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1、三 数列中的高考热点问题 命题解读数列在数学中既具有独立性，又具有较强的综合性，是初等数学与高等数学的一个重要衔接点，从近五年全国卷高考试题来看，本专题的热点题型有：一是等差、等比数列的综合问题；二是数列的通项与求和；三是数列与不等式的交汇，难度中等等差、等比数列的基本运算解决等差、等比数列的综合问题，关键是理清两种数列的项之间的关系，并注重方程思想的应用，等差(比)数列共涉及五个量a1，an，Sn，d(q)，n，“知三求二”【例1】(2016天津高考)已知an是等比数列，前n项和为Sn(nN*)，且，S663.(1)求an的通项公式；(2)若对任意的nN*，bn是log2an和log2an1
2、的等差中项，求数列(1)nb的前2n项和解(1)设数列an的公比为q.由已知，有，解得q2或q1.又由S6a163，知q1，所以a163，得a11.所以an2n1.(2)由题意，得bn(log2anlog2an1)(log22n1log22n)n，即bn是首项为，公差为1的等差数列设数列(1)nb的前n项和为Tn，则T2n(bb)(bb)(bb)b1b2b3b4b2n1b2n2n2.规律方法1.若an是等差数列，则ban(b0，且b1)是等比数列；若an是正项等比数列，则logban(b0，且b1)是等差数列2对等差、等比数列的综合问题，应重点分析等差、等比数列项之间的关系，以便实现等差、等比
3、数列之间的相互转化 (2019南昌模拟)已知各项均为正数且递减的等比数列an满足：a3，a4，2a5成等差数列，前5项和S531.(1)求数列an的通项公式；(2)若等差数列bn满足b1a41，b2a31，求数列abn的前n项和解(1)由a3，a4，2a5成等差数列得3a4a32a5，设an的公比为q，则2q23q10，解得q或q1(舍去)，所以S531，解得a116.所以数列an的通项公式为an16.(2)设等差数列bn的公差为d，由b1a41，b2a31得b11，da3a4422，所以bn2n1，abn，数列abn的前n项和Tn.数列的通项与求和数列的通项与求和是高考的必考题型，求通项属于
4、基本问题，常涉及等差、等比数列的定义、性质、基本量的运算；求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择适当的求和方法常考的求和方法有：公式法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法等【例2】(本小题满分12分)(2019青岛模拟)已知等差数列an，公差d2，S1，S2，S4成等比数列(1)求an；(2)令bn(1)n，求bn的前n项和Tn.信息提取看到条件中S1，S2，S4成等比数列，想到SS1S4；看到(2)中(1)n想到n为偶数和奇数两种情况规范解答(1)S1，S2，S4成等比数列SS1S4，1分(2a12)2a1，解得a11，3分an12(n1)2n1.4分(2)bn(1)n(1)n(1)n.6
5、分当n为偶数时，bn的前n项和Tn1，8分当n为奇数时，bn的前n项和Tn1.11分故Tn12分易错与防范易错误区：(1)在解答第(2)问时，不会处理bn的表达式；(2)求Tn时，没有对n进行分类讨论，导致解答错误防范措施：(1)对于常见式子的裂项要心中有数，要根据分子的结构特征来确定裂成两项之和还是两项之差(2)出现(1)n求和时，一般要分n为奇数和偶数两种情况通性通法(1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息(2)根据数列的特点选择合适的求和方法，常用的求和方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等 已知递增数列an的前n项和Sn满足Sn1an1Sn2
6、an(nN*且n2)，且a2a421，a1a510.(1)证明：数列an是等差数列，并求其通项公式；(2)若bn，试求数列bn的前n项和Tn.解(1)由Sn1an1Sn2an可得Sn1Sn2anan1，an1ananan1(n2)不妨令anan1d(n2)，易知d0，数列an是首项为a1，公差为d的等差数列又a2a421，a1a510，解得或又d0，故ana1(n1)d2n1.(2)由(1)知，an2n1，bn，Tn1.数列与不等式的交汇问题【例3】(2019哈尔滨模拟)已知数列an满足a13，an12ann1，数列bn满足bnann.(1)证明：数列bn为等比数列；(2)若数列cn满足cn，
7、且数列cn的前n项和为Tn，求证：Tn.证明(1)an12ann1，an1(n1)2(ann)，即bn12bn.又b1a112，数列bn是以2为首项、2为公比的等比数列(2)由(1)知，bn22n12n，cn.Tn.规律方法解决数列与不等式的综合问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等；如果是解不等式问题要使用不等式的各种不同解法，如列表法、因式分解法等总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了 (2019贵州模拟)已知数列an满足2an1an2an(nN*)，且a3a720，a2a514.(1)求数列an的通项公式；(2)设bn，
8、数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn.解(1)由2an1an2an得an为等差数列设等差数列an的公差为d，由a3a720，a2a514，解得d2，a12，数列an的通项公式为an2n.(2)证明：bn ，Sn，故当nN*，Sn.大题增分专训1(2017北京高考)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11，a2a410，b2b4a5.(1)求an的通项公式；(2)求和：b1b3b5b2n1.解(1)设等差数列an的公差为d.因为a2a410，所以2a14d10，解得d2，所以an2n1.(2)设等比数列bn的公比为q，因为b2b4a5，所以b1qb1q39，解得q23，所以b2n1b1q2n
9、23n1.从而b1b3b5b2n113323n1.2已知数列an是等差数列，满足a11，公差d0，且aa2a22.(1)求数列an的通项公式；(2)设数列cn对任意正整数n均有an1成立，其中bn4n1，求数列cn的前n项和Sn.解(1)因为a21d，a615d，a22121d，所以(15d)2(1d)(121d)，结合公差d0，得d3，所以an1(n1)33n2.(2)因为an1，所以当n2时，an，两式作差可得，an1an3，所以cn3bn34n1(n2)当n1时，c1b1a24，故cn于是，当n2时，Sn434134234n143(41424n1)434n，当n1时，S14.综上，Sn4n.3(2019蒲田模拟)已知等差数列an的公差d0，其前n项和为Sn，若S312，且2a1，a2,1a3成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)记bn(nN*)，且数列bn的前n项和为Tn，证明：Tn.解(1)依题意，得即整理得d2d120.d0，d3，a11.数列an的通项公式ana1(n1)d13(n1)3n2.(2)证明：bn，Tnb1b2b3bn.nN*，0，故Tn.又Tn为递增数列，当n1时，取最小值，故Tn.