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1、 知识系统整合 规律方法收藏1直线的参数方程直线的参数方程可以从它的普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为yy0k(xx0)，其中ktan，为直线的倾斜角，代入上式得，yy0(xx0)，即记上式的比值为t，整理后得(t为参数)2圆的参数方程若圆心在点M0(x0，y0)，半径为r，则圆的参数方程为(为参数)3椭圆的参数方程若椭圆的中心不在原点，而在点M0(x0，y0)，相应的椭圆1的参数方程为(t为参数)4双曲线的参数方程双曲线1的参数方程是(为参数)5抛物线的参数方程抛物线y22px的参数方程是(t为参数)6渐开线的参数方程圆的渐开线的参数方程为(为参数)7摆线的参数方程圆的摆线的参数方程为(
2、为参数) 学科思想培优一、参数方程的求法(1)建立直角坐标系，设曲线上任一点P坐标为(x，y)；(2)选取适当的参数；(3)根据已知条件和图形的几何性质，物理意义，建立点P坐标与参数的函数式；(4)证明这个参数方程就是所要求的曲线的方程例1过点P(2，0)作直线l与圆x2y21交于A，B两点，设A，B的中点为M，求M的轨迹的参数方程解设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为xty2由消去x得(1t2)y24ty30y1y2，则yxty22，由(4t)212(1t2)0得t23M的轨迹的参数方程为(t为参数且t23)【跟踪训练1】已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x
3、轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系点M的直角坐标为(1，0)，曲线C的极坐标方程为(1)求点M的极坐标(0，00所以直线l的参数方程为(t为参数)二、参数方程与普通方程的互化参数方程是用第三个变量(即参数)，分别表示曲线上任一点M的坐标x，y的另一种曲线方程的形式，它体现了x，y之间的一种关系，这种关系借助于中间桥梁参数有些参数具有物理或几何意义，在解决问题时，要注意参数的取值范围在参数方程与普通方程的互化中，要注意参数方程与普通方程应是等价的，即它们所表示的应是同一条曲线例2将参数方程(t为参数)化为普通方程解由xt1得t(x1)，代入yt21，得y(x1)21，即为所求普通方
4、程【跟踪训练2】参数方程表示的曲线是什么？解化为普通方程是：x2y225，0x5，5y5表示以(0，0)为圆心，5为半径的右半圆三、直线与圆的参数方程求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义，求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程，根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题例3求直线(t为参数)被曲线(为参数)截得的弦长解直线的普通方程为xy10，曲线即圆心为(1，1)，半径为4的圆，则圆心(1，1)到直线xy10的距离d设直线被曲线截得的弦长为t，则t2，直线被曲线截得的弦长为【跟踪训练3】在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x
5、轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为2cos，(1)求C的参数方程；(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：yx2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标解(1)C的普通方程为(x1)2y21(0y1)可得C的参数方程为(t为参数，0t)(2)设D(1cost，sint)由(1)知C是以G(1，0)为圆心，1为半径的上半圆因为C在点D处的切线与l垂直，所以直线GD与l的斜率相同，tant，t故D的直角坐标为，即四、圆锥曲线的参数方程能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程，并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题例4已知点P(3，2)平分抛物线y
6、24x的一条弦AB，求弦AB的长解设弦AB所在的直线方程为(t为参数)，代入方程y24x整理得t2sin24(sincos)t80点P(3，2)是弦AB的中点，由参数t的几何意义可知，方程的两个实根t1、t2满足关系t1t20，sincos0，0，|AB|t1t2| 8【跟踪训练4】在双曲线x22y22上求一点P，使它到直线xy0的距离最短，并求这个最短距离解设双曲线y21上一点P(sec，tan)02，且，则它到直线xy0的距离为d于是d2，化简，得(12d2)sin22sin2(1d2)0sin是实数，(2)28(12d2)(1d2)0，d当d时，sin，或，这时x02，y01或x0sec
7、2，y0tan1故当双曲线上的点P为(2，1)或(2，1)时，它到直线xy0的距离最小，这个最小值为五、极坐标、参数方程与普通方程的综合应用极坐标、参数方程与普通方程的综合试题是热点与重点，掌握好极坐标方程与普通方程、参数方程与普通方程的互化是解题的关键点例5在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin，cos2(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值解(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40解得或所以
8、C1与C2交点的极坐标为，(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0，2)，(1，3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20由参数方程可得yx1所以解得【跟踪训练5】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系已知点A的极坐标为，直线的极坐标方程为cosa，且点A在直线上(1)求a的值及直线的直角坐标方程；(2)圆C的参数方程为(为参数)，试判断直线与圆的位置关系解(1)由点A在直线cosa上，可得a所以直线的方程可化为cossin2，从而直线的直角坐标方程为xy20(2)由已知得圆C的直角坐标方程为(x1)2y21，所以圆心为(1，0)，半径r1，圆心到直线的距离d1，所以直线与圆相交1参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式某些曲线上点的坐标，用普通方程描述它们之间的关系比较困难，甚至不可能，列出的方程既复杂又不易理解，而用参数方程来描述曲线上点的坐标的间接关系比较方便，学习参数方程有助于进一步体会数学方法的灵活多变，提高应用意识和实践能力2参数方程、极坐标方程是解析几何曲线方程的另外两种巧妙的表达形式，解题时要善于根据解题的需求将参数方程与普通方程进行互化，达到方便解题的目的，同时注意参数的范围