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1、2 圆与圆的方程,2.1 圆的标准方程,1.确定圆的条件 一个圆的圆心位置和半径一旦给定,这个圆就确定了. 2.圆的标准方程 (1)圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆,定点叫作圆的圆心,定长叫作圆的半径. (2)方程:圆心为C(a,b),半径为r的圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r2. (3)当圆心是坐标原点时,有a=b=0,那么圆的方程为x2+y2=r2.,做一做1 圆(x+8)2+(y-8)2=10的圆心和半径分别为( ),答案:D,【做一做2】 已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=4,则P(3,2)( ) A.是圆心 B.在圆C外 C.在圆C内 D.在圆C上 答案
2、:C,3.点与圆的位置关系 设点P到圆心的距离为d,圆的半径为r,则点与圆的位置关系对应如下:,4.中点坐标公式,【做一做3】 已知线段MN的两个端点的坐标分别为M(3,6),N(-7,2),则线段MN的中点G的坐标为 . 答案:(-2,4),思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)(x+2)2-(y-3)2=4是表示以(-2,3)为圆心,以2为半径的圆. ( ) (2)在平面直角坐标系中,只要确定了圆心和半径,那这个圆的标准方程就确定了. ( ) (3)与两坐标轴均相切的圆的标准方程可设为(x-R)2+(y-R)2=R2(其中R为圆的半径). ( )
3、,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一直接法求圆的标准方程 【例1】 求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心为(2,-5),且与直线4x-3y-3=0相切; (2)圆心在直线x=2上,且与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2).,解:(1)圆的半径即为圆心(2,-5)到直线4x-3y-3=0的距离,(2)由于圆与y轴交于点A(0,-4),B(0,-2), 所以圆心在直线y=-3上. 又圆心在直线x=2上, 所以圆心坐标为(2,-3).,所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=5.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟1.直接法求圆的标准方程,就是先根据已知条件求出圆心坐标和半
4、径,再写出标准方程. 2.求圆的圆心坐标与半径时,常利用以下圆的性质: (1)圆的任何一条弦的垂直平分线经过圆心; (2)圆心到切线的距离等于半径; (3)圆心与切点的连线长等于半径; (4)圆心与切点的连线与切线垂直.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1求满足下列条件的圆的标准方程. (1)经过A(6,5),B(0,1)两点,且圆心在直线3x+10y+9=0上; (2)已知点A(-1,2),B(5,-6),以AB为直径.,解:(1)设圆心为C,由题意易知AB的垂直平分线的方程为3x+2y-15=0,故所求圆的标准方程为(x-7)2+(y+3)2=65. (2)因为AB为直径,所以圆
5、心坐标为(2,-2).,故圆的标准方程为(x-2)2+(y+2)2=25.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究二待定系数法求圆的标准方程 【例2】 求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心在x轴上,半径等于5,且经过点A(2,3); (2)经过点A(2,-3),B(-2,-5),且圆心在直线x-2y-3=0上.,解:(1)由已知可设圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=25, 又圆心在x轴上,且经过点A(2,3),于是所求圆的标准方程是(x+2)2+y2=25或(x-6)2+y2=25.,探究一,探究二,探究三,思想方法,(2)设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r
6、0),所以圆的标准方程是(x+1)2+(y+2)2=10.,反思感悟待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为: (1)设所求的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2; (2)根据题意,建立关于a,b,r的方程组; (3)解方程组,求出a,b,r的值; (4)将a,b,r代入所设的圆的方程中,即得所求.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2圆心在直线x-2y+7=0上的圆C与x轴交于两点A(-2,0),B(-4,0),则圆C的标准方程为 .,解析:求圆的方程,关键是求圆心坐标和半径. 方法1:设所求圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r0).,所求的圆的标准方程为(x+3
7、)2+(y-2)2=5.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法2:由已知条件知圆心为线段AB的中垂线与直线x-2y+7=0的交点. 由题意易得线段AB的中垂线方程为x=-3,代入x-2y+7=0,得y=2, 故圆心的坐标为C(-3,2).,圆的标准方程为(x+3)2+(y-2)2=5. 故填(x+3)2+(y-2)2=5. 答案:(x+3)2+(y-2)2=5,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究三判断点与圆的位置关系,【例3】已知点A(1,2)在圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2的内部,求实数a的取值范围.,分析:解答本题可以根据点A与圆C的位置关系将点A代入圆的方程的左边进行求解
8、.,解:点A在圆的内部,(1-a)2+(2+a)22a2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,反思感悟怎样判断点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系主要有以下两种方法. (1)几何法:根据圆心到该点的距离d与圆的半径r的大小关系; (2)代数法: (x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆外; (x0-a)2+(y0-b)2=r2,点在圆上; (x0-a)2+(y0-b)2r2,点在圆内.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3若点P(-2,4)在圆(x+1)2+(y-2)2=m的外部,求实数m的取值范围. 解:由于点P(-2,4)在圆外, 所以有(-2+1)2+(4-2)2m, 解得m
9、0, 因此,实数m的取值范围是0m5.,探究一,探究二,探究三,思想方法,利用数形结合思想求有关圆的最值问题 【典例】 如图所示,圆C:(x-8)2+(y-6)2=1,点A(0,-1),B(0,1).设P是圆上的动点,令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值和最小值. 思路点拨:本题考查点与圆的位置关系及数形结合思想,可先列出函数关系式,然后借助图形特点解决问题.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:设点P的坐标为(x0,y0), 所以d=|PA|2+|PB|2,因为原点O在圆外,点C的坐标为(8,6),圆的半径为1, 所以|OP|max=|CO|+1=10+1=11, |OP|min=|
10、CO|-1=10-1=9. 所以dmax=2112+2=244,dmin=292+2=164.,探究一,探究二,探究三,思想方法,方法点睛如图,点P(x0,y0)是圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)外一点,则圆上到点P距离最近的点为点P与圆C的圆心的连线与圆的交点A,圆上离点P最远的点为点P与圆C的圆心的连线的延长线与圆的交点B.,1,2,3,4,5,1.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 ( ) A.x2+(y-2)2=1 B.x2+(y+2)2=1 C.(x-1)2+(y-3)2=1 D.x2+(y-3)2=1,故圆的方程为x2+(y-2)2=1. 答案:A,
11、1,2,3,4,5,2.点P(8,m)与圆x2+y2=24的位置关系是( ) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.与m取值有关,点在圆外. 答案:A,1,2,3,4,5,3.已知圆的方程是(2x+4)2+(2y-1)2=9,则该圆的圆心坐标为 ,半径r= .,1,2,3,4,5,4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为 .,解析:设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(r0),所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10. 答案:(x-2)2+y2=10,1,2,3,4,5,5.设A为圆(x-2)2+(y-2)2=1上一动点,则A到直线x-y-5=0的最大距离为 .,