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1、1.1 任意角和弧度制,1.1.1 任意角,问题提出,1.角是平面几何中的一个基本图形，角是可以度量其大小的.在平面几何中，角的取值范围如何？,2.体操是力与美的结合，也充满了角的概念2002年11月22日，在匈牙利德布勒森举行的第36届世界体操锦标赛中，“李小鹏跳”“踺子后手翻转体180度接直体前空翻转体900度”，震惊四座，这里的转体180度、 转体900度就是一个角的概念.,3.过去我们学习了0360范围的角，但在实际问题中还会遇到其他角如在体操、花样滑冰、跳台跳水等比赛中，常常听到“转体10800”、“转体12600”这样的解说再如钟表的指针、拧动螺丝的扳手、机器上的轮盘等，它们按照不
2、同方向旋转所成的角，不全是03600范围内的角.因此，仅有0360范围内的角是不够的，我们必须将角的概念进行推广.,任意角,知识探究（一）：角的概念的推广,思考2：如图，一条射线的端点是O，它从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成了一个角，其中点O，射线OA、OB分别叫什么名称？,思考3：在齿轮传动中，被动轮与主动轮是按相反方向旋转的.一般地，一条射线绕其端点旋转，既可以按逆时针方向旋转，也可以按顺时针方向旋转.你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转600所形成的角，与按顺时针方向旋转600所形成的角是否相等？,思考4：为了区分形成角的两种不同的旋转方向，可以作怎样的规定？如果一条射线没有作
3、任何旋转，它还形成一个角吗？,规定： 按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角 如果一条射线没有作任何旋转，则称它形成了一个零角.,画图表示一个大小一定的角，先画一条射线作为角的始边，再由角的正负确定角的旋转方向，再由角的绝对值大小确定角的旋转量，画出角的终边，并用带箭头的螺旋线加以标注.,思考5：度量一个角的大小，既要考虑旋转方向，又要考虑旋转量，通过上述规定，角的范围就扩展到了任意大小. 对于210， 150，660，你能用图形表示这些角吗？你能总结一下作图的要点吗？,思考6：如果你的手表慢了20分钟，或快了1.25小时，你应该将分钟分别旋转多少度才能将时间校准？
4、,120，450.,思考7：任意两个角的数量大小可以相加、相减，如 5080=130， 5080=30，你能解释一下这两个式子的几何意义吗？,以50角的终边为始边，逆时针（或顺时针）旋转80所成的角.,思考8：一个角的始边与终边可以重合吗？如果可以，这样的角的大小有什么特点？,k360（kZ）,知识探究（二）：象限角,思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？,思考2：如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于如何象限，或称这
5、个角为轴线角.那么下列各角：-50，405，210, -200，450分别是第几象限的角？,450,思考3：锐角与第一象限的角是什么逻辑关系？钝角与第二象限的角是什么逻辑关系？直角与轴线角是什么逻辑关系？,思考4：第二象限的角一定比第一象限的角大吗？,象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.,思考5：在直角坐标系中，135角的终边在什么位置？终边在该位置的角一定是135吗？,知识探究（三）：终边相同的角,思考1：32，328，392是第几象限的角？这些角有什么内在联系？,32,392,328,思考2：与32角终边相同的角有多少个？这些角与32角在数量上相差多少？,思考3：所有与32角
6、终边相同的角，连同32角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？,S=|=k360，kZ，即任一与终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.,思考4：一般地，所有与角终边相同的角，连同角在内所构成的集合S可以怎样表示？,思考5：终边在x轴正半轴、负半轴，y轴正半轴、负半轴上的角分别如何表示？,x轴正半轴：= k360，kZ ； x轴负半轴：= 180k360，kZ ； y轴正半轴：= 90k360，kZ ； y轴负半轴：= 270k360，kZ .,思考6：终边在x轴、y轴上的角的集合分别如何表示？,终边在x轴上：S=|=k180，kZ；终边在y轴上：S=|=90k180， kZ
7、.,思考7：第一、二、三、四象限的角的集合分别如何表示？,第一象限：S= | k360 90k360，kZ； 第二象限：S= | 90k360 180k360，kZ； 第三象限：S= | 180k360 270k360，kZ； 第四象限：S= | 90k360 k360，kZ.,思考8：如果是第二象限的角，那么2、/2分别是第几象限的角？,90k360180k360,180k7202360k720,45k180/290k180,理论迁移,例1 在0360范围内，找出与95012角终边相同的角，并判定它是第几象限角.,12948，第二象限角.,S=|=45k180，kZ. 315，-135，45，225，405，585.,例2 写出终边在直线y=x上的角的集合S，并把S中适合不等式-360 720的元素写出来.,学习小结,1.角的概念推广后，角的大小可以任意取值. 把角放在直角坐标系中进行研究，对于一个给定的角，都有唯一的一条终边与之对应，并使得角具有代数和几何双重意义.,2.终边相同的角有无数个，在0360范围内与已知角终边相同的角有且只有一个. 用除以360，若所得的商为k，余数为（必须是正数），则即为所找的角.,课堂练习: 课本P5练习:第3，4，5题.,