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1、第三章概率3.3几何概型3.3.1几何概型学习目标1.通过本节内容的学习,了解几何概型,理解其基本计算方法并会运用.2.通过对照前面学过的知识,自主思考,寻找几何概型的随机模拟计算方法,设计估计未知量的方案,培养实际操作能力.3.通过学习,体会试验结果的随机性与规律性,培养科学思维方法,提高对自然界的认知水平.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:前面我们都学过哪些求概率的方法?学生思考后给出:.问题2:下面事件的概率能否用古典概型的方法求解?情境一教师取一根长度为60厘米的绳子,拉直后在任意位置剪断,使得剪出的两段的长都不小于绳子长度13(记为事件A),求此事件发生的概率.师生共同探究:此试
2、验中,从每一个位置剪断都是一个试验结果,剪断位置可以是绳子上任一点,试验的可能结果为,发现不是,不可以用古典概型的方法求解.探索:如图所示,把绳子三等分,于是当剪断位置在中间一段时,事件A发生,于是P(A)=中间绳子长度整条绳子长度=13.教师:这个模型就是我们今天要学习的几何概率模型,简称几何概型.情境二教师用多媒体展示商场里面的抽奖场景视频,拿出如图所示的两个转盘,规定当指针指向B区域时顾客中奖.问题3:在两种情况下某顾客中奖的概率分别是多少?学生思考并回答,可见在图(1)中,顾客中奖的概率为,图(2)中顾客中奖的概率为.情境三问题4:一只苍蝇在一棱长为60 cm的正方体笼子里飞.苍蝇距笼
3、边大于10 cm的概率是多少?问题5:同学们观察对比,找出三个情境的共同点与不同点.问题6:同学们能否根据自己的理解说说什么是几何概型?二、信息交流,揭示规律在问题情境的铺垫下,教师引导学生用自己的语言描述几何概型的概念:,简称为几何概型.问题7:古典概型与几何概型的区别和联系是什么?古典概型几何概型所有的试验结果有限个(n个)每个试验结果的发生等可能概率的计算P(A)=nAn引导学生通过对前面三个情境的总结,得到在几何概型中,事件A发生的概率的计算公式为三、运用规律,解决问题【例1】 在500 mL的水中有一只草履虫,现从中随机取出2 mL水样放到显微镜下观察,求发现草履虫的概率.【例2】
4、取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的概率.【例3】 某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.归纳总结:怎样求几何概型的概率?对于复杂的实际问题,解题的关键是要建立模型,找出随机事件与所有基本事件相对应的几何区域,把问题转化为几何概率问题,利用几何概率公式求解,具体分以下四个步骤:(1)(2)(3)(4)四、变式训练,深化提高1.在区间1,3上任意取一个数,则这个数不小于1.5的概率是多少?2.在高产小麦种子100 mL中混入了一粒带锈病的种子,从中随机取出3 mL,求含有带锈病种子的概率是多少?3.
5、在墙上挂着一块边长为16 cm的正方形木板,上面画了小、中、大三个同心圆,半径分别为2 cm,4 cm,6 cm,某人站在3 m之外向此板投镖,投镖击中线上或没有投中木板时都不算,可重投,问: (1)投中大圆内的概率是多少?(2)投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少?(3)投中大圆之外的概率是多少?五、反思小结,观点提炼布置作业1.必做题课本P142习题3.3 A组第1,2题.2.选做题(1)在等腰直角三角形ABC中,在斜边AB上任取一点M,求AM小于AC的概率.(2)平面上画了一些彼此相距2a的平行线,把一枚半径ra的硬币任意掷在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相碰的概率.(3)两人相约
6、8点到9点在某地会面,先到者等候另一人20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.参考答案一、设计问题,创设情境问题1:用做试验或计算机模拟试验等方法得到事件发生的频率来估计概率;用古典概型的公式计算事件发生的概率.问题2:无限个古典概型问题3:1235二、信息交流,揭示规律如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型问题7:古典概型几何概型所有的试验结果有限个(n个)无限个每个试验结果的发生等可能等可能概率的计算P(A)=nAnAP(A)=构成事件A的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)三、运用规律,解
7、决问题【例1】 解:取出2 mL水,其中“发现草履虫”这一事件记为A,则P(A)=取出水的体积所有水的体积=2500=0.004.答:发现草履虫的概率是0.004.【例2】 解:记“豆子落入圆内”为事件A,则P(A)=圆的面积正方形的面积=a24a2=4.答:豆子落入圆内的概率为4.【例3】 解:记“等待的时间不多于10分钟”为事件A,则P(A)=1060=16.答:等待的时间不多于10分钟的概率为16.归纳总结(1)利用几何概型的定义判断该问题能否转化为几何概型求解;(2)把基本事件空间转化为与之对应的区域;(3)把随机事件A转化为与之对应的区域A;(4)利用几何概型概率公式计算.四、变式训
8、练,深化提高1.P=1.5,3的长度1,3的长度=3-1.53-1=1.52=0.75.2.P(A)=取出的小麦种子的体积所有小麦种子的体积=3100=0.03.3.(1)P1=大圆的面积正方形的面积=36256=964.(2)P2=中圆的面积-小圆的面积正方形的面积=16-4256=364.(3)P3=1-大圆的面积正方形的面积=1-964.五、反思小结,观点提炼1.几何概型的概念及基本特点.2.几何概型中概率的计算公式;一般地,在几何区域中随机地取一点,记事件“该点落在其内部一个区域A内”为事件A,则事件A的概率计算公式为P(A)=A.其中表示区域的几何度量,A表示区域A的几何度量.3.背
9、景相似的问题,当等可能的角度不同时,其概率是不一样的.4.区域内随机取点是指:该点落在区域内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比,而与其形状位置无关.布置作业2.选做题:(1)解:在AB上截取AC=AC.于是P(AMAC)=P(AMAC)=ACAB=ACAB=22.答:AM小于AC的概率为22.(2)解:把“硬币不与任一条平行线相碰”记为事件A,为了确定硬币的位置,由硬币中心O向靠得最近的平行线引垂线OM,垂足为M,如图所示,这样线段OM长度(记作OM)的取值范围就是0,a,只有当rOMa时硬币才不与平行线相碰,所以,所求事件A的概率P(A)=(r,a的长度0,a的长度=a-ra. (3)解:设甲、乙各在第x分钟和第y分钟到达,则样本空间为:(x,y)|0x60,0y60,画成图为一正方形(如图).以x,y分别表示两人的到达时刻,则两人能会面的充要条件为|x-y|20,而能会面的点的区域用阴影标出,所求概率P=阴影的面积正方形的面积=602-402602=59.