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1、2.2 函数的表示法,一,二,一、函数的表示法,一,二,【做一做1】 购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x1,2,3,4)的函数,并指出函数的值域. 解:(解析法)y=2x,x1,2,3,4. (列表法),(图像法),一,二,二、分段函数 在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的解析式,这样的函数通常叫作分段函数.,【做一做2】 设函数 (1)求f(f(-2)的值; (2)若f(a)=4,求实数a的值. 解:(1)f(-2)=-(-2)=2, f(f(-2)=f(2)=4. (2)当a0时,f(a)=a2=4, a=2.
2、当a0时,f(a)=-a=4, a=-4. 综上可知,a=-4或a=2.,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)列表法与解析法均可表示任意的函数. ( ) (2)分段函数由几部分构成就是几个函数. ( ) (3)任何一个图形都可以表示函数的图像. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,思想方法,求函数的解析式 【例1】 根据下列各条件,求函数f(x)的解析式: (1)f(x)是一次函数,且满足f(2x)+4f(x-2)=18x-29;,(3)f(x)+2f(-x)=x+1. 分析:(1)已知f(x)是一次函数,用待定系
3、数法求解;(2)用配凑法或换元法求解;(3)可用构造方程组求解法.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)由题意可设f(x)=ax+b(a0), 则f(2x)+4f(x-2)=2ax+b+4a(x-2)+b =6ax+(5b-8a).,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.已知f(g(x)的解析式,求f(x)的解析式的常用方法: (1)换元法,首先令t=g(x),然后求出f(t)的解析式,最后用x代替t即可. (2)配凑法,可通过配凑把f(g(x)的解析式用g(x)来表示,再将解析式两边的g(x)用x代替即可. 2.已知函数模型(如一次函数、二次函数、反
4、比例函数等)求函数的解析式,常用待定系数法,其步骤为:(1)设出解析式,(2)根据题设列方程(组)求待定系数. 3.当关系式中同时含有f(x)与f(-x),f(x)与 时,可使用消元法,即利用所给的等式再构造一个等式,进而联立方程组,解出f(x).,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,分段函数的求值,答案:B,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.求分段函数的函数值时,一定要注意自变量的值所在的区间或范围,根据这一范围选择相应的解析式代入求得,含有多层“f”符号时,应由内向外依次求解. 2.已知分段函数的函数值求相应自变量的值时,要注意分类讨论求解,同时应对得到
5、的自变量的值进行检验,看其是否满足相应的条件.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,解析:(1)由于x0时,f(x)=0,因此f(5)=0. 则f(f(5)=f(0)=-1. 又x0时,f(x)=2x-3,故f(-2)=-7. f(f(5)+f(-2)=-8.,探究一,探究二,探究三,思想方法,分段函数的图像及应用 【例3】 已知 (1)画出f(x)的图像; (2)求f(x)的定义域和值域; (3)解不等式f(x)x. 分析:(1)先要明确x的不同取值范围,再正确作出图像; (2),(3)利用数形结合的方法更为直观、简洁.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:
6、(1)函数f(x)的图像如图所示. (2)由条件知,函数f(x)的定义域为R.由图像知,当|x|1时,f(x)=x2的值域为0,1,当|x|1时,f(x)=1,所以f(x)的值域为0,1. (3)在同一坐标系中画出y=f(x)和y=x的图像,如图所示, 由图像知,不等式f(x)x的解集为x|x0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,分段函数作图及求解的几点注意 (1)作分段函数图像时要格外注意关键点及图像的衔接情况. (2)分段函数的定义域与值域的最好求法也是“图像法”,其定义域是自变量x各段取值的并集,值域是各段函数值取值范围的并集. (3)解抽象复杂的不等式问题利用数形结合既简洁,又直观.
7、,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3作出下列函数的图像,并写出函数的值域. (1)y=|x+2|+|x-3|; (2)y=|x+1|-|x-2|. 分析:本题考查含绝对值函数图像的作法,求解时可根据绝对值的定义,去掉绝对值符号将函数解析式化简后求解.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,数形结合思想在分段函数中的应用 【典例】 已知 则满足不等式f(1-x)f(x)的x的取值范围是 .,解析:方法一(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下: 当1-x0,且x0,即0x1时, 由f(1-x)f(x),得(1-x)2x2,解得xf(x)
8、,得(1-x)2+11,解得x1,又x1时, 由f(1-x)f(x),得1x2+1,此时不成立.,探究一,探究二,探究三,思想方法,探究一,探究二,探究三,思想方法,函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上方的函数值大于下方所有函数图像对应的函数值,故可以根据函数图像的上、下位置关系,把不等式的解的问题转化为数量关系求解,如本例中借助分段函数的图像可以直接把求解的问题转化为1-x与x的关系求解.,1,2,3,4,5,1.某天早上,小明骑车上学,出发时感到时间较紧,然后加速前进,后来发现时间还比较充裕,于是放慢了速度,与以上事件吻合得最好的图像是( ),解析:因为选项A,D第一段都是匀速
9、前进,不合题意,故排除选项A,D,首先加速前进,然后放慢速度,说明图像上升的速度先快后慢,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,2.已知函数f(x)的图像如图所示,则此函数的定义域、值域分别是( ) A.(-3,3),(-2,2) B.-3,3,-2,2 C.-2,2,-3,3 D.(-2,2),(-3,3) 答案:B,1,2,3,4,5,答案:A,1,2,3,4,5,答案:x|x1,或x-3,1,2,3,4,5,(1)求f(f(2); (2)若f(m)=10,求m的值; (3)作出函数f(x)的图像; (4)求函数f(x)的值域.,1,2,3,4,5,解:(1)f(2)=-22=-4, 于是f(f(2)=f(-4)=(-4)2+1=17. (2)当m0时,f(m)=m2+1=10,解得m=-3(m=3舍去); 当m0时,f(m)=-2m=10,解得m=-5(舍去), 故m的值为-3. (3)当x0时,f(x)=x2+1,其图像是一段抛物线; 当x0时,f(x)=-2x,其图像是一条射线(不含端点), 所以图像如图所示. (4)由f(x)的图像可知,当x0时,f(x)1; 当x0时,f(x)0,故函数f(x)的值域为(-,0)1,+).,