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1、3.1不等关系与不等式3.1.1不等关系与不等式学习目标1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系2.学会用作差法比较两实数的大小知识点一不等关系与不等式的概念1用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式2符号“”和“”的含义：如果a，b是两个实数，那么ab，即为ab或ab；ab即为abab0；abab0；abab0.1不等式x2的含义是指x不小于2()2若ab或ab之中有一个正确，则ab()3“pq”表示由p成立就能得出q成立()题型一用不等式(组)表示不等关系例1某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本据市场调查，若
2、单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？解提价后销售的总收入为x万元，那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x20(x2.5)反思感悟数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系，思维要严密、规范跟踪训练1(1)雷电的温度大约是28 000 ，比太阳表面温度的4.5倍还要高设太阳表面温度为t ，那么t应满足的关系式是_答案4.5
3、t28 000解析由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5t0，ab0，a3b3a2bab2综上所述，a3b3a2bab2反思感悟比较两个实数的大小，只要观察它们的差就可以了作差法比较实数的大小的一般步骤是作差恒等变形判断差的符号下结论作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式跟踪训练2已知x1，试比较x31与2x22x的大小解(x31)(2x22x)x32x22x1(x3x2)(x22x1)x2(x1)(x1)2(x1)(x2x1)(x1) ，0，x10，(x1) 0，x312x22x命题角度2作差法证明不等式例3证明
4、函数f (x)x3(xR)为增函数证明任取x1，x2R，且x1x2，则f (x1)f (x2)xx(x1x2)(xx1x2x)(x1x2) 因为x1x2，所以x1x20，又2x0，所以(x1x2) 0，即f (x1)f (x2)0，所以f (x1)f (x2)所以函数f (x)x3(xR)为增函数反思感悟有时证明ab不易，可以转为证明其等价命题ab0，因为作差过程中使不等号两端的信息集中到一端，从而可以使用消去、分解因式、配方等方法，使问题变得易于解决跟踪训练3若ab，ab0，求证：证明ab，ba0又ab0，0，即0，1某校对高一美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于3
5、80分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是()A BC D答案D解析“不低于”即“”，“高于”即“”，“超过”即“”，x95，y380，z452已知ab0，bbba Babab Cabba Dabab答案C解析由ab0，知ab，ab0又b0，abba3比较(a3)(a5)与(a2)(a4)的大小解(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，(a3)(a5)0ab；ab0ab；ab0ab.2作差法比较的一般步骤第一步：作差；第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“和”或“积”；第三步：定号，就是确定是大于0，等于0，还是小于0(不确定的要分情况
6、讨论)；最后得结论概括为“三步一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键.一、选择题1一般的人，下半身长x与全身长y的比值在0.570.6之间，用不等式表示为()A0.57 B0.6 C0.570.6 D0.570.6答案D解析在ab之间，即axb2已知a，b分别对应数轴上的A，B两点，且A在原点右侧，B在原点左侧，则下列不等式成立的是()Aab0 Bab|b| Da2b22ab答案D解析a0，b0，而ab的符号不确定，|b|与|a|的大小也不确定；(ab)20，则a2b22ab，故选D.3设xa0，则下列不等式一定成立的是()Ax2axaxa2 Cx2a2a2ax答案B解析x2axx(x
7、a)0，x2ax又axa2a(xa)0，axa2，x2axa24不等式：a222a；a2b22(ab1)；a2b2ab恒成立的个数是()A0 B1 C2 D3答案D解析a222a(a1)210，a222a，对；a2b22(ab1)a22a1b22b1(a1)2(b1)20，对a2b2aba2ab20，对5若A3，B2，则A，B的大小关系是()AAB BAB CAB D不确定答案A解析AB32120AB6已知a1，a2(0,1)，记Ma1a2，Na1a21，则M与N的大小关系是()AMN BM N CMN D不确定答案B解析MNa1a2a1a21(a11)(a21)a1，a2(0，1)，a110
8、，a210，MN0，MN7已知实数a，b，c满足bc64a3a2，cb44aa2，则a，b，c的大小关系为()Aabc Bbca Cbca Dbac答案A解析由cb44aa2(2a)20，得bc，再由bc64a3a2，cb44aa2，得2b22a2，因为1a2a20，所以b1a2a，所以abc二、填空题8b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖(m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_.答案解析变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了9若xR，则与的大小关系为_答案解析010(x5)(x7)与(x6)2的大小关系为_答案(x5)(x7)(x6)2解析因为(x5)(x7)(x6)2
9、x212x35(x212x36)10所以(x5)(x7)(x6)211已知0aN解析0a，ab0，1b0M，Nab1，2ab2，ab2abN三、解答题12设x，y，zR，比较5x2y2z2与2xy4x2z2的大小解5x2y2z2(2xy4x2z2)4x24x1x22xyy2z22z1(2x1)2(xy)2(z1)20，5x2y2z22xy4x2z2，当且仅当xy且z1时取等号13商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：(1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)，若设购买茶杯为x个，付款为y(元)，试
10、分别建立两种优惠办法的y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪一种更省钱？解由优惠办法(1)得y12045(x4)5x60(x4)，由优惠办法(2)得y2(5x204)92%4.6x73.6(x4)y1y20.4x13.6(x4)，令y1y20，得x34，当购买34只茶杯时，两种办法付款相同；当4x34时，y1y2，优惠办法(1)省钱；当x34时，y1y2，优惠办法(2)省钱14已知a，b为正实数，试比较与的大小解()因为a，b为正实数，所以0，0，()20，所以0，所以15规定ABA2B2，ABAB，A，BR，若Mab，Nab，a，bR，判断MN与MN的大小解MNM2N2(ab)2(ab)22a22b2MNMN(ab)(ab)a2b2，MNMN2a22b2(a2b2)a23b20，所以MNMN