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1、3.3 空间两点间的距离公式,【做一做1】 一长方体的长、宽、高分别为3,4,5,则该长方体的对角线长为 .,1.长方体对角线长 一般地,如果长方体的长、宽、高分别为a,b,c,那么对角线长,2.空间两点间的距离公式 给出空间两点A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则,【做一做2】 求下列两点间的距离. (1)A(1,-2,1),B(3,2,-1); (2)A(0,0,0),B(-7,3,11); (3)A(2,1,3),B(3,5,3).,归纳总结空间中两点间的距离公式,是数轴上和平面上两点间的距离公式的进一步推广,反之,它也适用于平面和数轴上两点间的距离的求解.设P1(x1,y
2、1,z1),P2(x2,y2,z2),则,当两点落在了坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时,此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式,当两点落在坐标轴上时,则公式转化为数轴上两点间的距离公式.,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1) 的几何意义是表示在空间直角坐标系中,动点P(x,y,z)与原点O(0,0,0)之间的距离.( ) (2)在坐标平面xOy上,到点A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的点有无数个. ( ) (3)以A(2,-3,5)和B(4,1,-3)为直径两端点的球面方程为(x-3)2+(y+1)2+(z-1)2=1. (
3、 ),探究一,探究二,探究三,探究四,探究一求空间两点间的距离,【例1】 直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,BCA=90,AA1=2,M,N分别是A1B1,A1A的中点,求|MN|.,解:如图,以C为原点,CA,CB,CC1所在直线为坐标轴,建立空间直角坐标系C-xyz. CA=CB=1,AA1=2,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟在运用两点间的距离公式时,注意不要弄错坐标相减的顺序,要记准“同类相减,平方相加再开方”这一规律.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1如图,正方体的棱长为1,M是所在棱的中点,N是所在棱的四分之一分点,则M,N之间的距离为( ),答案:
4、B,探究一,探究二,探究三,探究四,【例2】 已知点P在x轴上,且它到点P1(0, ,3)的距离是它到点P2(0,1,-1)的距离的2倍,求点P的坐标. 分析:设出点P的坐标(x,0,0),利用距离公式建立关于x的方程,求得x的值,即得点P的坐标.,解:因为点P在x轴上,设P(x,0,0).,解得x=1. 所以点P的坐标为(1,0,0)或(-1,0,0).,探究二求空间中点的坐标,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.由空间两点间的距离求点的坐标的方法: (1)若已知点到定点的距离以及点在特殊位置,则可直接设出点的坐标,利用待定系数法求解点的坐标. (2)若已知一点到两个定点的距离相等,
5、以及其他的一些条件,则可列出关于点坐标的方程进行求解. 2.已知点在坐标轴上(或者在坐标平面内),又满足某些条件,求该点的坐标时,一般根据点所在的位置,设出点的坐标,再由已知条件列出方程求解.在设点的坐标时,要根据点的特征设参数,这样不但可以减少参数,也能简化计算.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2在空间直角坐标系中,已知A(3,1,1),B(-3,0,-2),试问在y轴上是否存在点M,满足|MA|=|MB|?,解:假设在y轴上存在点M,满足|MA|=|MB|. 因为点M在y轴上,所以可设为M(0,y,0). 由|MA|=|MB|,解得y=-1,所以在y轴上存在点M(0,-1,0)满
6、足关系|MA|=|MB|.,探究一,探究二,探究三,探究四,【例3】 已知三点A,B,C的坐标分别为A(3,-2,-1),B(-1,-3,2),C(-5,-4,5),求证A,B,C三点共线. 分析:要证明三点共线,只需证明两条线段长的和等于第三条线段的长即可. 证明:利用空间两点间的距离公式,所以|AC|=|AB|+|BC|,故A,B,C三点共线. 反思感悟证明空间三点共线的方法与证明平面三点共线的方法是一致的,因此完成本题的关键是正确理解题意,将三点共线转化为计算三条线段的长度问题,看是否能得到两条线段长的和等于第三条线段的长.,探究三空间两点间距离公式的综合应用,探究一,探究二,探究三,探
7、究四,变式训练3已知A(-1,1,2),B(4,-5,-6),C(7,6,8),试判断ABC的形状,并求该三角形的面积.,解:由两点间的距离公式得,探究一,探究二,探究三,探究四,【例4】 平面上到坐标原点的距离为1的点的轨迹是以原点为圆心,以1为半径的圆,其方程为x2+y2=1,则在空间中,到坐标原点的距离为1的点的轨迹是什么?试写出它的轨迹方程. 分析:空间中坐标原点的坐标为(0,0,0),空间中的动点可以设为(x,y,z),再利用它们之间的距离为1即可求解.,解:原点坐标为(0,0,0),设空间中的动点为(x,y,z). 因为动点与原点之间的距离为1,即x2+y2+z2=1. 所以空间中
8、到坐标原点距离为1的点的轨迹是以1为半径,以原点为球心的球面,其方程为x2+y2+z2=1.,探究四求轨迹或轨迹方程,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟在空间直角坐标系中求轨迹或轨迹方程的方法与在平面直角坐标系中基本相同,可以模仿在平面直角坐标系中求轨迹或轨迹方程的一般方法来解决,即(1)建系:根据空间几何体的结构特点建立适当的空间直角坐标系;(2)设点:设出符合条件的空间中点的坐标,并取动点的坐标(x,y,z)表示轨迹上任意一点M的坐标,写出符合条件的点的集合;(3)列式:利用公式将点的坐标代入关系式,列出关于x,y,z的方程或方程组;(4)化简:把上述方程或方程组化简为最简形式,并注
9、意x,y,z的取值范围;(5)根据所得方程或方程组的特点,准确指出方程或方程组所代表的点的轨迹是什么样的几何图形,并注意轨迹的端点、边界等细节.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练4已知点A(1,2,3)和B(2,-1,4),求到这两点距离相等的点M满足的方程,并指出该方程表示什么图形.,解:设M(x,y,z)为所求的到点A,B距离相等的点, 因为|AM|=|BM|,将等式两边平方并化简得2x-6y+2z-7=0, 这就是所求的方程,表示的图形是经过线段AB的中点,且与线段AB所在直线垂直的平面.,1,2,3,4,5,1.点B是点A(-1,2,3)在yOz平面内的投影,则|AB|为 (
10、),解析:B(0,2,3),|AB|=1. 答案:C,1,2,3,4,5,2.若点A(3,-3,6),B(1,5,2),M(3,3,2),则线段AB的中点N到M的距离为( ) A.5 B.4 C.3 D.9,解析:由已知得N(2,1,4),答案:C,1,2,3,4,5,3.若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是 .,整理得2x+2y-2z-3=0. 答案:2x+2y-2z-3=0,1,2,3,4,5,4.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M是面ABCD的中心,点P在棱C1D1上移动,求|MP|的最小值. 解:如图,以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系, 则由题意易得M(1,1,0). 由题意设P(x,2,2)(0x2),所以当x=1,即P为C1D1的中点时,|MP|取最小值 .,1,2,3,4,5,5.在平面xOy内的直线2x-y=0上确定一点M,使它到点P(-3,4,5)的距离最小,并求出最小值. 解:点M在平面xOy内的直线2x-y=0上, 设点M(a,2a,0).,