《2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第三章 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 Word版含解析.docx（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.1.4空间向量的直角坐标运算学习目标1.了解空间向量坐标的定义.2.掌握空间向量运算的坐标表示.3.能够利用坐标运算来求空间向量的长度与夹角知识点一空间向量的坐标表示1空间直角坐标系及空间向量的坐标建立空间直角坐标系Oxyz，分别沿x轴，y轴，z轴的正方向引单位向量i，j，k，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底i，j，k，这个基底叫做单位正交基底单位向量i，j，k都叫做坐标向量2空间向量的坐标在空间直角坐标系中，已知任一向量a，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a1，a2，a3)，使aa1ia2ja3k，a1i，a2j，a3k分别为向量a在i，j，k方向上的分向量，有序实数
2、组(a1，a2，a3)叫做向量a在此直角坐标系中的坐标上式可简记作a(a1，a2，a3)知识点二空间向量的坐标运算空间向量a，b，其坐标形式为a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3).向量运算向量表示坐标表示加法ab(a1b1，a2b2，a3b3)减法ab(a1b1，a2b2，a3b3)数乘a(a1，a2，a3)数量积aba1b1a2b2a3b3知识点三空间向量的平行、垂直及模、夹角设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则名称满足条件向量表示形式坐标表示形式abab(R)a1b1，a2b2，a3b3(R)abab0a1b1a2b2a3b30模|a|a|夹角cosa，bcosa
3、，b1若axe1ye2ze3，则a的坐标是(x，y，z)()2若向量(x，y，z)，则点B的坐标是(x，y，z)()3若点A的坐标为(x，y，z)，则(x，y，z)()4设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)且b0，则ab.()5四边形ABCD是平行四边形，则向量与的坐标相同()题型一空间向量的坐标表示与运算命题角度1空间向量的坐标表示例1如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E，F，G分别为棱DD，DC，BC的中点，以，为基底，求下列向量的坐标(1)，；(2)，.解(1)，.(2)，.引申探究本例中，若以，为基底，试写出，的坐标解，.反思感悟用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练1
4、设正四棱锥S-P1P2P3P4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求，的坐标解如图所示，建立空间直角坐标系，其中O为底面正方形的中心，P1P2y轴，P1P4x轴，SO在z轴上|P1P2|2，而P1，P2，P3，P4均在xOy平面上，P1(1,1,0)，P2(1,1,0)在xOy平面内，P3与P1关于原点O对称，P4与P2关于原点O对称，P3(1，1,0)，P4(1，1,0)又|SP1|2，|OP1|，在RtSOP1中，|SO|，S(0,0，)(1,1，)，(0，2,0)命题角度2空间向量的坐标运算例2已知a(1，2,1)，ab(1,2，1)，则b等于()A(2，4,2) B(2,4，2
5、)C(2,0，2) D(2,1，3)答案A解析依题意，得ba(1,2，1)a(1，2,1)2(1，2,1)(2，4,2)反思感悟关于空间向量坐标运算的两类问题(1)直接计算问题首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用空间向量坐标运算公式计算(2)由条件求向量或点的坐标首先把向量坐标形式设出来，然后通过建立方程组，解方程求出其坐标跟踪训练2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，且满足条件(ca)(2b)2，则x_.答案2解析由题意，得ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)，故(ca)(2b)2(1x)2，解得x2.题型二空间向量平行、垂直的坐标表示例3已知空间三点A(2
6、,0,2)，B(1,1,2)，C(3,0,4)，设a，b.(1)若|c|3，c，求c；(2)若kab与ka2b互相垂直，求k.解(1)因为(2，1,2)，且c，所以设c(2，2)，得|c|3|3，解得1.即c(2，1,2)或c(2,1，2)(2)因为a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，ka2b(k2，k，4)又因为(kab)(ka2b)，所以(kab)(ka2b)0.即(k1，k,2)(k2，k，4)2k2k100.解得k2或k，故所求k的值为2或.引申探究若将本例(2)中改为“若kab与ka2b互相垂直”，求k的值解由题意知kab(k1，k，2)，ka2b(k2，
7、k,4)，(kab)(ka2b)，(kab)(ka2b)0，即(k1)(k2)k280，解得k2或k，故所求k的值为2或.反思感悟(1)平行与垂直的判断应用向量的方法判定两直线平行，只需判断两直线的方向向量是否共线判断两直线是否垂直，关键是判断两直线的方向向量是否垂直，即判断两向量的数量积是否为0.(2)平行与垂直的应用适当引入参数(比如向量a，b平行，可设ab)，建立关于参数的方程选择坐标形式，以达到简化运算的目的跟踪训练3正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P，Q分别为线段B1D1，BD上的点，且3，若PQAE，求的值考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解如图
8、所示，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体棱长为1，则A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)，由题意，可设点P的坐标为(a，a,1)，因为3，所以3(a1，a1,0)(a，a，0)，所以3a3a，解得a，所以点P的坐标为.由题意可设点Q的坐标为(b，b,0)，因为PQAE，所以0，所以0，即0，解得b，所以点Q的坐标为.因为，所以(1，1,0)，所以1，故4.题型三空间向量的夹角与长度的计算例4棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点(1)求
9、证：EFCF；(2)求与所成角的余弦值；(3)求CE的长解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E，C(0,1,0)，F，G.所以， ，.(1)证明因为00，所以，即EFCF.(2)解因为10，|，|，所以cos，.(3)解|CE|.反思感悟通过分析几何体的结构特征，建立适当的坐标系，使尽可能多的点落在坐标轴上，以便写点的坐标时便捷建立坐标系后，写出相关点的坐标，然后再写出相应向量的坐标表示，把向量坐标化，然后再利用向量的坐标运算求解夹角和距离问题跟踪训练4如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB60，对角线AC与BD相交于点O，PO平面ABCD，PB与平
10、面ABCD所成的角为60.(1)求四棱锥PABCD的体积；(2)若E是PB的中点，求异面直线DE与PA所成角的余弦值解(1)四边形ABCD是边长为2的菱形，且DAB60，OAOC，BOOD1，S菱形ABCD222.在RtPOB中，PBO60，POOBtan 60.VPABCDS菱形ABCDPO22.(2)如图，以O为原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，则B(1,0,0)，C(0，0)，D(1,0,0)，A(0，0)，P(0,0，)E，.00()，|，|.cos，.异面直线所成的角为锐角或直角，异面直线DE与PA所成角的余弦值为.空间向量在平行与垂直中
11、的应用典例如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1)AM平面BDE；(2)AM平面BDF.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量在立体几何中的应用证明(1)平面ABCD平面ACEF，平面ABCD平面ACEFAC，ECAC，所以EC平面ABCD，又BCDC，如图，建立空间直角坐标系，设ACBDN，连接NE，则点N，E的坐标分别为，(0,0,1).又点A，M的坐标分别是，.又NE与AM不共线，NEAM.又NE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDE.(2)由(1)知.D(，0,0)，F(，1)，(0，1)，0，.同理，.又DFBFF，且
12、DF平面BDF，BF平面BDF，AM平面BDF.素养评析解决本题的关键是建立正确、恰当的空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题通过向量的运算，来实现平行与垂直的判定.1已知向量a(3，2,1)，b(2,4,0)，则4a2b等于()A(16,0,4) B(8，16,4) C(8,16,4) D(8,0,4)答案D解析4a2b4(3，2,1)2(2,4,0)(12，8,4)(4,8,0)(8,0,4)2已知向量a(0,2,1)，b(1,1，2)，则a与b的夹角为()A0 B. C. D答案C解析cosa，b0，a，b0，a，b.3若a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,2,2)，则a(bc
13、)的值为()A4 B15 C3 D7答案C解析bc(2,2,5)，a(bc)4653.4已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k的值是()A1 B. C. D.答案D解析依题意得(kab)(2ab)0，所以2k|a|2kab2ab|b|20，而|a|22，|b|25，ab1，所以4kk250，解得k.5已知A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，则向量与的夹角为_答案解析(0,3,3)，(1,1,0)，|3，|，0(1)31303，cos，又，0，.1在空间直角坐标系中，已知点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则(x2x1，y2y1
14、，z2z1)一个向量在空间直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去它的起点坐标2两点间的距离公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|.3空间向量的数量积和夹角有关，经常以空间向量数量积为工具，解决立体几何中与夹角相关的问题，把空间两条直线所成角的问题转化为两条直线对应向量的夹角问题，但要注意空间两条直线所成的角与对应向量的夹角的取值范围一、选择题1在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(1,2,1)，点B的坐标为(1,3,4)，则()A.(1,2,1) B.(1,3,4)C.(2,1,3) D.(2，1，3)答案C解析(2,1,3)2设A(3,
15、3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到C的距离|CM|的值为()A. B. C. D.答案C解析AB的中点M，又C(0,1,0)，所以，故M到C的距离为|CM|.3已知a(1,5，2)，b(m,2，m2)，若ab，则m的值为()A0 B6 C6 D6答案B解析ab，1m522(m2)0，解得m6.4已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于()A3 B2 C. D5答案A解析ab2c(9,3,0)，|ab2c|3 .5若ABC的三个顶点坐标分别为A(1，2,1)，B(4,2,3)，C(6，1,4)，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直
16、角三角形C钝角三角形 D等边三角形答案A解析(3,4,2)，(5,1,3)，(2，3,1)由0，得A为锐角；由0，得C为锐角；由0，得B为锐角所以ABC为锐角三角形6已知向量a(2x,1,3)，b(1，2y,9)，若a与b为共线向量，则()Ax1，y1 Bx，yCx，y Dx，y答案C解析a(2x,1,3)与b(1，2y,9)共线，(y0)，x，y.7设(cos sin ，0，sin )，(0，cos ，0)，则|的最大值为()A3 B. C2 D3答案B解析(cos sin ，cos ，sin )，|2(cos sin )2cos2(sin )22sin 23，|的最大值为.8已知向量a(2
17、，1,2)，b(2,2,1)，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为()A. B. C4 D8答案B解析|a|3，|b|3，cosa，b，sina，b，S|a|b|sina，b.二、填空题9若A(m1，n1,3)，B(2m，n，m2n)，C(m3，n3,9)三点共线，则mn_.答案0解析因为(m1,1，m2n3)，(2，2,6)，由题意得，所以，所以m0，n0，所以mn0.10已知空间三点A(1,1,1)，B(1,0,4)，C(2，2,3)，则与的夹角的大小是_答案解析(2，1,3)，(1,3，2)，7，|，|，cos ，又0，.11已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,2)，则
18、满足DBAC，DCAB的点D的坐标为_答案(1,1,2)解析设点D(x，y，z)，则(x,1y，z)，(1,0,2)，(x，y,2z)，(1,1,0)，因为DBAC，DCAB，所以，则解得所以D(1,1,2)三、解答题12已知向量a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，且ab，bc.(1)求向量a，b，c；(2)求向量ac与向量bc所成角的余弦值考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算解(1)因为ab，所以，且y0，解得x2，y4，此时a(2,4,1)，b(2，4，1)又由bc得bc0，故(2，4，1)(3，2，z)68z0，得z2，此时c(3，2,2)(2)由(1)得，
19、ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，因此向量ac与向量bc所成角的余弦值为cos .13已知直线l1的一个方向向量为s1(1,0,1)，直线l2的一个方向向量为s2(1,2，2)，求直线l1和直线l2夹角的余弦值解s1(1,0,1)，s2(1,2，2)，coss1，s20，s1，s2，直线l1与直线l2的夹角为s1，s2，直线l1与直线l2夹角的余弦值为.14已知O为坐标原点，(1,2,3)，(2,1,2)，(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当取得最小值时，点Q的坐标为()A. B.C. D.考点空间向量运算的坐标表示题点空间向量的坐标运算答案C解析方法一设，则(1，2，32)，(2
20、，1，22)，所以(1，2，32)(2，1，22)2(3285)2.当时，取得最小值，此时点Q的坐标为.方法二设(，2)，其中0，因为2112，观察选项只有C符合15.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB和BC的中点，试在棱B1B上找一点M，使得D1M平面EFB1.解建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B1(1,1,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,1)，E，设M(1,1，m)连接AC，则(1,1,0)而E，F分别为AB，BC的中点，所以.又因为，(1,1，m1)，而D1M平面EFB1，所以D1MEF，且D1MB1E，即0，且0.所以 解得m，即M为B1B的中点