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1、第一章三角函数本章小结学习目标1.任意角的概念与弧度制;任意角三角函数的定义;2.同角三角函数的关系、诱导公式;3.正弦、余弦、正切函数的图象与性质;4.函数y=Asin(x+)的实际意义;函数y=Asin(x+)图象的变换;5.会用三角函数解决一些简单实际问题及最值问题.学习过程复习回顾本章知识一、同角三角函数基本关系式的运用【例1】若tan=2,求:(1)sin+coscos-sin的值;(2)2sin2-sincos+cos2的值.【例2】若sincos=18,(4,2),求cos-sin的值.【例3】已知f()=sin(2-)cos(2-)tan(-+3)tan(+)sin(2+).(
2、1)化简f();(2)若是第三象限的角,且cos(-32)=15,求f()的值;(3)若=-1860,求f()的值.二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用【例4】求下列函数的定义域:(1)f(x)=3-tanx;(2)f(x)=tan(sin x);(3)f(x)=2cosx-1lg(tanx+1).【例5】求下列函数的周期:(1)y=sin2x+sin(2x+3)cos2x+cos(2x+3);(2)y=2sin(x-2)sin x;(3)y=cos4x+sin4xcos4x-sin4x.【例6】已知函数f(x)=3sin(2x-6)+2sin2(x-12)(xR).(1)求函数f(x)的
3、最小正周期;(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.【例7】判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=sin2x-tan x;(2)f(x)=1+sinx-cosx1+sinx+cosx;(3)f(x)=cos(sin x);(4)f(x)=lgcosx.【例8】已知函数f(x)=log12(sin x-cos x).(1)求它的定义域和值域;(2)判断它的奇偶性;(3)求它的单调区间;(4)判断它的周期性,若是周期函数,求它的最小正周期.【例9】已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x,xR.求:(1)函数f(x)的最大值及取得最大值的自变量x的集合;(2)函数f(
4、x)的单调增区间.三、函数y=Asin(x+)的图象与变换【例10】已知函数f(x)=2cos2x+3sin2x(其中00,0,00,aR).且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标是6.(1)求的值;(2)如果f(x)在区间-3,56上的最小值为3,求a的值.四、三角函数的运用【例13】某港口水的深度y(米)是时间t(0t24,单位:时)的函数,记作y=f(t),下面是某日水深的数据:t/时03691215182124y/米10.013.09.97.010.013.010.17.010.0经长期观察,y=f(t)的曲线可以近似地看成函数y=Asinx+b的图象.(1)试根据以上数据,
5、求出函数y=f(t)的近似表达式;(2)一般情况下船舶航行时,船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时,船底只需不碰海底即可).某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米,如果该船希望在同一天内安全进出港,请问,它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需时间)?【例14】如图所示,一个摩天轮半径为10米,轮子的底部在地面上2米处,如果此摩天轮每20秒转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心O高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的函数关系式;(2)在摩天轮转动的一圈内,有多长时间此人相对于地面的高度不超过10米?【例15】如图,ABCD是一块边
6、长为100米的正方形地皮,其中扇形ATPS是一半径为90米的扇形小山,P是弧TS上一点,其余部分都是平地,现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR,求长方形停车场的最大值与最小值.【例16】将一块圆心角为120、半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形,有如图(1)(2)的两种裁法:让矩形一边在扇形的一条半径OA上,或让矩形一边与弦AB平行,请问哪种裁法能得到最大面积的矩形?并求出这个最大值.课堂小结主要掌握正弦函数与余弦函数的图象与性质,这是本章的核心知识点,主要的思想方法就是数形结合思想和分类讨论思想.拓展提升1.若sin=-35,cos=45,则角2的终边在()
7、A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知sin=k-1,cos=4-3k,且是第二象限角,则k应满足的条件是()A.k43B.k=1C.k=85D.k13.已知1+sinxcosx=-12,那么cosxsinx-1的值是()A.12B.-12C.2D.-24.给出四个函数,则同时具有以下两个性质的函数是()最小正周期是;图象关于点(6,0)对称A.y=cos(2x-6)B.y=sin(2x+6)C.y=sin(x2+6)D.y=tan(x+3)5.为了使函数y=sinx(0)在区间0,1上至少出现50次最大值,则的最小值是()A.98B.1972C.1992D.1006.函数f
8、(x)=cos2x+sin x在区间-4,4上的最小值是()A.2-12B.-1+22C.-1D.1-227.函数f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)的图象关于原点对称的充要条件是()A.=2k-6,kZB.=k-6,kZC.=2k-3,kZD.=k-3,kZ8.在ABC中,C2,若函数y=f(x)在0,1上为单调递减函数,则下列命题正确的是()A.f(cos A)f(cos B)B.f(sin A)f(sin B)C.f(sin A)f(cos B)D.f(sin A)0,0)为奇函数的充要条件是;为偶函数的充要条件是.15.一正弦曲线的一个最高点为(14,3),从相邻的最低点到这
9、最高点的图象交x轴于(-14,0),最低点的纵坐标为-3,则这一正弦曲线的解析式为.16.已知方程sin x+cos x=k在0x上有两解,求k的取值范围.17.函数y=Asin(x+)(A0,0,|0)的最小正周期为2,并且当x=13时,f(x)max=2.(1)求f(x).(2)在闭区间214,234上是否存在f(x)的对称轴?如果存在,求出其对称轴方程;如果不存在,请说明理由.参考答案一、同角三角函数基本关系式的运用【例1】解:(1)sin+coscos-sin=1+tan1-tan=1+21-2=-3-22;(2)原式=2sin2-sincos+cos2sin2+cos2=2tan2-
10、tan+1tan2+1=4-2+13=5-23.【例2】解:(cos-sin)2=cos2+sin2-2sincos=1-14=34,(4,2),cossin.cos-sin=-32.【例3】解:(1)f()=coscos(-tan)tancos=-cos.(2)cos(-32)=-sin,sin=-15,又是第三象限的角,cos=-1-sin2=-1-125=-256,f()=256.(3)=-1860=-6360+300,f()=f(-1860)=-cos(-1860)=-cos(-6360+300)=-cos60=-12.二、正弦函数、余弦函数的图象与性质的应用【例4】解:(1)由3-t
11、an x0,得tan x3,k-2xk+3(kZ).f(x)的定义域为(k-2,k+3(kZ).(2)-2-1sin x10,xk+2(kZ),得cosx12,tanx0,tanx-1,xk+2(kZ).2k-3x2k+3,xk,k-4x02sin(x-4)0,2kx-40,f(x)的递增区间为2k+34,2k+54)(kZ),递减区间为(2k+4,2k+34(kZ).(4)f(x+2)=log12sin(x+2)-cos(x+2)=log12(sin x-cos x)=f(x),f(x)是周期函数,最小正周期T=2.【例9】解:(1)f(x)=1-cos2x2+sin2x+3(1+cos2x
12、)2=2+sin2x+cos2x=2+2sin(2x+4),当2x+4=2k+2,即x=k+8(kZ)时,f(x)取得最大值2+2.函数f(x)取得最大值时自变量x的集合为x|xR,x=k+8(kZ).(2)f(x)=2+2sin(2x+4).由题意得:2k-22x+42k+2(kZ),即:k-38xk+8(kZ).因此函数f(x)的单调增区间为k-38,k+8(kZ).三、函数y=Asin(x+)的图象与变换【例10】解:(1)f(x)=2cos2x+3sin2x=1+cos2x+3sin2x=2sin(2x+6)+1.x=3是y=f(x)的一条对称轴,sin(23+6)=1.23+6=k+
13、2,kZ,=12+32k(kZ).00.A2+A2=2,A=2.又其图象相邻两对称轴间的距离为2,0,12(22)=2,=4.f(x)=22-22cos(2x+2)=1-cos(2x+2).y=f(x)过(1,2)点,cos(2+2)=-1.2+2=2k+,kZ,2=2k+2,kZ,=k+4,kZ,又02,=4.(2)=4,y=1-cos(2x+2)=1+sin2x.f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4.又y=f(x)的周期为4,2014=4503+2,f(1)+f(2)+f(2014)=4503+f(2013)+f(2014)=2012+2+1=2015.【例12】解:
14、(1)f(x)=32cos2x+12sin2x+32+a=sin(2x+3)+32+a.依题意得26+3=2=12.(2)由(1)知,f(x)=sin(x+3)+32+a.又当x-3,56时,x+30,76,故-12sin(x+3)1,从而f(x)在区间-3,56上的最小值为3=-12+32+a,故a=3+12.四、三角函数的运用【例13】解:(1)由已知数据,易知函数y=f(t)的周期T=12,振幅A=3,b=10,y=3sin6t+10.(2)由题意,该船进出港时,水深应不小于5+6.5=11.5米.3sin6t+1011.5,sin6t12,解得:2k+66t2k+56(kZ),12k+
15、1t12k+5(kZ),在同一天内,取k=0或k=1,1t5,或13t17.该船可在当日凌晨1时进港,下午17时出港,在港口内最多停留16个小时.【例14】解:(1)以O为坐标原点,以OP所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,设摩天轮上某人在Q处,则在t秒内OQ转过的角为220t,所以t秒时,Q点的纵坐标为220t,故在t秒时此人相对于地面的高度为y=10sin10t+12(米).(2)令y=10sin10t+1210,则sin10t-15.0t20,10.64t19.36,故约有8.72秒此人相对于地面的高度不超过10米.【例15】解:如图,连接AP,设PAB=(090),延长RP交A
16、B于M,则AM=90cos,MP=90sin,PQ=MB=AB-AM=100-90cos,PR=MR-MP=100-90sin,故矩形PQCR的面积S=PQPR=(100-90cos)(100-90sin)=10000-9000(sin+cos)+8100sincos.设sin+cos=t(1200,所以用第二种裁法得到面积最大的矩形,最大面积为40033cm2.拓展提升1.D解析:由sin2=2sincos=-24250可得角2的终边在第四象限.2.C解析:由sin0,cos0及sin2+cos2=1可得k=85.3.A解析:1+sinxcosxsinx-1cosx=sin2x-1cos2x
17、=-1.4.D5.B解析:4914T1,即197421,1972.6.D解析:f(x)=1-sin2x+sin x=-(sin x-12)2+54,当x=-4时,f(x)取最小值.7.D解析:f(x)=sin(2x+)+3cos(2x+)=2sin(2x+3),令+3=k可得.8.C解析:根据0A+B2,得0A2-B2,所以sin Asin(2-B)=cos B.9.D解析:由性质(1)和(2)可排除A,C两项,再求出y=sin(2x-6)的增区间即可.10.D解析:将函数y=cos x的图象按-a平移可得原图象的函数解析式.11.B解析:y=sin(2x-6)=cos2-(2x-6)=cos
18、(23-2x)=cos(2x-23)=cos2(x-3),将函数y=cos2x的图象向右平移3个单位长度.12.C解析:由图象知,T=4(23+3)=4=2,=12.又当x=23时,y=1,则sin(1223+)=1,3+=2k+2,kZ,当k=0时,=6.13.12cos2x+314.=k(kZ)=k+2(kZ)15.y=3sin(x+4)16.解:原方程sin x+cos x=k2sin(x+4)=k,在同一坐标系内作函数y1=2sin(x+4)与y2=k的图象.对于y=2sin(x+4),令x=0,得y=1.当k1,2)时,观察知两曲线在0,上有两交点,方程有两解.17.解:易知:A=2,半周期T2=3,T=6,即2=6,从而=13.设y=2sin(13x+),令x=0,有2sin=1.又|2,=6.故所求函数解析式为y=2sin(13x+6).18.解:(1)由T=2=2,得=,f(x)=Asinx+Bcosx.由题意可得Asin3+Bcos3=2,A2+B2=2.解得A=3,B=1.f(x)=3sinx+cosx=2sin(x+6).(2)令x+6=2+k,kZ,所以x=13+k,kZ.由21413+k234得5912k6512,故k=5,在214,234上只有f(x)的一条对称轴x=163.