《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教A版必修5学案：第二章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用 Word版含解析.docx（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第2课时等比数列前n项和的性质及应用学习目标1.理解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题知识点一等比数列前n项和公式的函数特征当公比q1时，设A，等比数列的前n项和公式是SnA(qn1)即Sn是n的指数型函数当公比q1时，因为a10，所以Snna1，Sn是n的正比例函数知识点二等比数列前n项和的性质1数列an为公比不为1的等比数列(或公比为1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2nSn，S3nS2n仍构成等比数列2若an是公比为q的等比数列，则SnmSnqnSm(n，mN*)3若an是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项
2、和，则：在其前2n项中，q；在其前2n1项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1(q1)1等比数列an的前n项和Sn不可能等于2n.()2若an的公比为q，则a2n的公比为q2.()3若an的公比为q，则a1a2a3，a2a3a4，a3a4a5的公比也为q.()4等比数列an是递增数列，前n项和为Sn.则Sn也是递增数列()5对于公比q1的等比数列an的前n项和公式，其qn的系数与常数项互为相反数()题型一等比数列前n项和公式的函数特征应用例1数列an的前n项和Sn3n2.求an的通项公式解当n2时，anSnSn1(3n2)(3n12)23n1.当n1时，a1S13121不适合上式an反思
3、感悟已知Sn，通过an求通项an,应特别注意n2时,anSnSn1.(2)若数列an的前n项和SnA(qn1)，其中A0，q0且q1，则an是等比数列跟踪训练1若an是等比数列，且前n项和为Sn3n1t，则t .答案解析显然q1，此时应有SnA(qn1)，又Sn3nt，t.题型二等比数列前n项和的性质命题角度1连续n项之和问题例2已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，求证：SSSn(S2nS3n)证明方法一设此等比数列的公比为q，首项为a1，当q1时，Snna1，S2n2na1，S3n3na1，SSn2a4n2a5n2a，Sn(S2nS3n)na1(2na13n
4、a1)5n2a，SSSn(S2nS3n)当q1时，Sn(1qn)，S2n(1q2n)，S3n(1q3n)，SS2(1qn)2(1q2n)22(1qn)2(22qnq2n)又Sn(S2nS3n)2(1qn)(2q2nq3n)2(1qn)2(22qnq2n)，SSSn(S2nS3n)方法二根据等比数列的性质有S2nSnqnSnSn(1qn)，S3nSnqnSnq2nSn，SSSSn(1qn)2S(22qnq2n)，Sn(S2nS3n)S(22qnq2n)SSSn(S2nS3n)反思感悟处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q1和q1两种情形，在解有关的方
5、程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质跟踪训练2在等比数列an中，已知Sn48，S2n60，求S3n.解因为S2n2Sn，所以q1，由已知得得1qn，即qn.将代入得64，所以S3n6463.命题角度2不连续n项之和问题例3一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式解设数列an的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇S偶4S偶，即S奇3S偶，数列an的项数为偶数，q.又a1a1qa1q264，aq364，得a112.故所求通项公式为an12n1，nN*.
6、反思感悟注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题的解决过程变得简洁明快跟踪训练3设数列an是以2为首项，1为公差的等差数列；数列bn是以1为首项，2为公比的等比数列，则 .答案126解析设数列bn的公比为q，则q2，是首项为b2，公比为2的等比数列126.等比数列前n项和的分类表示典例已知数列an中，a11，a22，an23an，nN*.求an的前n项和Sn.解由an0，所以3，于是数列a2n1是首项a11，公比为3的等比数列；数列a2n是首项a22，公比为3的等比数列因此a2n13n1，a2n23n1.于是S2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)
7、2(133n1)3(133n1)，从而S2n1S2na2n23n1(53n21)综上所述，素养评析数学中有不少概念表达式相当抽象只有在明晰运算对象的基础上，才能挖掘出两式的内在联系，理解运算法则本例中，涉及到很多对n的赋值，只有理解了an，a2n，S2n与S2n1之间的联系，才能顺利挖掘出a2n是首项为2，公比为3的等比数列，S2n1S2na2n等关系.1已知等比数列an的公比为2，且其前5项和为1，那么an的前10项和等于()A31 B33 C35 D37答案B解析设an的公比为q，由题意，q2，a1a2a3a4a51，则a6a7a8a9a10q5(a1a2a3a4a5)q52532，S10
8、13233.2已知等比数列an的前n项和为Snx3n1，则x的值为()A. B C. D答案C解析方法一Snx3n13n，由SnA(qn1)，得，x.方法二当n1时，a1S1x；当n2时，anSnSn12x3n2，an是等比数列，n1时也应适合an2x3n2，即2x31x，解得x.3已知等差数列an的前n项和Snn2bnc，等比数列bn的前n项和Tn3nd，则向量a(c，d)的模为()A1 B. C. D无法确定答案A解析由等差数列与等比数列的前n项和公式知，c0，d1，所以向量a(c，d)的模为1.4设等比数列an的前n项和为Sn，若q2，S10036，则a1a3a99等于()A24 B12
9、 C18 D22答案B解析设a1a3a99S，则a2a4a1002S.S10036，3S36，S12，a1a3a5a9912.5已知等比数列an的前n项和为Sn，S41，S83，则a9a10a11a12等于()A8 B6 C4 D2答案C解析S4，S8S4，S12S8成等比数列即1,2，a9a10a11a12成等比数列a9a10a11a124.1在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q1或q1作出判断；若an是等比数列，且an0，则lg an构成等差数列2等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：利用等比数列前n项和公式时要分公比q1和q1两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进
10、行讨论：当a10，q1或a10,0q1时为递增数列；当a11或a10,0q1时为递减数列；当q0且q1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和Sn(qn1)(q1)设A，则SnA(qn1)与指数函数相联系(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn，当成整体求解；把奇数项、偶数项、连续若干项之和等整体处理.一、选择题1等比数列an中，a33S22，a43S32，则公比q等于()A2 B. C4 D.答案C解析a33S22，a43S32，a4a33(S3S2)3a3，即a44a3，q4.2设an是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和，若Sn是等差数列，则q等于()A1 B0 C1或0 D
11、1答案A解析SnSn1an(n2且nN*)，又Sn是等差数列，an为定值，即数列an为常数列，q1(n2且nN*)3设等比数列an的前n项和为Sn，已知S38，S67，则a7a8a9等于()A. B C. D.答案A解析因为a7a8a9S9S6，且S3，S6S3，S9S6也成等比数列，即8，1，S9S6成等比数列，所以8(S9S6)1，即S9S6，所以a7a8a9.4设Sn为等比数列an的前n项和，a28a50，则的值为()A. B2 C. D17答案C解析q3，q.11q4.5正项等比数列an的前n项和为Sn，S3013S10，S10S30140，则S20等于()A90 B70 C40 D3
12、0答案C解析由S3013S10，知q1，由得由等比数列的前n项和的性质得S10，S20S10，S30S20成等比数列，则(S20S10)2S10(S30S20)，即(S2010)210(130S20)，解得S2040或S2030(舍去)，故选C.6已知Sn是等比数列an的前n项和，若存在mN*，满足9，则数列an的公比为()A2 B2 C3 D3答案B解析设公比为q，若q1，则2，与题中条件矛盾，故q1.qm19，qm8.qm8，m3，q38，q2.7已知等比数列an的前10项中，所有奇数项之和为85，所有偶数项之和为170，则Sa3a6a9a12的值为()A580 B585 C590 D59
13、5答案B解析设等比数列an的公比为q，则由题意有得Sa3a6a9a12a3(1q3q6q9)a1q2585.8设等比数列an的前n项和为Sn，若3，则等于()A2 B. C. D3答案B解析由题意知q1，否则23.1q33，q32.二、填空题9若等比数列an的前5项和S510，前10项和S1050，则它的前15项和S15 .答案210解析由等比数列前n项和的性质知S5，S10S5，S15S10成等比数列，故(S10S5)2S5(S15S10)，即(5010)210(S1550)，解得S15210.10已知数列an的前n项和为Sn，且a11，若对任意nN*，有an1Sn，则Sn .答案n1解析由
14、an1Sn，得Sn1SnSn，即Sn1Sn，则数列Sn是以S11为首项，公比q为的等比数列，所以SnS1qn1n1.11已知首项为1的等比数列an是摆动数列，Sn是an的前n项和，且5，则数列的前5项和为 答案解析1q25，q2.an是摆动数列，q2.的首项为1，公比为，前5项和为.三、解答题12已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)设等差数列an公差为d，因为a2a42a310，所以a3512d，所以d2，所以an2n1(nN*)(2)设bn的公比为q，b2b4a5qq39，所以q23，所以
15、b2n1是以b11为首项，qq23为公比的等比数列，所以b1b3b5b2n1.13已知等比数列an中，a12，a32是a2和a4的等差中项(1)求数列an的通项公式；(2)记bnanlog2an，求数列bn的前n项和Sn.考点错位相减法求和题点错位相减法求和解(1)设数列an的公比为q，由题意知2(a32)a2a4，q32q2q20，即(q2)(q21)0.q2，即an22n12n，nN*.(2)由题意得，bnn2n，Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得Sn212223242nn2n12(n1)2n1.Sn2(n1)2n1，nN*.14等比数列an中，a1a33，前n项和为Sn，S1，S3，S2成等差数列，则Sn的最大值为 答案4解析设公比为q，由解得当n为奇数时，Sn4，当n为偶数时，Sn.综上，Sn的最大值为4.15已知Sn为数列an的前n项和，且满足Sn2ann4.(1)证明：Snn2为等比数列；(2)设数列Sn的前n项和为Tn，求Tn.(1)证明当n1时，S12S114，故S13，得S1124.n2时原式转化为Sn2(SnSn1)n4，即Sn2Sn1n4，所以Snn22Sn1(n1)2，所以Snn2是首项为4，公比为2的等比数列(2)解由(1)知，Snn22n1，所以Sn2n1n2，于是Tn(22232n1)(12n)2n2n.