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1、第12讲 函数与方程,1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数. 2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解.,1.函数的零点 (1)方程 f(x)0 有实根函数 yf(x)的图象与 x 轴有_,函数 yf(x)有零点.,交点,(2)如果函数 yf(x)在区间(a，b)上的图象是连续不断的， 且有 f(a)f(b)_0，那么函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点.一 般把这一结论称为零点存在性定理.,2.二分法,如果函数 yf(x)在区间m，n上的图象是一条连续不断的 曲线，且 f(m)f(n)0，通过不断地把函数 yf(x)的零
2、点所在的 区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零 点近似值的方法叫做二分法.,1.如图 2-12-1 所示的是函数 f(x)的图象，它与 x 轴有 4 个不 同的公共点.给出下列四个区间，不能用二分法求出函数 f(x)零,点的区间是(,),B,图 2-12-1,A.2.1，1 C.4.1,5,B.1.9,2.3 D.5,6.1,2.为了求函数 f(x)2x3x7 的一个零点，某同学利用计 算器得到自变量 x 和函数 f(x)的部分对应值如下表：,则方程 2x3x7 的近似解(精确到 0.1)可取为(,),A.1.32,B.1.49,C.1.4,D.1.3,C,3.(2017 年
3、山东济南历城区统测)已知函数 f(x)与 g(x)的图象 在 R 上不间断，由表知函数 yf(x)g(x)在下列区间内一定有,零点的是(,),A.(1,0),B.(0,1),C.(1,2),D.(2,3),解析：当 x1 时，f(1)g(1)0； 当 x0 时，f(0)g(0)0； 当 x1 时，f(1)g(1)0； 当 x2 时，f(2)g(2)0； 当 x3 时，f(3)g(3)0，,且函数 f(x)与 g(x)的图象在 R 上不间断，,由零点存在性定理可得，函数 y 在(0,1)内存在零点. 故选 B.,答案：B,包含 f(x)的零点的区间是( A.(0,1) C.(2,4),) B.(
4、1,2) D.(4，),C,考点1,函数零点的判定,例1：(1)若 abc，则函数 f(x)(xa)(xb)(xb)(x,),c)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间( A.(a，b)和(b，c)内 B.(，a)和(a，b)内 C.(b，c)和(c，)内 D.(，a)和(c，)内,解析：f(a)(ab)(ac)0；f(b)(bc)(ba)0，f(c) (cb)(ca)0，f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，所以两个零点分别 位于区间(a，b)和(b，c)内.故选 A.,答案：A,为_.,图 D15,答案：2,解析：方法一，由f 2(x)5f(x)40，得f(x)1或4.若f(x)1，当x
5、0时，即5|x1|11,5|x1|2，解得x1log52；当x0时，即x24x30，解得x1或3.若f(x)4，当x0时，5|x1|14，|x1|1，解得x0或2；当x0时，即x24x0，解得x4.故所求实根个数共有7个.故选D.,图 D16,方法二，由 f 2(x)5f(x)40，得 f(x)1 或 4.作出 f(x)的 图象如图 D16.由 f(x)的图象，可知 f(x)1 有 4 个根，f(x)4 有 3 个根.方程 f 2(x) 5f(x)40 有 7 个根.故选 D.,答案：D,【规律方法】判断函数yf(x)在某个区间上是否存在零点， 常用以下三种方法：当对应方程易解时，可通过解方程
6、，看 方程是否有根落在给定区间上如第(3)题；利用函数零点的 存在性定理进行判断如第(1)题；通过函数图象，观察图象 给定区间上的交点来判断如第(2)题.,考点2 根据函数零点的存在情况，求参数的值,答案：C,解析：g(x)f(x)xa0，得 f(x)xa.若 g(x)存在 2 个零点，即直线 yxa 与 f(x)的图象有 2 个交点.如图 D17， 实数 a 的取值范围是a1，a1.,图 D17,答案：C,考点3,二分法的应用,例3：已知函数 f(x)ln x2x6. (1)求证：函数 f(x)在其定义域上是增函数； (2)求证：函数 f(x)有且只有一个零点；,(1)证明：函数f(x)的定
7、义域为(0，)， 设x1x2，则ln x1ln x2,2x12x2. ln x12x16ln x22x26. f(x1)f(x2).f(x)在(0，)上是增函数.,【规律方法】(1)二分法是求方程根的近似值的一种计算方,法，它只能用来求函数的变号零点；,(2)给定精度，用二分法求函数yf(x)的零点近似值的步骤,如下：,确定区间m，n，验证f(m)f(n)0，给定精度； 求区间m，n的中点 x1；,计算f(x1)：)若f(x1)0，则x1 就是函数yf(x)的零点； ) 若f(m)f(x1)0，则令nx1 此时零点x0(m ，x1) ；) 若 f(x1)f(n)0，则令mx1此时零点x0(x1，n)；,判断是否达到精度：若|mn|，则得到零点近似值,m(或n)；否则重复步骤.,【互动探究】,答案：A,思想与方法 运用函数与方程的思想判断方程根的分布,例题：已知当x(1，)时，关于x的方程,xln x(2k)x k,1 有唯一实数解，则 k 值所在的范围是(,),A.(3,4) C.(5,6),B.(4,5) D.(6,7),答案：B,【互动探究】,答案：D,