2,(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9.【例4】 解:据题意,设所求圆的方程为圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.圆C与直线y=0相切,且半径为4,则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2
9、(a,-4).又已知圆x2+y2-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为(2,1),半径为3.若两圆相切,则|CA|=4+3=7或|CA|=4-3=1.(1)当C1(a,4)时,(a-2)2+(4-1)2=72,或(a-2)2+(4-1)2=12(无解),故可得a=2210.所求圆方程为(x-2-210)2+(y-4)2=42,或(x-2+210)2+(y-4)2=42.(2)当C2(a,-4)时,(a-2)2+(-4-1)2=72,或(a-2)2+(-4-1)2=12(无解),故a=226.所求圆的方程为(x-2-26)2+(y+4)2=42,或(x-2+26)2+(y+4)2=42.【例5】
10、解:设圆P的圆心为P(a,b),半径为r,则点P到x轴,y轴的距离分别为|b|,|a|.由题设知圆P截x轴所得劣弧对的圆心角为90,知圆P截x轴所得的弦长为2r.故r2=2b2又圆P被y轴所截得的弦长为2,所以有r2=a2+1.从而得2b2-a2=1.又因为P(a,b)到直线x-2y=0的距离为55,所以,d=|a-2b|5=55即有a-2b=1,由此有2b2-a2=1,a-2b=1或2b2-a2=1,a-2b=-1,解方程组得a=-1,b=-1或a=1,b=1,于是r2=2b2=2,所求圆的方程是(x+1)2+(y+1)2=2,或(x-1)2+(y-1)2=2.【例6】 解:以AB所在直线为
11、x轴,线段AB的中点为原点建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0).设某地P的坐标为(x,y),且P地居民选择A地购买商品的费用较低,并设A地的运费为3a元/km,则B地运费为a元/km.由于P地居民购买商品的总费用满足条件:价格+A地运费价格+B地运费,即3a(x+5)2+y2a(x-5)2+y2,整理得(x+254)2+y2(154)2.所以以点C(-254,0)为圆心,154为半径的圆就是两地居民购货的分界线.圆内的居民从A地购货费用较低,圆外的居民从B地购货费用较低,圆上的居民从A、B两地购货的总费用相等,因此可以随意从A,B两地之一购货.巩固型题组1.C2.B3.A4.D5.(3,-2)6.(x-3)2+(y+4)2=167.(x-4)2+(y+2)2=258.x2+y2+x-9y-12=09.(x-1)2+y2=13或(x-5)2+(y-4)2=3710.(x-1)2+(y-2)2=5