《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.1 椭圆的标准方程 Word版含解析.docx（14页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2.2椭圆2.2.1椭圆的标准方程学习目标1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程.2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形知识点一椭圆的定义1我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距2椭圆的定义用集合语言叙述为：PM|MF1|MF2|2a,2a|F1F2|32a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表：条件结论2a|F1F2|动点的轨迹是椭圆2a|F1F2|动点的轨迹是线段F1F22ab0)F1(c,0)，F2(c,0)2c焦点在y轴
2、上1(ab0)F1(0，c)，F2(0，c)2c2椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系椭圆在坐标系中的位置标准方程1(ab0)1(ab0)焦点坐标F1(c,0)，F2(c,0)F1(0，c)，F2(0，c)a，b，c的关系b2a2c23.根据方程判断椭圆的焦点位置及求焦点坐标判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中x2项和y2项的分母哪个更大一些，即“谁大在谁上”如方程为1的椭圆，焦点在y轴上，而且可求出焦点坐标F1(0，1)，F2(0,1)，焦距|F1F2|2.1到平面内两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆()2椭圆标准方程只与椭圆的形状、大小有关，与位置无关()3椭圆的
3、两种标准形式中，虽然焦点位置不同，但都具备a2b2c2.()题型一椭圆定义的应用例1点P(3,0)是圆C：x2y26x550内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹解方程x2y26x550化成标准形式为(x3)2y264，圆心为(3,0)，半径r8.因为动圆M与已知圆相内切且过P点，所以|MC|MP|r8，根据椭圆的定义，动点M到两定点C，P的距离之和为定值86|CP|，所以动点M的轨迹是椭圆反思感悟椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断曲线是否为椭圆的限制条
4、件跟踪训练1下列命题是真命题的是_(将所有真命题的序号都填上)已知定点F1(1,0)，F2(1,0)，则满足|PF1|PF2|的点P的轨迹为椭圆；已知定点F1(2,0)，F2(2,0)，则满足|PF1|PF2|4的点P的轨迹为线段；到定点F1(3,0)，F2(3,0)的距离相等的点的轨迹为椭圆答案解析b0)又椭圆经过点(0,2)和(1,0)，所以所以所以所求的椭圆的标准方程为x21.(2)因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为1(ab0)，由椭圆的定义知，2a2，即a，又c2，所以b2a2c26，所以所求椭圆的标准方程为1.(3)方法一当椭圆焦点在x轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0
5、)依题意，有解得由ab0，知不合题意，故舍去；当椭圆焦点在y轴上时，可设椭圆的标准方程为1(ab0)依题意，有解得所以所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的方程为mx2ny21(m0，n0，mn)则解得所以所求椭圆的方程为5x24y21，故椭圆的标准方程为1.反思感悟求椭圆标准方程的方法(1)定义法：根据椭圆定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置写出椭圆方程(2)待定系数法：先判断焦点位置，设出标准方程形式，最后由条件确定待定系数即可即“先定位，后定量”当所求椭圆的焦点位置不能确定时，应按焦点在x轴上和焦点在y轴上进行分类讨论，但要注意ab0这一条件(3)当已知椭圆经过两点，求椭圆的标准方程时
6、，把椭圆的方程设成mx2ny21(m0，n0且mn)的形式有两个优点：列出的方程组中分母不含字母；不用讨论焦点所在的位置，从而简化求解过程跟踪训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)椭圆的两个焦点坐标分别为F1(4,0)，F2(4,0)，椭圆上一点P到两焦点的距离之和等于10；(2)椭圆过点(3,2)，(5,1)；(3)椭圆的焦点在x轴上，且经过点(2,0)和点(0,1)解(1)设其标准方程为1(ab0)则2a10，c4，故b2a2c29，所求椭圆的标准方程为1.(2)设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)，则解得故所求椭圆的标准方程为1.(3)设椭圆的标准方程为1(ab0)则
7、解得所求椭圆的标准方程为y21.题型三椭圆中焦点三角形问题例3(1)已知P是椭圆1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且F1PF230，求F1PF2的面积；(2)已知椭圆1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上若|PF1|4，求F1PF2的大小解(1)由椭圆的标准方程，知a，b2，c1，|F1F2|2.又由椭圆的定义，知|PF1|PF2|2a2.在F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|cos 30，即420(2)|PF1|PF2|，|PF1|PF2|16(2)|PF1
8、|PF2|sinF1PF216(2)84.(2)由1，知a3，b，c，|PF2|2a|PF1|2，cosF1PF2，又0F1PF2180，F1PF2120.反思感悟在椭圆中，当椭圆上的点不是椭圆与焦点所在轴的交点时，这个点与椭圆的两个焦点可以构成一个三角形，这个三角形就是焦点三角形这个三角形中一条边长等于焦距，另两条边长之和等于椭圆定义中的常数在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义|MF1|MF2|2a及三角形中的有关定理和公式(如正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等)来求解跟踪训练3已知两定点F1(1,0)，F2(1,0)，动点P满足|PF1|PF2|2|F1F2|.(1)求点P的
9、轨迹方程；(2)若F1PF260，求PF1F2的面积解(1)依题意知|F1F2|2，|PF1|PF2|2|F1F2|42|F1F2|，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的椭圆，且2a4,2c2，a2，c1，b，故所求点P的轨迹方程为1.(2)设m|PF1|，n|PF2|，则mn2a4.在PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2m2n22mncosF1PF2，4(mn)22mn(1cos 60)，解得mn4.mnsinF1PF24sin 60.待定系数法求椭圆的标准方程典例求焦点在坐标轴上，且经过两点(2，)和的椭圆的标准方程考点椭圆标准方程的求法题点待定系数法求椭圆的标准方程解方法一若焦点在x轴
10、上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得所以所求椭圆的标准方程为1.若焦点在y轴上，设椭圆的标准方程为1(ab0)由已知条件得解得则a2b0矛盾，舍去综上可知，所求椭圆的标准方程为1.方法二设椭圆的一般方程为Ax2By21(A0，B0，AB)分别将两点的坐标(2，)，代入椭圆的一般方程，得解得所以所求椭圆的标准方程为1.素养评析通过两种解法的对比，采用第二种设椭圆方程的方法能优化解题过程，减少数学运算，提高解题效率这也正是数学运算策略升级的有力佐证.1椭圆y21上一点P到一个焦点的距离为2，则点P到另一个焦点的距离为()A5 B6 C7 D8考点椭圆的标准方程题点由椭圆的标准方程求焦
11、点、焦距答案D解析设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|PF1|2.结合椭圆定义|PF2|PF1|10，故|PF2|8.2平面内，F1，F2是两个定点，“动点M满足|为常数”是“M的轨迹是椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点与椭圆有关的轨迹方程题点圆与椭圆答案B解析当|为常数且|时，M的轨迹才是椭圆3若方程3x2ky21表示焦点在y轴上的椭圆，则k的可能取值为()A1 B3 C0 D2答案A解析当k1时，原方程可化为1，它表示焦点在y轴上的椭圆，其他选项不合题意4已知椭圆的焦点坐标为(1,0)和(1,0)，点P(2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为(
12、)A.1 B.y21C.1 D.x21答案A解析c1，a()2，b2a2c23，椭圆的方程为1.5设F1，F2是椭圆1的焦点，P为椭圆上一点，则PF1F2的周长为_答案18解析PF1F2的周长为|PF1|PF2|F1F2|2a2c.因为2a10，c4，所以周长为10818.1椭圆的定义式：|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)在解题过程中将|PF1|PF2|看成一个整体，可简化运算2椭圆的定义中要求一动点到两定点的距离和为常数，因而在解决问题时，若出现“两定点”、“距离之和”这样的条件或内容，应考虑是否可以利用椭圆的定义来解决3凡涉及椭圆上的点的问题，首先要考虑它应满足椭圆的定义|MF1|
13、MF2|2a(M为椭圆上的点，F1，F2为椭圆的焦点)，一般进行整体变换，其次要考虑该点的坐标M(x0，y0)是否适合椭圆的方程，然后再进行代数运算.一、选择题1椭圆1的焦距为4，则m等于()A4 B8 C4或8 D12答案C解析当焦点在x轴上时，10mm20，10m(m2)4，m4.当焦点在y轴上时，m210m0，m2(10m)4，m8.m4或8.2已知椭圆5x2ky25的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为()A1 B1 C. D答案B解析原方程可化简为x21，由c214，得k1.3已知椭圆1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是()A.1 B.1Cx21 D.1答案D解析由题意知a22
14、4，a26，所求椭圆的方程为1.4“1m3”是“方程1表示椭圆”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案B解析当方程1表示椭圆时，必有所以1mb0)设焦点F1(c,0)，F2(c,0)(c0)F1AF2A, 0，而(4c,3)，(4c,3)，(4c)(4c)320，c225，即c5. F1(5,0)，F2(5,0)2a|AF1|AF2|4.a2，b2a2c2(2)25215.所求椭圆的标准方程为1.14已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为_答案1解析设A(x1，y1)，B(
15、x2，y2)，代入椭圆方程得相减得0，所以0.因为x1x22，y1y22，kAB.所以0，化为a22b2，又c3，解得a218，b29.所以椭圆E的方程为1.15.如图所示，ABC的底边BC12，其他两边AB和AC上中线的和为30，求此三角形重心G的轨迹方程，并求顶点A的轨迹方程解以BC边所在直线为x轴，BC边中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则B(6,0)，C(6,0)，CE，BD为AB，AC边上的中线，则|BD|CE|30.由重心性质可知，|GB|GC|(|BD|CE|)20.B，C是两个定点，G点到B，C的距离和等于定值20，且2012，G点的轨迹是椭圆，B，C是椭圆焦点，2c|BC|12，c6,2a20，a10，b2a2c21026264，故G点的轨迹方程为1(x10)设G(x，y)，A(x，y)，则有1.由重心坐标公式知故A点轨迹方程为1，即1(x30).