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1、2 直观图,1.斜二测画法 斜二测画法的规则是: (1)在已知图形中建立直角坐标系xOy.画直观图时,它们分别对应x轴和y轴,两轴交于点O,使xOy=45,它们确定的平面表示水平平面; (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x轴和y轴的线段; (3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的 . 用斜二测画法画立体图形时,与平面图形相比多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴,并且平行于z轴的线段的平行性和长度都保持不变,在直观图中,平面xOy表示水平平面,平面yOz和zOx表示直立平面.,名师点拨斜二测画法中的建系原则: 在已知图形
2、中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行,但实际作图时,一般建立特殊的直角坐标系,尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴,图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等.,【做一做1】 画水平放置的正三角形的直观图. 解:如图所示. 第一步,在已知的正三角形ABC中,取AB所在的直线为x轴,取对称轴CO为y轴,画对应的x轴、y轴,使xOy=45. 第二步,在x轴上取OA=OA,OB=OB,在y轴上取OC= OC. 第三步,连接AC,BC,所得ABC就是正三角形ABC的直观图.,2.平面及其表示,在几何里所说的平面是无限延展的,通常我们只画出它的一部分来表示平面.一般地,用平行四
3、边形表示空间一个水平平面的直观图,并用希腊字母,等来表示平面(如图所示).,3.用斜二测画法画的直观图是根据平行投影的原理画出的图形,图中的投影线互相平行.我们还可以根据中心投影的原理来表示空间图形,此时投影线相交于一点.,做一做2 给出以下几个结论: 水平放置的角的直观图一定是角; 相等的角在直观图中仍相等; 相等的线段在直观图中仍相等; 若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍平行. 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:结论与是正确的. 答案:B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)三角形的直观图可能为一条线段
4、. ( ) (2)菱形的直观图可能为长方形. ( ) (3)空间几何体的直观图是唯一的. ( ) (4)如果一个水平放置的ABC的面积为S,用斜二测画法画出的直观图的面积为S,那么S与S的关系是S= S. ( ),探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究一画平面图形的直观图 【例1】 如图所示,在ABC中,BC边上的高为AD,试用斜二测画法画出其直观图. 分析:按照斜二测画法的画法规则画出直观图.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:(1)先在三角形ABC中建立如图所示的直角坐标系xOy,再建立如图所示的坐标系xOy,使xOy=45.,(2)在坐标系xOy中,在x轴上截取OB=OB,OC=OC
5、;在y轴上截取OA,使OA= OA. (3)连接AB,CA,擦去辅助线得到ABC,即为ABC的直观图.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟直观图的画法 1.画水平放置的平面多边形的直观图,关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类:一类是在轴上或在与轴平行的线段上;另一类是不在轴上,且不在与轴平行的线段上,遇到这类顶点一般要过此点作与轴平行的线段,将其转化到与轴平行的线段上. 2.注意直观图中的“变”与“不变”.在用平面图形表示其直观图时,不变的有:(1)平行关系不变;(2)点的共线性不变;(3)线的共点性不变.“变”的有:(1)角的大小有变化;(2)垂直关系有变化;(3)某些线
6、段的长度有变化.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解:以AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,且xOy=45. 如图所示,作DHx轴于点H,变式训练1已知水平放置的矩形ABCD的长为4 cm,宽为2 cm,作出斜二测直观图ABCD,并求出四边形ABCD的面积.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究二画空间几何体的直观图 【例2】画出底面边长为1.2 cm的正方形,侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图.,画法:(1)画轴.画x轴、y轴、z轴,使xOy=45,xOz=90,如图所示. (2)画底面.以O为中心在x轴上截取线段EF,使EF=1.2 cm,在y轴上截取线段GH,使GH
7、=0.6 cm. 分别过E,F作y轴的平行线,过G,H作x轴的平行线,则交点分别为A,B,C,D,即四边形ABCD为底面正方形的直观图. (3)画高.在z轴上截取OP,使OP=1.5 cm. (4)成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如图所示.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟1.画空间几何体的直观图时,一般是先按照画平面图形直观图的方法与步骤,画出其底面的直观图,再在z轴上确定该几何体的顶点或另一个底面的直观图所需坐标系的原点,从而作出另一个底面的直观图,最后得到整个几何体的直观图. 2.对于台体、柱体等有上底面的几何体,在
8、作上底面的直观图时,可先作出高线,在上底面所在的平面内再建一个两轴分别与下底面中的坐标系中的两轴平行的坐标系,最后作出表示相应等量的线段并连接.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练2画出长为1.6 cm,宽为1.4 cm,高为1.6 cm的长方体的直观图.,解:(1)画出x轴、y轴、z轴三轴相交于点O,使xOy=45,xOz=90,如图所示. (2)在x轴上取OA=1.6 cm,在y轴上取OC=0.7 cm,过点A作ABOC,过点C作CBOA,则四边形OABC为下底面. (3)在z轴上取OO=1.6 cm,过点O作OxOx,OyOy,建立坐标系xOy,重复(2)的步骤作出上底面OABC
9、. (4)连接AA,BB,CC,OO,即得到长方体OABC-OABC的直观图.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,探究三由直观图还原平面图,【例3】 导学号91134004(1)在如图所示的直观图中,ABy轴,BCADx轴,且BCAD,则其对应的平面图形ABCD是( ) A.任意梯形 B.直角梯形 C.任意四边形 D.平行四边形 (2)已知等边三角形ABC的直观图ABC的面积为 ,则等边三角形ABC的面积是 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)由直观图的画法,可知原四边形ABCD为直角梯形. (2)按照斜二测画法的规则,把如图所示的等边三角形ABC的直观图ABC还原为如图所示的等
10、边三角形ABC, 设原等边三角形ABC的边长为x,探究一,探究二,探究三,易错辨析,反思感悟借助水平放置的平面图形的直观图还原成原来的实际图形,其作法就是逆用斜二测画法,也就是使平行于x轴的线段的长度不变,而平行于y轴的线段的长度变为原来的2倍,还原时要抓住关键点和关键线段.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,变式训练3(1)如图所示,ABC是ABC的直观图,图中BO=OC=CA,CAOy,则原图ABC是( ) A.等边三角形 B.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形 D.等腰直角三角形 (2)如图是一个四边形的直观图,则其原图形的面积为 .,探究一,探究二,探究三,易错辨析,解析:(1)建
11、立平面直角坐标系,在x轴上截取BO=CO=BO,过C作y轴的平行线并在上面截取AC=2OC,连接AB,则得ABC的原图ABC,如图所示,因为ACBC,且AC=BC,所以ABC是等腰直角三角形. (2)由四边形的直观图可知,原四边形是直角梯形,其上、下底长分别为2,3,高为6,故其面积为 6=15.,答案:(1)D (2)15,探究一,探究二,探究三,易错辨析,考虑问题不全面致错 【典例】 已知一个水平放置的正方形用斜二测画法作出的直观图是一个平行四边形,若平行四边形中有一条边长为4,则此正方形的面积是( ) A.16 B.36或64 C.16或64 D.36 错解正方形的边长在直观图中对应边长
12、为4,则原图中正方形的边长为4,故原图形的面积为42=16.故选A.,探究一,探究二,探究三,易错辨析,正解:正方形的直观图是一个平行四边形,长度为4的边,可能为水平放置的边,也可能为竖直放置的一边,所以要分情况进行讨论. 若正方形的水平放置的边长在直观图中对应边长为4,则原图中正方形的边长为4,故原图形的面积为42=16; 若正方形的竖直放置的边长在直观图中对应边长为4,则原图中正方形的边长为8,故原图形的面积为82=64. 综上,选C. 答案:C 纠错心得解决此类问题的关键在于准确把握斜二测画法规则,另外要注意边所在位置对直观图的影响,如果没有指明边所在的位置,就需要对其进行分类讨论.,1
13、,2,3,4,5,6,1.下面说法正确的是( ) A.水平放置的正方形的直观图可能是梯形 B.两条相交的直线的直观图可能是两条平行直线 C.互相垂直的两条直线的直观图仍然互相垂直 D.水平放置的平行四边形的直观图仍是平行四边形 解析:正方形的直观图中对应边互相平行,不可能是梯形,A错;两条相交的直线的直观图仍然相交,不可能平行,B错;互相垂直的两条直线的直观图可能不垂直,C错,只有D正确. 答案:D,1,2,3,4,5,6,2.如图所示,直观图ABC(其中ACOy,BCOx)所表示的平面图形是( ) A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析:由ACOy,BCOx,AC
14、B=45知,在原图形中,ACCB,故对应的平面图形为直角三角形. 答案:D,1,2,3,4,5,6,3.如图所示,每个选项的两个边长为1的正三角形ABC的直观图不是全等三角形的一组是( ),解析:分别画出该图形的直观图,比较即可看出. 答案:C,1,2,3,4,5,6,4.在棱长为4 cm的正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1在x轴上,棱AD在y轴上,则在其直观图中,对应棱AD的长为 cm,棱AA1的长为 cm. 解析:画直观图时,在x轴上的线段长度保持不变,故AA1=4 cm,在y轴上的线段长度变为原来的一半,故AD=2 cm. 答案:2 4,1,2,3,4,5,6,解:易知其直观图仍是一个梯形,两底边的长度相等, 原梯形的高在直观图中与Oy轴平行(与Ox轴成45角),长度变为,1,2,3,4,5,6,6.画出如图所示的RtABC的直观图.,画法:(1)画x轴和y轴,使xOy=45(如图所示). (2)在原图中作BDx轴,垂足为D(如图所示). (3)在x轴上截取OA=OA,OD=OD, 在y轴上截取OC= OC, 过D作BDy轴,使DB= BD. (4)连线成图(擦去辅助线),即ABC为RtABC的直观图(如图所示).,