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1、3.2 全集与补集,一,二,一、全集 1.定义:在研究某些集合的时候,这些集合往往是某个给定集合的子集,这个给定的集合叫作全集. 2.符号表示:全集通常记作U . 3.图示:用Venn图表示全集U,如图所示.,全集是相对于所研究问题而言的一个相对概念,它含有与所研究问题有关的各个集合的全部元素.因此全集因问题而异.例如,在研究数集时,常常把实数集看作全集.,一,二,二、补集,一,二,【做一做1】 设全集U=1,2,3,4,5,6,7,M=1,3,5,7,则UM等于( ) A.1,2,7 B.4,6 C.2,4,6 D.2,4 答案:C 【做一做2】 如图所示的阴影部分表示的集合是 ( ) A.
2、A(UB) B.B(UA) C.U(AB) D.U(AB) 解析:阴影部分表示A以外的部分与B的交集,故阴影部分表示的集合为B(UA). 答案:B,一,二,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB). ( ) (2)对任意集合A,B,U为全集,均有U(AB)=(UA)(UB). ( ) (3)A(RA)=R. ( ) (4)若A=,则R=. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思想方法,补集的简单运算 【例1】 求解下列各题: (1)设全集U=R,集合A=x|0
3、x3,则UA= ; (2)设全集U=三角形,集合A=直角三角形,则UA= . 分析:(1)中集合为不等式的解集,应借助数轴分析求解;(2)可从元素的特征性质入手求解. 解析:(1)由于全集U=R,画出数轴(如图所示),由补集的定义可得UA=x|x0,或x3. (2)U=三角形,A=直角三角形, UA=锐角三角形或钝角三角形. 答案:(1)x|x0,或x3 (2)锐角三角形或钝角三角形,探究一,探究二,探究三,思想方法,1.若所给集合是有限集,则先把集合中的元素一一列举出来,再结合补集的定义来求解.另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处理起来,相对来说比较直观、形象且解
4、答时不易出错. 2.若所给集合是无限集,则常借助数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据补集的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点值能否取到.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练1已知全集U,A=x|23, B=x|4x3, 所以U=A(UA)=x|x2, 所以UB=x|2x4,或x6.,探究一,探究二,探究三,思想方法,交集、并集、补集的综合运算 【例2】 已知全集U=x|x4,集合A=x|-2x3,B=x|-3x3,求UA,AB,U(AB),(UA)B. 分析:可借助数轴分析求解. 解:把全集U和集合A,B在数轴上表示(如图所示), 由图可知UA=x|x-2,
5、或3x4, AB=x|-2x3, U(AB)=x|x-2,或3x4, (UA)B=x|-3x-2,或x=3.,探究一,探究二,探究三,思想方法,在进行交集、并集、补集的综合运算时, (1)对于无限集,常借助于数轴,先把已知集合及全集分别表示在数轴上,再根据交、并、补的定义求解,这样处理比较形象直观,解答过程中注意端点的“取”与“舍”. (2)对于有限集,应先把集合中的元素一一列举出来,再结合交、并、补集的定义来求解,另外针对此类问题,在解答过程中也常常借助于Venn图来求解,这样处理起来,相对来说比较直观、形象,且解答时不易出错.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练2集合A=x|-1x
6、2,B=x|x1 B.x|x1 C.x|1x2 D.x|1x2 解析:RB=x|x1,A(RB)=x|1x2. 答案:D,探究一,探究二,探究三,思想方法,与补集有关的含参问题 【例3】已知集合A=x|2a-2xa,B=x|1x2,且ARB,求实数a的取值范围. 分析:不要忘记讨论集合A是空集的情况. 解:易知RB=x|x1,或x2. ARB,分A=和A两种情况讨论. 若A=,此时有2a-2a,a2.,a1. 综上可知,实数a的取值范围为a|a1,或a2.,探究一,探究二,探究三,思想方法,已知集合的交集、并集、补集或集合间的关系求参数的取值范围时,通常是借助数轴,结合相关定义进行分析求解,其
7、中特别要注意区域端点的“取”与“不取”,还要注意分类讨论思想的应用以及空集在解题中的特殊作用.,探究一,探究二,探究三,思想方法,变式训练3已知集合A=x|x2+ax+12b=0和B=x|x2-ax+b=0,满足B(UA)=2,A(UB)=4,U=R,求实数a,b的值. 解:B(UA)=2,2B,但2A. A(UB)=4,4A,但4B.,探究一,探究二,探究三,思想方法,补集思想的综合应用 【典例】 已知集合A=x|0x2,B=x|axa+3. (1)若(RA)BR,求a的取值范围; (2)若ABA,求a的取值范围. 分析:本题考查集合交集、并集的运算及补集思想的应用,求解时可将不相等问题转化
8、为相等问题,求出a的集合后取其补集.,探究一,探究二,探究三,思想方法,解:(1)A=x|0x2,RA=x|x2. 设(RA)B=R,如图可知: a0且a+32,即a0且a-1, 满足(RA)BR的实数a的取值范围是a0. (2)若AB=A,则AB,又A,当ABA时,a的取值范围为集合a|-1a0的补集, 即a|a0.,探究一,探究二,探究三,思想方法,有些数学问题,若直接从正面解决,或解题思路不明朗,或需要考虑的因素太多,可用补集思想考虑其对立面,即从结论的反面去思考,探索已知和未知之间的关系,从而化繁为简,化难为易,开拓解题思路,这就是补集思想的应用. 1.运用补集思想求参数范围的方法:
9、(1)否定已知条件考虑反面问题; (2)求解反面问题对应的参数范围; (3)将反面问题对应的参数范围取补集. 2.补集思想适用的情况:从正面考虑情况较多,问题较复杂的时候,往往考虑运用补集思想.,1,2,3,4,5,1.设全集U=0,1,2,3,4,5,集合A=1,3,B=3,5,则U(AB)=( ) A.0,4 B.1,5 C.2,0,4 D.2,0,5 解析:AB=1,33,5=1,3,5, 全集U=0,1,2,3,4,5,U(AB)=0,2,4,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,2.已知全集U=0,1,2,且UA=2,则集合A的真子集共有( ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6
10、个 解析:由题意得,A=0,1,故其真子集分别为,1,0,共3个. 答案:A,1,2,3,4,5,3.已知全集U=2,0,3-a2,P=2,a2-a-2,且UP=-1,则实数a的值为( ) A.-1 B.2 C.-1或2 D.-2 解析:UP=-1,-1U,且-1P.,经检验,a=2符合题意,故实数a的值为2. 答案:B,1,2,3,4,5,4.设集合U=1,2,3,4,5,A=1,2,B=2,3,4,则U(AB)等于 . 答案:5,1,2,3,4,5,5.设全集U=R,A=x|x1,B=x|x+a1,UA=x|x1. x+a0,x-a,B=x|x-a. 又BUA,-a1,a-1. 即实数a的取值范围是a-1.,