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1、选修22学期综合测评(一)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分150分，考试时间120分钟第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1曲线y在点(1，1)处的切线方程为()Ay2x1 By2x1Cy2x3 Dy2x2答案A解析易知点(1，1)在曲线上，且y，切线斜率ky|x12.由点斜式得切线方程为y12(x1)，即y2x1.2若复数z满足z(2i)117i(i为虚数单位)，则z为()A35i B35iC35i D35i答案A解析由z(2i)117i得，z35i.3定积分dx的值为()A.ln 2 B.C3ln 2 D.答案A解析dxdxdxxd
2、xlnx ln2ln 12212ln 2.4如图是某年元宵花灯展中一款五角星灯连续旋转闪烁所成的三个图形，照此规律闪烁，下一个呈现出来的图形是()答案A解析观察图形可知，下一个呈现出来的图形是A选项中的图形5已知函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则()A函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点答案A解析根据极值的定义及判断方法，检查f(x)的零点左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个点处取得极小值；
3、如果左右都是正，或者左右都是负，那么f(x)在这个点处不是极值由此可见，x2是函数f(x)的极大值点，x3是极小值点，x1，x4不是极值点6曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2 B2e2 Ce2 D.答案D解析f(x)ex，曲线在点(2，e2)处的切线的斜率为kf(2)e2，切线方程为ye2e2(x2)，即e2xye20，切线与x轴和y轴的交点坐标分别为A(1,0)，B(0，e2)，则切线与坐标轴围成的OAB的面积为1e2.7给出下面类比推理的命题，其中类比结论正确的是()A“若a，bR，则a2b20a0且b0”类比推出“若z1，z2C，则zz0z10且
4、z20”B“若a，bR，则ab0ab”类比推出“若z1，z2C，则z1z20z1z2”C“若xR，则|x|11x1”类比推出“若zC，则|z|11z1”D“若a，b，c，dR，则复数abicdiac，bd”类比推出“若a，b，c，dQ，则abcdac，bd”答案D解析对A，若z1，z2为虚数，由zz0不能推出z10且z20，如z11i，z21i，zz0，但z10，z20.同理B，C也不正确，D正确8若函数f(x)(a0)在1，上的最大值为，则a的值为()A.1 B. C. D.1答案D解析f(x)，当x时， f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，令f(x)
5、，1，不合题意f(x)maxf(1)，a1，故选D.9已知结论：“在正三角形ABC中，D为BC边的中点，G为ABC的重心，则2”，若把该结论推广到空间则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD中，若BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则等于()A1 B2 C3 D4答案C解析面的重心类比几何体的重心，平面类比空间，2，类比3，故选C.10下面为函数yxsinxcosx的递增区间的是()A. B(，2)C. D(2，3)答案C解析yxcosx，当x时，cosx0，y0，f(x)在上是增函数11已知定义在R上的奇函数f(x)，设其导数为f(x)，当x(，0时，恒有xf(x)f(
6、x)，令F(x)xf(x)，则满足F(3)F(2x1)的实数x的取值范围为()A(1,2) B.C. D(2,1)答案A解析x(，0时，f(x)是奇函数，且xf(x)f(x)f(x)，xf(x)f(x)0，又F(x)xf(x)f(x)，F(x)在(，0上是减函数，又F(x)xf(x)是偶函数，故F(x)在0，)上是增函数，所以F(3)F(2x1)F(|2x1|)，|2x1|3，1x2，故x的取值范围是(1,2)12已知函数f(x)x3ax2bxc，且0f(1)f(2)f(3)3，则()Ac3 B3c6C69答案C解析由题意，不妨设g(x)x3ax2bxcm，m(0,3，则g(x)的三个零点分别
7、为x13，x22，x31，因此有(x1)(x2)(x3)x3ax2bxcm，则cm6，因此cm6(6,9第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13已知函数f(x)x3x2bxc的图象上至少存在一点使曲线f(x)在该点处的切线与直线y1平行，则b的取值范围是_答案解析由题意知，存在x使f(x)3x2xb0，故112b0，得b.14已知a是实数，是纯虚数，则a等于_答案1解析，即a1.15|sinx|dx_.答案4解析|sinx|dxsinxdx(sinx)dxcosx11114.16某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的产品，其中第1堆只有一层
8、，就一个球；第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按下图所示方式固定摆放，其余堆类推，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)_，f(n)_(用含n的式子表示)答案10解析设第n堆第一层乒乓球数为g(n)，则g(1)1，g(2)12，g(3)123，则g(n)123n.所以f(3)g(1)g(2)g(3)1(12)(123)10.f(n)g(1)g(2)g(3)g(n)(121)(222)(n2n)(1222n2)(123n).三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(本小题满分10分)(1)计算2；(2)复数zxy
9、i(x，yR)满足z2i3i，求复数z.解(1)原式iii.(2)(xyi)2i(xyi)3i，即(x2y)(2xy)i3i，即解得zi.18(本小题满分12分)设a，b，c均为大于1的正数，且ab10，求证：logaclogbc4lg c.证明证法一：ab10，lg alg blg (ab)1，则logaclogbc.a1，b1，lg a0，lg b0，则lg alg b2，4，又c1，lg c0.4lg c，即logaclogbc4lg c.证法二：要证logaclogbc4lg c，只需证4lg c.又因为c1，所以lg c0，故只需证4，即证4.又因为ab10，所以lg alg blg
10、 (ab)1，故只需证4.又因为lg a0，lg b0，所以0lg alg b22，则4成立所以原不等式成立，即logaclogbc4lg c.19(本小题满分12分)已知函数f(x)xaln x(aR)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值解函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)1.(1)当a2时，f(x)x2ln x，f(x)1(x0)所以f(1)1，f(1)1.所以曲线yf(x)在点A(1，f(1)处的切线方程为y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1(x0)知，当a0时，f(x)0，函数f(x)为(0，)上的增函数，函数f(x
11、)无极值当a0时，由f(x)0，得xa.当x(0，a)时，f(x)0；当x(a，)时，f(x)0，从而函数f(x)在xa处取得极小值，且极小值为f(a)aaln a，无极大值综上可得，当a0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在xa处取得极小值aaln a，无极大值20(本小题满分12分)某厂生产产品x件的总成本c(x)1200x3(万元)，已知产品单价P(万元)与产品件数x满足：P2，生产100件这样的产品单价为50万元(1)设产量为x件时，总利润为L(x)(万元)，求L(x)的解析式；(2)产量x定为多少件时总利润L(x)(万元)最大？并求最大值(精确到1万元)解(1)由题意有5
12、02，解得k25104，P .总利润L(x)x12005001200(x0)(2)由(1)得L(x)x2，令L(x)0x2，令t，得t4t51252555，t5，于是xt225，则x25，所以当产量定为25时，总利润最大这时L(25)416.725001200883.答：产量x定为25件时总利润L(x)最大，约为883万元21(本小题满分12分)设数列an满足an1anan1，n1,2,3，.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a13时，证明对所有的n1，有ann2.解(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3
13、a315，由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1)(2)证明：当n1时，a1312，不等式成立假设当nk(k1)时不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3.即nk1时，ak1(k1)2.由可知，对n1，都有ann2.22(本小题满分12分)已知函数f(x)ln x.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)0时，由于x(0，)，可得f(x)0，故f(x)为定义域(0，)上的增函数(2)由f(x)x2，ax2在(1，)上恒成立x1，x21，a1，即所求a的取值范围是1，)(3)解f(x)0，得xa.当ae，即ae时，xaxe0，得f(x)0，此时函数f(x)在1，e上是减函数f(x)minf(e)ln e，解得ae，与ae矛盾，舍去当a1，即a1时，xax10.得f(x)0，此时函数f(x)在1，e上是增函数，f(x)minf(1)ln 1，解得a，与a1矛盾，舍去当1ae，即a(e，1)时，此时函数f(x)在(1，a)内单调递减，在(a，e)内单调递增当xa时，函数f(x)在1，e上取得极小值，也就是最小值为f(a)ln (a)，解得a，满足(e，1)，a.综上所述，所求a的值为.