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1、3.1 变化率与导数,1.函数的平均变化率及其意义,名师点拨x是一个整体符号,而不是与x相乘,它表示自变量的改变量,可以为正,也可以为负,但不能等于零;y是相应函数值的改变量,它可以为正,可以为负,也可以等于零,若x=x1-x2,则y=f(x1)-f(x2).,【做一做1】 (1)下列说法错误的是( ) A.函数的平均变化率可以大于零 B.函数的平均变化率可以小于零 C.函数的平均变化率可以等于零 D.函数的平均变化率不能等于零 (2)函数 在区间2,4上的平均变化率等于 .,2.瞬时速度 若物体运动的路程与时间的关系式是s=f(t),当t趋近于0时,函数f(t)在t0到t0+t之间的平均变化
2、率 趋近于一个常数,这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度. 【做一做2】 如果质点M按照规律s(t)=2t2+1作直线运动(位移单位:m,时间单位:s),则该质点在t=3 s时的瞬时速度等于 .,名师点拨对于导数的概念,应注意以下几点: (1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在; (2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与x无关; (3)导数是一个常数,而不是变量,其实质是一个极限值.,【做一做3】 利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数.,4.导数的意义,【做一做4】 若函数f(x)在x=-2处的导数f(-2)=1,则曲线f(x)
3、在 (-2,f(-2)处的切线的倾斜角等于 . 解析:由于斜率k=f(-2)=1,而tan 45=1,所以倾斜角=45. 答案:45,5.导函数 对于函数y=f(x),当x=x0时,f(x0)是一个确定的数,当x变化时,f(x)便是x的一个函数,我们称它为函数y=f(x)的导函数(简称为导数),即 名师点拨导数与导函数之间既有区别又有联系,一般地,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与x无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,与x,x均无关. 【做一做5】 若函数f(x)的导数f(x)=-3x2+x+1,则f(-1)= .
4、 解析:f(-1)=-3(-1)2+(-1)+1=-3. 答案:-3,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)平均变化率等于0时,说明函数没有发生变化. ( ) (2)函数f(x)在x0处的导数实质就是函数f(x)在x0处的瞬时变化率. ( ) (3)函数f(x)在x0处的导数与x无关,只与x0有关. ( ) (4)曲线的切线与曲线只有一个公共点. ( ) (5)曲线y=f(x)的过点(x1,y1)的切线的斜率为f(x1). ( ) 答案:(1) (2) (3) (4) (5),探究一,探究二,探究三,思维辨析,函数的平均变化率及其意义 【例1】 (1
5、)函数 在区间1,3上的平均变化率等于 ,在区间x0,x0+x上的平均变化率等于 . (2)已知点A(x1,y1),B(x2,y2)在函数f(x)的图象上,若f(x)从x1到x2的平均变化率为 ,则曲线y=f(x)的割线AB的倾斜角等于 . 思路点拨:(1)根据平均变化率的定义求解;(2)根据函数平均变化率的几何意义求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求函数的平均变化率可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的改变量x与函数值的改变量y,其步骤如下: (1)先计算函数值的改变量y=f(x1)-f(x0); (2)再计算自变量的改变量x=
6、x1-x0; (3)得平均变化率,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1(1)已知函数f(x)=-x2+x,则f(x)从-1到-0.9的平均变化率为( ) A.3 B.0.29 C.2.09 D.2.9 (2)质点运动规律s(t)=2t+3,则t从3到3.3内,质点运动的平均速度为( ) A.9 B.9.6 C.2 D.0.2,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求函数的导数 【例2】 (1)求函数f(x)=-x2+3x的导数; (2)求函数 在x=-1处的导数. 思路点拨:(1)可按照函数导数的定义分步求解;(2)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算
7、导函数在x=-1处的函数值.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,导数的几何意义及其应用 【例3】 (1)已知曲线y=2x3上一点A(1,2),则点A处的切线的斜率等于( ) A.0 B.2 C.4 D.6,思路点拨:(1)根据导数的几何意义,只需求出函数在x=1处的导数值,即得图象在点A处的切线的斜率;(2)利用导数的几何意义求出图象在点P处的切线的斜率,再根据直线方程的点斜式求得直线方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.利用导数的几何意义求曲
8、线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程的步骤: (1)求出函数f(x)在x0处的导数,即得切线的斜率; (2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0). 2.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上,若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率;否则,该点的导数值就不是过该点的切线的斜率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3(1)已知二次函数f(x)图象的顶点坐标为(1,2),则f(1)的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.0 (2)曲线y=x2+1在点P(1,2)处的切线方程为 . 解析:(1)二次函数
9、f(x)在图象的顶点处的切线与x轴平行,斜率为0,因此f(1)=0. (2)函数y=x2+1在点P(1,2)处的导数 所以切线方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0. 答案:(1)D (2)2x-y=0,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求切线方程时忽视判断点是否在曲线上致误,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得在利用导数的几何意义求解切线问题时,首先应判断点是否在曲线上,只有点在曲线上时曲线在该点处的切线的斜率才等于函数在该点处的导数值;如果点不在曲线上,则应另设切点,再利用导数的几何意义求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,跟踪训练已知曲线y=f(x)=x3-3x上一点P(1,-2),过点P作直线l. (1)求与曲线y=f(x)相切且以P为切点的直线l的方程; (2)求与曲线y=f(x)相切且切点异于点P的直线l的方程.,1.函数f(x)=x2从x=-1到x=2的平均变化率为( ) A.1 B.2 C.3 D.-1,