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1、课时提升作业 十九导数的几何意义一、选择题(每小题4分,共12分)1.(2016深圳高二检测)曲线y=f(x)=在点(2,-2)处的切线的斜率k为()A.B.C.1D.-【解析】选C.k=1.【补偿训练】(2016重庆高二检测)曲线y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的倾斜角为()A.30B.45C.60D.120【解析】选B.y=3x2-2.则当x=1时,切线的斜率k=1.设切线的倾斜角为,由tan=1,且0180,得=45.2.(2016阜阳高二检测)函数y=f(x)的图象在点P(5,f(5)处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f(5)=()A.B.1C.2D.0【解题指南】根据函
2、数f(x)的图象在点P(5,f(5)处的切线方程求出切线的斜率f(5)和f(5)是解答关键.【解析】选C.函数f(x)的图象在点P(5,f(5)处的切线y=-x+8的斜率是k=-1,所以f(5)=-1,又切线过点P(5,f(5),所以f(5)=-5+8=3,所以f(5)+f(5)=3-1=2.3.(2016临沂高二检测)曲线y=x3-3x2+1在点P处的切线平行于直线y=9x-1,则切线方程为()A.y=9xB.y=9x-26C.y=9x+26D.y=9x+6或y=9x-26【解析】选D.设点P(x0,y0),则=(x)2+3x0x-3x+3-6x0.所以f(x0)=(x)2+3x0x-3x+
3、3-6x0=3-6x0,于是3-6x0=9,解得x0=3或x0=-1,因此,点P的坐标为(3,1)或(-1,-3).又切线斜率为9,所以曲线在点P处的切线方程为y=9(x-3)+1或y=9(x+1)-3,即y=9x-26或y=9x+6.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2016德州高二检测)已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为.【解析】因为f(2)=12,所以曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线的斜率为12,所以=12,a=1.答案:1【补偿训练】(2016福州高二检测)已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则=.【解
4、析】=(ax+2a)=2a=2,所以a=1,又3=a12+b,所以b=2,即=2.答案:25.(2016北京东城高二检测)如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f(f(0)= ;=.(用数字作答)【解析】因为函数f(x)的图象过点A(0,4)和(4,2),所以f(f(0)=f(4)=2.又函数f(x)过点A(0,4),B(2,0),则当0x2时,f(x)=4-2x.所以=f(1)=-2.答案:2-2三、解答题6.(10分)(2016威海高二检测)已知曲线f(x)=x2+1与g(x)=x3+1在x=x0处的切线互相垂直,求x0的值
5、.【解析】因为f(x)=(2x+x)=2x,g(x)=(x)2+3xx+3x2)=3x2,所以k1=2x0,k2=3,由k1k2=-1,即6=-1,解得x0=-.【补偿训练】已知曲线y=x3上一点P,如图所示.(1)求曲线在点P处的切线的斜率.(2)求曲线在点P处的切线方程.【解题指南】【解析】(1)因为y=x3,所以y=3x2+3xx+(x)2=x2,所以y=22=4,所以曲线y=x3在点P处的切线的斜率为4.(2)曲线y=x3在点P处的切线方程是y-=4(x-2),即12x-3y-16=0.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016重庆高二检测)过曲线y=x3+1上一点(1,2)且与
6、该点处的切线垂直的直线方程是()A.y=3x-3B.y=x-C.y=-x+D.y=-3x+3【解题指南】先求出曲线在该点处的切线的斜率,再求与此切线垂直的直线的斜率,进而得到直线方程.【解析】选C.曲线上点(1,2)处切线的斜率为=3+3x+(x)2=3,所以与切线垂直的直线的斜率为-,所以所求直线的方程是y-2=-(x-1),即y=-x+.【补偿训练】若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则()A.a=1,b=1B.a=-1,b=1C.a=1,b=-1D.a=-1,b=-1【解析】选A.y=(x+a+2x)=2x+a.又因为点(0,b)处的切线方程为x-y+1=
7、0,所以y=a=1.将(0,b)代入x-y+1=0得,b=1.所以a=1,b=1.2.(2016泰安高二检测)设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为,则点P横坐标的取值范围为()A.B.-1,0C.0,1D.【解题指南】根据倾斜角的取值范围可以得到曲线C在点P处切线斜率的取值范围,进而得到点P横坐标的取值范围.【解析】选D.设点P的横坐标为x0,因为y=x2+2x+3,由定义可求其导数y=2x0+2,利用导数的几何意义得2x0+2=tan(为点P处切线的倾斜角),又因为,所以12x0+2,所以x0.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016烟台高
8、二检测)若函数f(x)=x-,则它与x轴交点处的切线方程为.【解析】由f(x)=x-=0得x=1,即与x轴交点坐标为(1,0),(-1,0).因为f(x)=1+,所以切线的斜率k=1+=2.所以切线的方程为y=2(x-1)或y=2(x+1),即2x-y-2=0或2x-y+2=0.答案:2x-y-2=0或2x-y+2=04.若点P是抛物线y=x2上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为.【解析】由题意可得,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=x2的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2,由导数的几何意义知y=2x=1,解得x=,所以P,故点P到直线y=x-2的最小距离d=.答案:三、解答题5.(10分)已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在点P(1,1)处的切线方程.(2)试判断(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点.【解析】(1)曲线在点P处的切线斜率为f(1)=3,故所求切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.(2)由解得或因此,点P处的切线与曲线C除了切点(1,1)之外,还有另一个公共点(-2,-8).