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1、第25练 高考大题突破练导数基础保分练1已知函数f(x)axx2xlnab(a，bR，a1)，e是自然对数的底数(1)当ae，b4时，求函数f(x)的零点个数；(2)若b1，求f(x)在1,1上的最大值2(2019江苏省部分重点高中联考)已知函数f(x)x2alnx.(1)当a0，使f(x)0成立，求a的取值范围；(2)令g(x)f(x)(a1)x，a(1，e，证明：对x1，x21，a，恒有|g(x1)g(x2)|2.能力提升练4已知函数f(x)xlnx和g(x)m(x21)(mR)(1)当m1时，求方程f(x)g(x)的实根；(2)若对任意的x(1，)，函数yg(x)的图象总在函数yf(x)
2、图象的上方，求m的取值范围；(3)求证：ln(2n1)(nN*)答案精析1解(1)f(x)exx2x4，所以f(x)ex2x1，所以f(0)0，当x0时，ex1，所以f(x)0，故f(x)是(0，)上的增函数，当x0时，ex1，所以f(x)0，故f(x)是(，0)上的减函数，f(1)e40，所以存在x1(1,2)是f(x)在(0，)上的唯一零点，f(2)20，f(1)20时，由a1，可知ax10，ln a0，所以f(x)0，当x1，可知ax10，所以f(x)1)，因为g(x)120，所以g(x)在(1，)上单调递增，而g(1)0，所以当x1时，g(x)0，即a1时，a2ln a0，所以f(1)
3、f(1)所以f(x)在1,1上的最大值为f(1)aln a.2(1)解当a0，使f(x)0成立，aln0，ae，a的取值范围为(，e(2)证明对x1，a，g(x)0，g(x)在1，a内单调递减，|g(x1)g(x2)|g(1)g(a)a2aln a.要证明|g(x1)g(x2)|1，只需证明a2aln a1，即证明aln a0，h(a)aln a在a(1，e是单调递增函数，h(a)h(e)10，当0x0；当x1时，f(x)0，故当a0时，函数f(x)在x1处取得极大值，极大值f(1)1，无极小值(2)当a0时，由(1)知f(x)在x1处取得极大值，且f(1)1，当x0时，f(x)，又f(2)l
4、n 220，解得a2.当1a0时，若0x0；若1x，则f(x)，则f(x)0，则f(x)在x1处取得极大值，在x处取得极小值，由于f(1)10，则f(x)仅有一个零点当a1时，f(x)0，则f(x)仅有一个零点当a1时，若0x0；若x1，则f(x)1，则f(x)0，则f(x)在x1处取得极小值，在x处取得极大值，由于fln(a)10，则f(x)仅有一个零点综上，f(x)有两个相异零点时，a的取值范围是(2，)两零点分别在区间(0,1)和(1,2)内，不妨设0x11x22，需证明x22x1，又由(1)知f(x)在(1，)上单调递减，故只需证明f(2x1)f(x2)0即可f(2x1)ln(2x1)
5、(2x1)2(a1)(2x1)ln(2x1)x(a1)x12.又f(x1)ln x1x(a1)x10，所以f(2x1)ln(2x1)ln x12x12，令h(x)ln(2x)ln x2x2(0x1)，则h(x)2h(1)0，即f(2x1)0，所以x1x20.4(1)解当m1时，f(x)g(x)，即xlnxx21(x0)，所以方程即为lnxx0.令h(x)lnxx(x0)，则h(x)10，所以h(x)在(0，)上单调递减，而h(1)0，故方程f(x)g(x)有唯一的实根x1.(2)解对于任意的x(1，)，函数yg(x)的图象总在函数yf(x)图象的上方，即对x(1，)，f(x)g(x)，即lnx1)，即对x(1，)，F(x)0，F(x)F(1)0，这与题设F(x)0，方程mx2xm0的判别式14m2，当0，即m时，F(x)0，F(x)在(1，)上单调递减，F(x)0，即0m时，方程mx2xm0有两个实根，设两根为x1，x2且x1x2，则方程有两个正实根且0x110，F(x)单调递增，F(x)F(1)0，与题设矛盾综上所述，实数m的取值范围是.(3)证明由(2)知，当x1，m时，lnx1(kN*)，ln，即ln(2k1)ln(2k1)ln(2n1)(nN*)