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1、第三章三角恒等变换本章小结学习目标对本章知识进行总结,对重点、热点题型进行归纳梳理.合作学习一、知识分析(一)公式归纳1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式:(1)cos(-)=cos cos +sin sin ;(2)cos(+)=cos cos -sin sin ;(3)sin(-)=sin cos -cos sin ;(4)sin(+)=sin cos +cos sin ;(5)tan(-)=tan-tan1+tantan(tan -tan =tan(-)(1+tan tan );(6)tan(+)=tan+tan1-tantan(tan +tan =tan(+)(1-tan tan ).
2、2.二倍角的正弦、余弦和正切公式:(1)sin 2=2sin cos 1sin 2=sin2+cos22sin cos =(sincos )2;(2)cos 2=cos2-sin2=2cos2-1=1-2sin2升幂公式1+cos =2cos22,1-cos =2sin22降幂公式cos2=cos2+12,sin2=1-cos22;(3)tan 2=2tan1-tan2.3.万能公式:(1)sin 2=2tan1+tan2;(2)cos 2=1-tan21+tan2;(3)tan 2=2tan1-tan2;(4)sin2=tan21+tan2;(5)cos2=11+tan2.4.半角公式:(1
3、)cos2=1+cos2;(2)sin2=1-cos2;(3)tan2=1-cos1+cos=sin1+cos=1-cossin.(后两个不用判断符号,更加好用)5.asin +bcos =a2+b2sin(+)(其中辅助角与点(a,b)在同一象限,且tan =ba).(二)要点概述1.求值常用的方法:化弦法,升幂、降幂法,辅助元素法,“1”的代换法等.2.要熟悉角的拆拼、变换的技巧,倍角与半角的相对性,如2=(+)+(-),=(+)-=(-)+,3是23的半角,2是4的倍角等.3.要掌握求值问题的解题规律和途径,寻求角间关系的特殊性,化非特殊角为特殊角,正确选用公式,灵活掌握各个公式的正用、
4、逆用、变形用等.4.求值的类型:(1)“给角求值”:一般所给出的角都是非特殊角,从表面来看较难,但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系.解题时,要利用观察得到的关系,进行适当角的配凑、升降幂公式将非特殊角转化为特殊角并且消降非特殊角的三角函数而得解.(2)“给值求值”:给出某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系.(3)“给值求角”:实质上可转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角.5.灵活运用角和公式的变形,如:2=(+)+(-),tan +tan =tan(+)(1-ta
5、n tan )等,另外重视角的范围对三角函数值的影响,因此要注意角的范围的讨论.6.化简三角函数式常有两种思路:一是角的变换(即将多种形式的角尽量统一),二是三角函数名称的变化(即当式子中所含三角函数种类较多时,一般是“切割化弦”),有时,两种变换并用,有时只用一种,视题而定.7.证明三角恒等式时,所用方法较多,一般有以下几种证明方法:从一边到另一边;两边等于同一个式子;作差法.二、典例分析,性质应用(一)求值题【例1】已知(4,34),(0,4),且cos(4-)=35,sin(54+)=-1213,求cos(+).(二)化简题【例2】化简:(1+sin+cos)(sin2-cos2)2+2
6、cos,其中2.(三)证明题【例3】求证:1-2sinxcosxcos2x-sin2x=1-tanx1+tanx.(四)与向量、三角形等有关的综合题【例4】平面直角坐标系内有点P(1,cos x),Q(cos x,1),x-4,4.(1)求向量OP与OQ的夹角的余弦;(2)求cos 的最值.(五)恒等变换综合应用【例5】已知函数f(x)=sin xcos x-3sin 2x+32.(1)求f(x)的最小正周期及f(12);(2)求函数f(x)在-4,4上的值域;(3)求函数的单调区间;(4)求函数的对称轴及对称中心.三、章末巩固(一)选择题1.sin15+cos15sin15-cos15的值为
7、()A.33B.2+64C.2-64D.-32.12cos -32sin 可化为()A.sin(6-)B.sin(3-)C.sin(6+)D.sin(3+)3.若,(0,2),且tan =43,tan =17,则-的值是()A.3B.4C.6D.84.函数y=8sin xcos xcos 2x的周期为T,最大值为A,则()A.T=,A=4B.T=2,A=4C.T=,A=2D.T=2,A=25.已知1cos-1sin=1,则sin 2的值为()A.2-1B.1-2C.22-2D.2-226.已知tan =13,则cos 2+12sin 2等于()A.-65B.-45C.45D.657.设f(ta
8、n x)=tan 2x,则f(2)等于()A.4B.45C.-23D.-438.2-sin22+cos4的值是()A.sin 2B.-cos 2C.-3cos 2D.3cos 29.在ABC中,若2cos Bsin A=sin C,则ABC的形状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形10.要使斜边一定的直角三角形周长最大,它的一个锐角应是()A.30B.45C.60D.正弦值为13的锐角11.已知向量OB=(2,0),向量OC=(2,2),向量CA=(2cos ,2sin ),则向量OA与OB的夹角范围为()A.0,4B.4,512C.512,2D.12,512
9、12.已知3cos(2+)+5cos =0,则tan(+)tan 的值为()A.4B.4C.-4D.1(二)填空题13.已知sin +cos =13,则cos 4=.14.函数y=2sin xcos x-2sin 2x+1的最小正周期为.15.已知+=6,且,满足关系式3(tan tan +a)+2tan +3tan =0,则tan =.16.已知f(x)=1-x1+x,若(2,),则f(cos )+f(-cos )可化简为.(三)解答题17.求值:tan 70cos 10(3tan 20-1).18.已知函数f(x)=sin 2x+3sin xcos x+12.(1)求函数f(x)的最小正周
10、期;(2)求函数的最大值、最小值及取得最大值和最小值时自变量x的集合;(3)求函数的单调区间,并指出在每一个区间上函数的单调性.19.若已知cos(4+x)=35,1712x74,求sin2x+2sin2x1-tanx的值.20.已知,为锐角,且3sin 2+2sin 2=1,3sin 2-2sin 2=0.求证:+2=2.参考答案二、典例分析,性质应用【例1】解:由已知(4,34),得-(-34,-4),4-(-2,0),又cos(4-)=35,sin(4-)=-45,由(0,4),得4+(4,2),又sin(54+)=sin+(4+)=-sin(4+)=-1213,sin(4+)=1213
11、,cos(4+)=513,由(4+)-(4-)=+,得cos(+)=cos(4+)-(4-)=cos(4+)cos(4-)+sin(4+)sin(4-)=51335+1213(-45)=-3365.【例2】解:原式=(2cos22+2sin2cos2)(sin2-cos2)4cos22=2cos2(cos2+sin2)(sin2-cos2)2|cos2|=cos2(sin22-cos22)|cos2|=-cos2cos|cos2|,2,22,cos20,原式=-cos2cos-cos2=cos .【例3】证明:证法一:右边=1-sinxcosx1+sinxcosx=cosx-sinxcosx+
12、sinx=(cosx-sinx)2(cosx-sinx)(cosx+sinx)=cos2x+sin2x-2sinxcosxcos2x-sin2x=1-2sinxcosxcos2x-sin2x=左边,原命题成立.证法二:左边=sin2x+cos2x-2sinxcosxcos2x-sin2x=(cosx-sinx)2cos2x-sin2x=cosx-sinxcosx+sinx=1-tanx1+tanx=右边,原命题成立.证明三:左边-右边=(cosx-sinx)2cos2x-sin2x-1-tanx1+tanx=cosx-sinxcosx+sinx-1-tanx1+tanx=1-tanx1+tan
13、x-1-tanx1+tanx=0,左边=右边,原式成立.【例4】解:(1)OPOQ=2cos x,|OP|OQ|=1+cos 2x,cos =OPOQ|OP|OQ|=2cosx1+cos2x.(2)cos =f(x)=2cosx1+cos2x=2cosx+1cosx,x-4,4,cos x22,1,又2cos x+1cosx322,223f(x)1,即223cos 1,cos min=223,cos max=1.【例5】解:f(x)=sin xcos x-3sin 2x+32=12sin 2x-31-cos2x2+32=12sin 2x+32cos 2x=sin(2x+3).(1)f(12)=
14、sin(6+3)=sin2=1;T=22=.(2)根据题意得到-4x4,则-22x2,-62x+356,由图可知,-12sin(2x+3)1,故函数f(x)在-4,4上的值域为-12,1.(3)单调递增区间:-2+2k2x+32+2k(整体法求解),即-512+k,12+k(kZ).单调递减区间:2+2k2x+332+2k,即12+k,712+k(kZ).(4)对称轴:2x+3=2+k,即x=12+k2(kZ);对称中心:2x+3=k,即x=-6+k2,对称中心为(-6+k2,0)(kZ).三、章末巩固(一)选择题1.D2.A3.B4.D5.A6.D7.D8.C9.A10.B11.D12.C(
15、二)填空题13.-478114.15.3(1+a)16.2sin(三)解答题17.解:原式=sin70cos70cos 10(3sin20cos20-1)=3cos 10-cos 10sin70cos70=3cos 10-cos10cos202sin10cos10=3sin20-cos202sin10=sin20cos30-cos20sin30sin10=sin(20-30)sin10=-1.18.解:f(x)=1-cos2x2+32sin 2x+12=32sin 2x-12cos 2x+1=sin(2x-6)+1.(1)T=2=22=.(2)当2x-6=2k+2(kZ),即xx|x=k+3,
16、kZ时,f(x)max=2;当2x-6=2k-2(kZ)即xx|x=k-6,kZ时,f(x)min=0.(3)当2k-22x-62k+2(kZ),即k-6xk+3(kZ)时,f(x)单调递增.当2k+22x-62k+32(kZ),即k+3xk+56(kZ)时,f(x)单调递减.故f(x)的单调递增区间为k-6,k+3(kZ);f(x)的单调递减区间为k+3,k+56(kZ).19.解:方法一:cos(4+)=35,1712x74,354+x2,则sin(4+x)=-45,从而cos x=cos(4+x)-4=cos(4+x)cos4+sin(4+x)sin4=3522+(-45)22=-210
17、.sin x=-1-cos2x=-7210,tan x=7.故原式=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=2(-7210)(-210)+2(-7210)21-7=-2875.方法二:原式=2sinxcosx+2sin2x1-tanx=2sinxcosx(1+tanx)1-tanx=sin 2xtan(4+x),1712x74,534+x2,又cos(4+x)=35,sin(4+x)=-45,即tan(4+x)=-43,则sin 2x=sin2(4+x)-2=-cos 2(4+x)=-2cos 2(4+x)-1=725,故原式=725(-43)=-2875.20.证明:证法一:由已知3sin 2+2sin 2=1,3sin 2-2sin 2=0,3sin2=1-2sin 2=cos 2,sin 2=32sin 2=3sin cos ,cos(+2)=cos cos 2-sin sin 2=cos 3sin2-sin 3sin cos =0,为锐角,0+232,+2=2.证法二:由已知条件得:3sin2=cos 23sin cos =sin 2得sincos=cos2sin2,即sin sin 2-cos cos 2=0,cos(+2)=0,又,为锐角,+2=2.