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1、函数与方程思想专练一、选择题1椭圆y21的两个焦点为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，其一交点为P，则|PF2|()A B C D4答案C解析如图，令|F1P|r1，|F2P|r2，那么r2故选C2(2018湖北七校联考)已知f(x)是奇函数并且是R上的单调函数，若函数yf(2x21)f(x)只有一个零点，则实数的值是()A B C D答案C解析依题意，方程f(2x21)f(x)0只有1个解，故f(2x21)f(x)f(x)有1解，所以2x21x，即2x2x10有唯一解，故18(1)0，解得故选C3设a1，若对于任意的xa，2a，都有ya，a2满足方程logaxlogay3，这时
2、a的取值的集合为()Aa|11，由此解得a2故选B4若2x5y2y5x，则有()Axy0 Bxy0 Cxy0 Dxy0答案B解析原不等式可变形为2x5x2y5y即2xx2yy故设函数f(x)2xx，f(x)为增函数，所以xy，即xy0故选B5为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求ACB60，BC的长度大于1米，且AC比AB长05米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为()A1 米 B2米C(1) 米 D(2) 米答案D解析由题意，设BCx(x1)米，ACt(t0)米，则ABAC05(t05)米，在ABC中，由余弦定理得AB2AC2BC22ACBCcos60，即(t05)2t2
3、x2tx，化简并整理得t(x1)，即tx12，因x1，故tx122当且仅当x1时取等号，此时t取最小值2故选D二、填空题6设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn，满足S5S6150，则d的取值范围是_答案(，2 2，)解析由S5S6150得(5a110d)(6a115d)150，即2a9a1d10d210，81d28(10d21)0，解得d2或d27若存在两个正实数x，y，使得等式x3eay30成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的最小值为_答案解析由题意知a，设t(t0)，则令f(t)，则f(t)，当t3时，f(t)0，当0t3时，f(t)0， 所以f(t)m
4、inf(3)，则a，即amin8满足条件AB2，ACBC的三角形ABC的面积的最大值是_答案2解析可设BCx，则ACx，根据面积公式得SABCx，由余弦定理计算得cosB，代入上式得SABCx 由得22x0)，则BC5x，由cosBDAcosADC0知0，解得x1，所以BC510已知各项均不相等的等差数列an的前5项和S520，且a1，a3，a7成等比数列(1)求数列an的通项公式；(2)若Tn为数列的前n项和，且存在nN*，使得Tnan10成立，求实数的取值范围解(1)设数列an的公差为d，则即又因为d0，所以所以ann1(2)因为，所以Tn因为存在nN*，使得Tnan10成立，所以存在nN
5、*，使得(n2)0成立，即存在nN*，使成立又，且(当且仅当n2时取等号)，所以即实数的取值范围是， 11设函数f(x)ln x(a为常数)(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线与x轴平行，求实数a的值；(2)若函数f(x)在(e，)内有极值，求实数a的取值范围解(1)函数f(x)的定义域为(0，1)(1，)，由f(x)ln x得f(x)，由于曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线与x轴平行，所以f(2)0，即0，所以a(2)因为f(x)，若函数f(x)在(e，)内有极值，则函数yf(x)在(e，)内有异号零点，令(x)x2(2a)x1设x2(2a)x1(x)(x)，可知1，不妨设
6、，则(0，1)，(1，)，若函数yf(x)在(e，)内有异号零点，即y(x)在(e，)内有异号零点，所以e，又(0)10，所以(e)e2(2a)e1e2，所以实数a的取值范围是e2，12(2018河南联考)在平面直角坐标系中，动点M到定点F(1，0)的距离与它到直线x2的距离之比是常数，记M的轨迹为T(1)求轨迹T的方程；(2)过点F且不与x轴重合的直线m与轨迹T交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P，在轨迹T上是否存在点Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由解(1)设M(x，y)，根据动点M到定点F(1，0)的距离与它到直线x2的距离之比是常数，得，整理得y21，轨迹T的方程为y21(2)假设存在直线m，设直线m的方程为xky1，由消去x，得(k22)y22ky10设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，x1x2k(y1y2)2，线段AB的中点H的坐标为PQAB，直线PQ的方程为yk，令y0，解得x，即P设Q(x0，y0)，P，Q关于点H对称，(y00)，解得x0，y0，即Q点Q在椭圆上，2222，解得k2，于是，即，直线m的方程为yx或yx