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1、章末复习学习目标1.理解频率与概率的关系，会用随机模拟的方法用频率估计概率.2.掌握随机事件的概率及其基本性质，能把较复杂的事件转化为较简单的互斥事件求概率.3.能区分古典概型与几何概型，并能求相应概率1频率与概率频率是概率的近似值，是随机的，随着试验的不同而变化；概率是多数次的试验中频率的稳定值，是一个常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计概率2求较复杂概率的常用方法(1)将所求事件转化为彼此互斥的事件的和；(2)先求其对立事件的概率，然后再应用公式P(A)1P()求解3古典概型概率的计算：关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的基本事件的个数m，再利用公式P(A)求解有时需要用列举法把
2、基本事件一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重不漏4几何概型事件概率的计算关键是求得事件A所占区域和整个区域的几何测度，然后代入公式求解1对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件()2“在适当条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型()3几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()题型一频率与概率例1对一批U盘进行抽检，结果如下表：抽出件数a50100200300400500次品件数b345589次品频率(1)计算表中次品的频率；(2)从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是多少？(3)为保证买到次品的顾客能够及时
3、更换，要销售2 000个U盘，至少需进货多少个U盘？解(1)表中次品频率从左到右依次为0.06,0.04，0.025，0.017,0.02,0.018.(2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率在0.02附近摆动，所以从这批U盘中任意抽取一个是次品的概率约是0.02.(3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(10.02)2 000，因为x是正整数，所以x2 041，即至少需进货2 041个U盘反思与感悟概率是个常数但除了几何概型，概率并不易知，故可用频率来估计跟踪训练1某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n10205010020050
4、0击中靶心次数m8194492178455击中靶心的频率0.80.950.880.920.890.91(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次一定都击不中靶心吗？(4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？解(1)由题意得，击中靶心的频率与0.9接近，故概率约为0.9.(2)击中靶心的次数大约为3000.9270.(3)由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化后30次中，每次击中靶心的
5、概率仍是0.9，所以不一定不击中靶心(4)不一定题型二互斥事件与对立事件例2甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同题目，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解把3个选择题记为x1，x2，x3，2个判断题记为p1，p2.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，
6、x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共2种因此基本事件的总数为666220.(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1.反思与感悟在求有关事件的概率时，若从正面分析，包含的事件较多或较烦琐，而其反面却较容易入手
7、，这时，可以利用对立事件求解跟踪训练2猎人在距离100米处射击一野兔，命中的概率为，如果第一次没有命中，则猎人进行第二次射击，但距离已是150米，如果又没有击中，则猎人进行第三次射击，但距离已是200米已知猎人命中兔子的概率与距离的平方成反比，则三次内击中野兔的概率是多少？解三次内击中野兔，即第一次击中野兔或第二次击中野兔或第三次击中野兔，设第一、二、三次击中野兔分别为事件A，B，C.设距离为d，命中的概率为P，则有P，将d100，P代入上式，可得k5 000，所以P，所以P(B)，P(C).又已知P(A)，所以P(ABC)P(A)P(B)P(C).故三次内击中野兔的概率为.题型三古典概型与几
8、何概型例3某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标Sxyz评价该产品的等级若S4，则该产品为一等品现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：产品编号A1A2A3A4A5质量指标(x，y，z)(1,1,2)(2,1,1)(2,2,2)(1,1,1)(1,2,1)产品编号A6A7A8A9A10质量指标(x，y，z)(1,2,2)(2,1,1)(2,2,1)(1,1,1)(2,1,2)(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；设事件B为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标S都等于4
9、”，求事件B发生的概率解(1)计算10件产品的综合指标S，如下表：产品编号A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故该样本的一等品率为0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.(2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为A1，A2，A1，A4，A1，A5，A1，A7，A1，A9，A2，A4，A2，A5，A2，A7，A2，A9，A4，A5，A4，A7，A4，A9，A5，A7，A5，A9，A7，A9，共15种在该样本的一等品中，综合指标S等于4的产品编号分别为A1，A2，A5，A7，则事件B发生的所有
10、可能结果为A1，A2，A1，A5，A1，A7，A2，A5，A2，A7，A5，A7，共6种所以P(B).反思与感悟古典概型与几何概型的共同点是各基本事件的等可能性；不同点是前者总的基本事件有限，后者无限跟踪训练3如图所示的大正方形面积为13，四个全等的直角三角形围成一个阴影小正方形，较短的直角边边长为2，向大正方形内投掷飞镖，则飞镖落在阴影部分的概率为()A. B. C. D.答案D解析设阴影小正方形边长为x，则在直角三角形中有22(x2)2()2，解得x1或x5(舍去)，阴影部分面积为1，飞镖落在阴影部分的概率为.题型四数形结合思想在求解概率中的应用例4口袋里装有2个白球和2个黑球，这4个球除
11、颜色外完全相同，四个人按顺序依次从中摸出1个球(不放回)，试求“第二个人摸到白球”的概率解把四个人依次编号为甲、乙、丙、丁，把2个白球编上序号1,2，把2个黑球也编上序号1,2，于是四个人按顺序依次从袋内摸出1个球的所有可能结果，可用树形图直观地表示出来，如图所示从上面的树形图可以看出，试验的所有可能结果为24.第二人摸到白球的结果有12种，记第二个人摸到白球为事件A，则P(A).反思与感悟事件个数没有很明显的规律，而且涉及的基本事件又不是太多时，我们可借助树形图直观地将其表示出来，有利于条理地思考和表达跟踪训练4如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB
12、内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A1 B.C. D.答案A解析设分别以OA，OB为直径的两个半圆交于点C，OA的中点为D，如图，连接OC，DC.不妨令OAOB2，则ODDADC1.在以OA为直径的半圆中，空白部分面积S1111，所以整体图形中空白部分面积S22.又因为S扇形OAB22，所以阴影部分面积为S32.所以P1.1下列事件：任取三条线段，这三条线段恰好组成直角三角形；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，这三条射线交于一点；实数a，b都不为0，但a2b20；明年12月28日的最高气温高于今年12月28日的最高气温，其中为随机事件的是()A BC D答案B解析任取三条线段，这
13、三条线段可能组成直角三角形，也可能组不成直角三角形，故为随机事件；从一个三角形的三个顶点各任画一条射线，三条射线可能不相交，交于一点、交于两点、交于三点，故为随机事件；若实数a，b都不为0，则a2b2一定不等于0，故为不可能事件；由于明年12月28日还未到来，故明年12月28日的最高气温可能高于今年12月28日的最高气温，也可能低于今年12月28日的最高气温，还可能等于今年12月28日的最高气温故为随机事件故选B.2把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，则事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是()A对立事件 B互斥但不对立事件C不可能事件 D必然事件答案B解析根据题意，把黑、红、白3张纸牌分给
14、甲、乙、丙三人，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”不会同时发生，故两者是互斥事件，但除了“甲分得红牌”与“乙分得红牌”之外，还有“丙分得红牌”，故两者不是对立事件，所以事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是互斥但不对立事件3下列试验属于古典概型的有()从装有大小、形状完全相同的红、黑、绿各一球的袋子中任意取出一球，观察球的颜色；在公交车站候车不超过10分钟的概率；同时抛掷两枚硬币，观察出现“两正”“两反”“一正一反”的次数；从一桶水中取出100 mL，观察是否含有大肠杆菌A1个 B2个C3个 D4个答案A解析古典概型的两个基本特征是有限性和等可能性符合两个特征；对于和，基本事件的个数有无限多个；
15、对于，出现“两正”“两反”与“一正一反”的可能性并不相等，故选A.4甲、乙两人随意入住两间空房，则甲、乙两人各住一间房的概率是()A. B.C. D无法确定答案C解析共有4个事件“甲、乙同住房间A，甲、乙同住房间B，甲住A乙住B，甲住B乙住A”，且各事件等可能，两人各住一个房间共有两种情况，所以甲、乙两人各住一间房的概率是.5任取一个三位正整数N，则对数log2N是一个正整数的概率是()A. B. C. D.答案C解析三位正整数有100999，共900个，而满足log2N为正整数的N有27，28，29，共3个，故所求事件的概率为.1两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥若
16、事件A1，A2，A3，An彼此互斥，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)2关于古典概型，必须要解决好下面三个方面的问题：(1)本试验是不是等可能的？(2)本试验的基本事件有多少个？(3)事件A是什么，它包含多少个基本事件？只有回答好这三个方面的问题，解题才不会出错3几何概型的试验中，事件A的概率P(A)只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关求试验为几何概型的概率，关键是求得事件所占区域和整个区域的几何度量，然后代入公式即可求解一、选择题1从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件：“两
17、球都不是白球；两球恰有一白球；两球至少有一个白球”中的()A BC D答案A解析从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，基本事件为：白白，白红，白黑，红红，红黑，黑黑除“两球都不是白球”外，还有其他事件如白红可能发生，故与“两球都为白球”互斥但不对立符合，理由同上两球至少有一个白球，其中包含两个都是白球，故不互斥2集合A1,2,3,4,5，B0,1,2,3,4，点P的坐标为(m，n)，mA，nB，则点P在直线xy6上方的概率为()A. B. C. D.答案D解析基本事件总数为25，点P在直线xy6上方的个数为6，P.3掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于()A. B. C.
18、D.答案B解析基本事件36个，其中点数之和为5的有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，故概率为.4已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，则恰有一件次品的概率为()A0.4 B0.6 C0.8 D1答案B解析用列举法列出基本事件总数为10.事件“恰有一件次品”包含的基本事件个数为6，则P0.6.5某运动会期间，从来自A大学的2名志愿者和来自B大学的4名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名A大学志愿者的概率是()A. B. C. D.答案C解析基本事件总数为15，事件包括的基本事件数为9，P.6从正方形的四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则
19、这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A. B. C. D.答案C解析共可组成10条线段，其中小于边长的有4条，故不小于边长的有6条，所以不小于边长的概率为.7若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB2，BC1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D.答案B解析由几何概型公式知，所求概率为半圆的面积与矩形的面积之比，则P，故选B.二、填空题8从字母a，b，c，d，e中任取两个不同字母，则取到字母a的概率为_答案解析基本事件有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10个其中有a的事件的个数为4个，分别为ab，ac，ad，ae.
20、故所求概率为P.9在区间3,2上随机取一个数x，则事件“1x4”发生的概率是_答案解析1x4，2x0，所求概率P.10将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为_答案解析两本数学书编号为1,2，语文书编号为3，则共有123,132,231,213,312,321,6个基本事件其中2本数学书相邻的事件有4个，分别为123,213,312,321，故所求概率P.11甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_答案三、解答题12如图所示，A是圆上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，求弦AA的长度大
21、于等于半径的概率解如图，当AA的长度等于半径时，AOA60，使AA大于半径的弧度为240，所以P.13某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化，10 000个鱼卵孵出8 513条鱼苗，根据概率的统计定义解答下列问题：(1)这种鱼卵的孵化概率(孵化率)是多少？(2)30 000个鱼卵大约能孵化出多少条鱼苗？(3)要孵化出5 000条鱼苗，大约需准备多少个鱼卵(精确到百位)?解(1)这种鱼卵的孵化频率为0.851 3，把它近似作为孵化的概率，即这种鱼卵的孵化概率是0.851 3.(2)设能孵化出x条鱼苗，则0.851 3，所以x25 539，即30 000个鱼卵大约能孵化出25 539条鱼苗(3)设大约需
22、准备y个鱼卵，则0.851 3，所以y5 900，即大约需准备5 900个鱼卵四、探究与拓展14设集合A0,1,2，B0,1,2，从集合A和B中各随机取一个数，分别记为a，b，从而确定平面上的一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线xyn上”为事件Cn(0n4，nN)若事件Cn的概率最大，则n的值为_答案2解析基本事件为：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9个当n0时，落在直线xy0上的点只有(0,0)；当n1时，落在直线xy1上的点有(0,1)，(1,0)，共2个；当n2时，落在直线xy2上的点只有(1,1)，
23、(2,0)，(0,2)，共3个；当n3时，落在直线xy3上的点只有(1,2)，(2,1)，共2个；当n4时，落在直线xy4上的点只有(2,2)因此，当事件Cn的概率最大时，n2.15一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率解(1)由题意，得(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，
24、(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3, 1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种设“抽取的卡片上的数字满足abc”为事件A，则事件A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种所以P(A).因此，“抽取的卡片上的数字满足abc”的概率为.(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事件B，则事件包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种所以P(B)1P()1.因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为.