《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.2 第3课时 直线与椭圆的位置关系（二） Word版含解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020版数学人教B版选修2-1学案：第二章 2.2.2 第3课时 直线与椭圆的位置关系（二） Word版含解析.docx（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第3课时直线与椭圆的位置关系(二)题型一弦长问题例1已知动点P与平面上两定点A(，0)，B(，0)连线的斜率的积为定值.(1)试求动点P的轨迹方程C；(2)设直线l：ykx1与曲线C交于M，N两点，当|MN|时，求直线l的方程. 考点题点解(1)设动点P的坐标是(x，y)，由题意得kPAkPB.，化简整理得y21.故P点的轨迹方程C是y21(x)(2)设直线l与曲线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由得(12k2)x24kx0.16k24(12k2)8k240，x1x2，x1x20.|MN|，整理得k4k220，解得k21或k22(舍)k1，经检验符合题意直线l的方程是yx1，即x
2、y10或xy10.反思感悟求弦长的两种方法(1)求出直线与椭圆的两交点坐标，用两点间距离公式求弦长(2)联立直线与椭圆的方程，消元得到关于一个未知数的一元二次方程，利用弦长公式：|P1P2|，其中x1，x2(y1，y2)是上述一元二次方程的两根，由根与系数的关系求出两根之和与两根之积后代入公式可求得弦长跟踪训练1已知斜率为1的直线l过椭圆y21的右焦点F，交椭圆于A，B两点，求弦AB的长考点题点解设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，由椭圆方程知a24，b21，c，F(，0)，直线l的方程为yx，将其代入椭圆方程，并化简、整理得5x28x80，x1x2，x1x2，|AB|x1
3、x2|.题型二中点弦问题例2已知椭圆1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程考点题点解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y1k(x2)将其代入椭圆方程并整理，得(4k21)x28(2k2k)x4(2k1)2160.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1x2.又M为线段AB的中点，2，解得k.故所求直线的方程为x2y40.方法二点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1x2.M(2,1)为线段AB的中点，x1x24，y1y22.又A，B两点在椭圆上，则x4y16，x4y16，两式相
4、减，得(xx)4(yy)0，于是(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0.，即kAB.故所求直线的方程为x2y40.方法三对称点法(或共线法)设所求直线与椭圆的一个交点为A(x，y)，由于点M(2,1)为线段AB的中点，则另一个交点为B(4x,2y)A，B两点都在椭圆上，得x2y40.即点A的坐标满足这个方程，根据对称性，点B的坐标也满足这个方程，而过A，B两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x2y40.反思感悟解决椭圆中点弦问题的两种方法根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决点差法：利用交点在曲线上
5、，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系，具体如下：已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆1(ab0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则由，得(xx)(yy)0，变形得，即kAB.跟踪训练2已知椭圆E：1(ab0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点若AB的中点坐标为(1，1)，则E的方程为()A.1 B.1C.1 D.1考点题点答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则得.x1x22，y1y22，kAB.而kAB，a22b2，c2a2b2b29，bc3，a3，E的方程为1.题型三与椭圆有关的最值或范围问
6、题例3已知椭圆C：4x2y21.(1)P(m，n)是椭圆C上一点，求m2n2的取值范围；(2)设直线yxm与椭圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求AOB面积的最大值及AOB面积最大时的直线方程考点直线与椭圆的位置关系题点椭圆中的定点、定值、取值范围问题解(1)m2n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方，则m2n2.(2)可求得O到AB的距离d，将yxm代入4x2y21，消去y得5x22mxm210.所以x1x2，x1x2，|AB|，(2m)245(m21)2016m20，mb0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜
7、率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且|DP|DQ|，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程解(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2)由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y得2，m1或m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2)将ykx2代入y21，得(3k
8、21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的两个相异实根设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2，由|DP|DQ|，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均使方程(*)没有两相异实根故这样的k不存在素养评析本例(2)(3)均采用了“设而不求”的数学运算策略，特别(3)利用定点D与弦端点的几何关系，由设而不求的思想方法，转换成坐标关系，构造出关于k的方程，减小了数学运算的难度，提高了解题效率.1若直线l：2xby30过椭圆C：10x2y210的一个焦点，则b等于()A1 B1 C1 D2考点题点答案B解析因为椭圆x21的焦点F1(0，3)，F2(0,3)，所以b1或1.2
9、直线yx1被椭圆1所截得的弦的中点坐标是()A. B.C. D.考点题点答案C解析联立消去y，得3x24x20，设直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，故AB的中点横坐标x0.纵坐标y0x011.3已知椭圆的方程是x22y240，则以M(1,1)为中点的弦所在直线的方程是()Ax2y30 B2xy30Cx2y30 D2xy30考点直线与椭圆的位置关系题点求椭圆中的直线方程答案A解析由题意易知所求直线的斜率存在，设过点M(1,1)的直线方程为yk(x1)1，即ykx1k.由消去y，得(12k2)x2(4k4k2)x2k24k20，所以1，解得k，所以所求直线方程为yx，
10、即x2y30.4过椭圆1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A，B两点，以AB为直径的圆的面积是_考点题点答案解析由题意可知，在1中，c，故F(，0)当x时，y3，所以|AB|，所以以AB为直径的圆的面积是2.5求过点(3,0)且斜率为的直线被椭圆1所截得的线段的长度考点题点解过点(3,0)且斜率为的直线方程为y(x3)，设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线方程代入椭圆方程得1，即x23x80.x1x23，x1x28.|AB|.解决直线与椭圆的位置关系问题，经常利用设而不求的方法，解题步骤为：(1)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)；(2)联立直
11、线与椭圆的方程；(3)消元得到关于x或y的一元二次方程；(4)利用根与系数的关系设而不求；(5)把题干中的条件转化为x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，进而求解一、选择题1斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.答案C解析设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，当t0时，|AB|max.2已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过椭圆中心的一条弦，则ABF面积的最大值为()A6 B15 C20 D12考点题点答案D解析S|OF
12、|y1y2|OF|2b12.3已知F1为椭圆C：y21的左焦点，直线l：yx1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|F1B|的值为()A. B. C. D.考点题点答案C解析由联立得3x24x0，可知A(0，1)，B，又F1(1,0)，|F1A|F1B|.4椭圆mx2ny21与直线y1x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A. B. C. D.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时弦中点问题答案A解析联立方程组可得即(mn)x22nxn10，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，则x0，y01x01，所以kOP.5已知直线yx1与
13、椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A. B2 C. D.考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案D解析由题意得椭圆方程为y21，联立化简得3x24x0，得x0或x，代入直线方程得或不妨设A(0,1)，B，所以|AB|.6经过椭圆y21的一个焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A，B两点设O为坐标原点，则等于()A3 BC或3 D考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交的其他问题答案B解析由y21，得a22，b21，c2a2b21，焦点为(1,0)不妨设直线l过右焦点，倾斜角为45，直线l的方程为yx1.代入y21得x22
14、(x1)220，即3x24x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x20，x1x2，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)11，所以x1x2y1y20.7设斜率为的直线l与椭圆1(ab0)交于不同的两点，且这两个交点在x轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为()A. B. C. D.考点题点答案C解析两个交点横坐标是c，c，所以两个交点分别为，代入椭圆方程得1，两边乘以2a2b2，则c2(2b2a2)2a2b2，b2a2c2，c2(3a22c2)2a42a2c2，2a45a2c22c40，(2a2c2)(a22c2)0，2或，0e1，e.二、填空题8过椭圆1的右
15、焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交求弦长与三角形面积答案解析由已知可得直线方程为y2x2，|OF|1，联立方程得解得A(0，2)，B，所以SAOB|OF|yAyB|.9已知椭圆1(0bb0)的一条弦所在的直线方程是xy50，弦的中点是M(4,1)，则椭圆的离心率是_考点题点答案解析设直线xy50与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x28，y1y22，直线AB的斜率k1.由两式相减得0，1，故椭圆的离心率e.11已知P(1,1)为椭圆1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的
16、直线方程为_答案x2y30解析方法一易知此弦所在直线的斜率存在，所以设其方程为y1k(x1)，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)由消去y得，(2k21)x24k(k1)x2(k22k1)0，x1x2，又x1x22，2，解得k.故此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.方法二易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1，1，得0，x1x22，y1y22，y1y20，k.此弦所在的直线方程为y1(x1)，即x2y30.三、解答题12已知椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，经过点
17、F1的一条直线与椭圆交于A，B两点(1)求ABF2的周长；(2)若直线AB的倾斜角为，求弦长|AB|.考点题点解(1)椭圆1，a2，b，c1，由椭圆的定义，得|AF1|AF2|2a4，|BF1|BF2|2a4，又|AF1|BF1|AB|，ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|4a8.(2)由(1)可得F1(1,0)，AB的倾斜角为，则AB的斜率为1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，故直线AB的方程为yx1，由整理得7y26y90，由根与系数的关系得y1y2，y1y2，则由弦长公式|AB|.13椭圆ax2by21与直线xy10相交于A，B两点，C是线段AB的中点，O为坐标原点，若|AB|
18、2，直线OC的斜率为，求椭圆的方程考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交时弦中点问题解易知a0，b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由题意得axby1，axby1，得a(x1x2)(x2x1)b(y2y1)(y2y1)0.kAB1，kOC，ba.又|AB|x2x1|x2x1|2，|x2x1|2.由得(ab)x22bxb10，x1x2，x1x2，|x2x1|2(x1x2)24x1x2244，将ba代入上式，得a，b，所求椭圆的方程为y21.14已知动点P(x，y)在椭圆1上，若点A的坐标为(3,0)，|1，且0，则|的最小值是_考点直线与椭圆的位置关系题点直线与椭圆相交的其他问题答
19、案解析由|1，A(3,0)，知点M在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上运动，0且P在椭圆上运动，PMAM，即PM为A的切线，连接PA(如图)，则|，当|minac532时，|min.15已知点P是圆O：x2y21上任意一点，过点P作PQy轴于点Q，延长QP到点M，使.(1)求点M的轨迹E的方程；(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求AOB面积的最大值解(1)设M(x，y)，P为QM的中点，又有PQy轴，P，点P是圆O：x2y21上的点，2y21，即点M的轨迹E的方程为y21.(2)由题意可知直线l与y轴不垂直，故可设l：xtym，tR，A(x1，y1)，B(x2，y2)，l与圆O：x2y21相切，1，即m2t21，由消去x，并整理得(t24)y22mtym240，其中4m2t24(t24)(m24)480，y1y2，y1y2.|AB|，将代入上式得|AB|，|m|1，SAOB|AB|11，当且仅当|m|，即m时，等号成立，AOB面积的最大值为1.