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1、问题5应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析 利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意.二、经验分享(1) 三角函数值域的不同求法利用sin x和cos x的值域直接求；把所给的三角函数式变换成yAsin(x)的形式求值域；通过换元,转换成二次函数求值域(2)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数
2、单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错(3)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解(4)对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断(5)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式：yAsin(x)和yAcos(x)的最小正周期为,ytan(x)的最小正周期为.(
3、6)图象变换：由函数ysin x的图象通过变换得到yAsin(x)的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”(8)求yAsin(x)B(A0,0)解析式的步骤求A,B,确定函数的最大值M和最小值m,则A,B.求,确定函数的周期T,则.求,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入ii.五点法：确定值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为x0；“第二点”(即图象的“峰点”)为x；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为x；“第四点”(即图象的“
4、谷点”)为x；“第五点”为x2.三、知识拓展1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若f(x)Asin(x)(A,0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是k(kZ)；(2)f(x)为奇函数的充要条件是k(kZ)3由ysin x到ysin(x)(0,0)的变换：向左平移个单位长度而非个单位长度4函数yAsin(x)的对称轴由xk,kZ确定；对称中心由xk,kZ确定其横坐标四、题型分析(一) 与函数最值相关的问题【例1】已知函数（1）求函数的最小正周期与单
5、调递增区间；（2）若时,函数的最大值为0,求实数的值【分析】（1）化为,可得周期,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而的最大值为,解得.【解析】（1）,则函数的最小正周期,根据,得,所以函数的单调递增区间为,（2）因为,所以,则当,时,函数取得最大值0,即,解得【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求yAsin(x)B的最值；或化为关于sinx(或cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.【小试牛刀】【江苏省启东中学2018届高三上学期第二次月考】若方程在上有且只
6、有两解，则实数的取值范围_【答案】【解析】 所以当时， 与 只有一个交点，当时，方程解所以要使方程在上有且只有两解，实数的取值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例2】已知0,函数f(x)sin在上单调递减,则的取值范围是_【分析】根据ysinx在上递减,列出关于的不等式组【解析】由x,0得,x,又ysinx在上递减,所以解得.【答案】【点评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,
7、将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”；求形如yAsin(x)或yAcos(x)(其中0)的单调区间时,要视“x”为一个整体,通过解不等式求解但如果0,那么一定先借助诱导公式将化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解【小试牛刀】【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是_【答案】【解析】由题意得，所以 5 (三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围【例3】已知函数(1)若函数的图像关于直线对称,求a的最小值;(2)若存在使成立,求实数m的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公
8、式进行化简,然后利用辅助角公式将化为,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出的最小值即可；(2)根据的范围求出的范围,再结合正弦函数单调性求出函数f(x0)的值域,从而可求出m的取值范围【解析】(1)首先将函数的解析式化简为：,又因为函数的图像关于直线对称,所以,即,又因为,所以的最小值为(2) 故 【点评】对于函数yAsin(x),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线xx0或点(x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验f(x0)的值进行判断【小试牛刀】【2018届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数的图象向左平移个单位,所得的图象关
9、于轴对称,则的最小值是 【答案】【解析】函数的图象向左平移个单位,得到图象关于轴对称,即,解得,又,当时, 的最小值为. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数的取值或范围.【例4】已知不等式对于恒成立,则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为,所以原不等式等价于在恒成立因为,所以,所以,故选B【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决具体转化思路为：若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上的最
10、小值大于；若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上最大值小于【小试牛刀】【2018届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数,若对任意的实数,都存在唯一的实数,使,则实数的最小值是_【答案】【解析】函数,若对任意的实数,则：f（）,0,由于使f（）+f（）=0,则：f（）0, ,=,所以：实数m的最小值是故答案为： (五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例5】已知是椭圆和双曲线的公共焦点,是他们的一个公共点,且,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_A. B. C
11、.3 D.2【解析】设椭圆方程为(ab0),双曲线方程为(a0,b0),其中aa1,半焦距为c,于是|PF1|PF2|2a,|PF1|PF2|2a1,即|PF1|aa1,|PF2|aa1,因为,由余弦定理：4c2(aa1)2(aa1)22(aa1)(aa1)即4c2a23a12,即令2cos,2sin所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.【小试牛刀】已知实数满足,则的最小值为 【答案】【解析】由,可设,则=.五、迁移运用1.【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数是偶函数，点是函数图象的对称中心，则最小值为_.【答案】【解析】函数f（x
12、）sin（x+）（0，R）是偶函数，,点（1，0）是函数yf（x）图象的对称中心sin（+）0，可得+k2，k2Z，k2（k2k1）又0，所以当k2k11时，的最小值为故答案为： 2【江苏省盐城市、南京市2019届高三年级第一次模拟】设函数，其中若函数在上恰有个零点，则的取值范围是_【答案】【解析】取零点时满足条件，当时的零点从小到大依次为，所以满足 ，解得： 3.【江苏省苏北四市2019届高三第一学期期末】将函数（）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线对称，则的最小值为_.【答案】【解析】将函数f（x）sin（x）（0）的图象向左平移个单位后，可得函数ysin（x）的图象，再根据所得
13、图象关于直线x对称，可得k，kZ，当k0时，取得最小值为，故答案为：4【江苏省徐州市2019届高三上学期期中】已知函数，若，且，则的最大值为_【答案】【解析】令1，则，m，n，k都是整数，因为，所以，所以，的最大值为.5【江苏省常州2018届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴的交点， ， 满足，则_.【答案】【解析】不妨设， ，得，由，得，解得.6【江苏省淮安市等四市2018届高三上学期第一次模拟】若函数的图象与直线的三个相邻交点的横坐标分别是， ， ，则实数的值为_【答案】【解析】，所以。7【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数，若对任意的实数，都存在唯一的实
14、数，使，则实数的最小值是_【答案】【解析】函数，若对任意的实数，则：f（），0，由于使f（）+f（）=0，则：f（）0， ，=，所以：实数m的最小值是故答案为： 8【江苏省常熟中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为_.【答案】【解析】函数, 当时, , ,画出图形如图所示; ，则, 计算得出, 即的取值范围是.9【江苏省横林高级中学2018届高三模拟】若函数对任意的实数且则=_ .【答案】 或【解析】对任意的实数,说明函数图像的一条对称轴为， ，则 ， 或.10【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数若函数 的图象关于直线x2对称，且在区间
15、上是单调函数，则的取值集合为_.【答案】 【解析】是一条对称轴，得，又在区间上单调，得，且，得，集合表示为。11.【2018届江苏省泰州高三12月月考】将的图像向右平移单位（）,使得平移后的图像仍过点,则的最小值为_【答案】【解析】将的图像向右平移单位（）得到,代入点得： ,因为,所以当时,第一个正弦值为的角,此时,故填.12设常数a使方程在闭区间0,2上恰有三个解,则 . 【解析】原方程可变为,如图作出函数的图象,再作直线,从图象可知函数在上递增,上递减,在上递增,只有当时,直线与函数的图象有三个交点,所以13.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 【答案】【解析】因为函数在区间上单调
16、递增所以在区间恒成立,因为,所以在区间恒成立所以因为,所以所以的取值范围是14已知, ,且在区间有最小值,无最大值,则 【答案】【解析】如图所示,因为,且,又在区间内只有最小值、无最大值,所以在处取得最小值,所以,所以又,所以当时,；当时, ,此时在区间内有最大值,故15【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数（）的图象与轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.（1）求的值；（2）求在上的最大值和最小值.【解析】（1）图象上相邻两个最高点之间的距离为，的周期为，且，此时，又的图象与轴相切，且，；（2）由（1）可得， 当，即时， 有最大值为；当，即时， 有最小值为0.16【江苏省常熟
17、中学2018届高三10月阶段性抽测】已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式，并求出的单调递增区间；（2）将函数的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍，再将图象向右平移个单位，得到的图象，若存在使得等式成立，求实数的取值范围.【解析】（1）设函数的周期为，由图可知，即，上式中代入，有，得， ，即， ，又，令，解得，即的递增区间为；（2）经过图象变换，得到函数的解析式为，于是问题即为“存在，使得等式成立”，即在上有解，令，即在上有解，其中，实数的取值范围为.17已知函数.(1)若方程在上有解,求的取值范围;(2)在中, 分别是所对的边,当(1)中的取最大值且时,求的最小值.【答案】（1）;（2）1【解析】 (1= = =,因为,所以,则,因为方程在上有解,所以,则,故的取值范围是;(2)由(1)可得取最大值3, ,则,则,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc,当时有最小值1.18【2018届福建省仙游金石中学高三上学期期中】已知函数（）的最小正周期为（）求的值；（）求函数在区间上的取值范围【答案】()1；() .【解析】（）.因为函数的最小正周期为,且,所以,解得（）由（）得.因为,所以.所以.因此,即的取值范围为.