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1、第四节 指 数 函 数(全国卷5年5考),【知识梳理】 1.有理数指数幂 (1)幂的有关概念: 正分数指数幂: = (a0,m,nN*,且n1). 负分数指数幂: = = (a0,m,nN*,且n1). 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂_.,没有意义,(2)有理数指数幂的性质: aras=_(a0,r,sQ); (ar)s=_(a0,r,sQ); (ab)r=_(a0,b0,rQ).,ar+s,ars,arbr,2.指数函数的图象与性质,上方,(0,+),单调递增,单调递减,y=1,0y1,y1,y1,0y1,【常用结论】 (1)指数函数的图象与底数大小的比较 在第一象限内,指数函数y
2、=ax(a0,a1)的图象越高,底数越大.,(2)指数函数y=ax(a0,a1)的图象和性质跟a的取值有关,要特别注意应分a1与0a1来研究.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”错误的打“”) (1) 与( )n都等于a(nN*). ( ) (2)2a2b=2ab. ( ),(3)函数y=32x与y=2x+1都不是指数函数. ( ) (4)若am0,且a1),则mn. ( ),提示: (1). (2).2a2b=2a+b. (3).由指数函数的形式定义知应满足的条件:系数为1,指数为x.底数a0且a1. (4).当a1时,由amn.,2.化简 (x0,y0)得 ( )
3、A.2x2y B.2xy C.4x2y D.-2x2y,【解析】选D.因为x0,y0,所以 =(16x8y4 =2x2|y|=-2x2y.,3.若函数y=(a2-1)x在(-,+)上为减函数,则实数a的取值范围是_.,【解析】由题意知0a2-11,即1a22, 得- a-1或1a . 答案:(- ,-1)(1, ),题组二:走进教材 1.(必修1P59A组T7改编)已知 则a,b,c的大小关系是 ( ) A.abc B.acb C.bac D.cba,【解析】选D.因为y= 是减函数, 所以 即ab1, 又c= =1,所以cba.,2.(必修1P56例6改编)若函数f(x)=ax(a0,且a1
4、)的 图象经过点P ,则f(-1)=_.,【解析】由题意知 =a2,所以a= ,所以f(x)= , 所以f(-1)= 答案:,考点一 指数幂的化简与求值 【题组练透】 1.若实数a0,则下列等式成立的是 ( ) A.(-2)-2=4 B.2a-3= C.(-2)0=-1 D.,【解析】选D.对于A,(-2)-2= ,故A错误;对于B,2a-3 = ,故B错误;对于C,(-2)0=1,故C错误;对于D.,2.计算: =_.,【解析】原式= 答案:,3.化简:,【解析】原式=,【误区警示】(1)分数指数幂中的指数不能随便约分, 例如要将 时必须认真考察a的取值才能决定, 如 (2)结果不能同时含有
5、根式和分数指数幂,也不能既有 分母又有负分数指数幂.,【规律方法】 指数幂运算的一般原则 (1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算. (2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.,(3)底数是负数,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数. (4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来解答.,考点二 指数函数的图象及其应用 【典例】(1)函数f(x)=ax-b的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是 ( ) A.a1,b1,b0 C.00 D.0a1,b0,(2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数
6、b的取值范围是_.,【解析】(1)选D.由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递减,所以0a1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax的基础上向左平移得到的,所以b0.,(2)f(x)=|2x-2|-b有两个零点, 等价于 有两个交点(如图),可知0b2. 答案:(0,2),【互动探究1】将本例(2)变为:函数y=ax- (a0,a1)的图象可能是 ( ),【解析】选D.当a1时函数单调递增,且函数图象过点 因为01- 1,故A,B均不正确;当0a1时, 函数单调递减,且函数恒过点 因为1- 0,所 以知D项正确.,【互动探究2】将本例(2)变为:若
7、曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范围是_.,【解析】曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示,由图可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b应满足的条件是b-1,1. 答案:-1,1,【规律方法】指数函数图象的画法(判断)及应用方法 (1)画(判断)指数函数y=ax(a0,a1)的图象,应抓住 三个关键点:(1,a),(0,1),(2)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得到其图象. (3)一些指数方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.,【对点训练】 1.函数f(x)=ax-1(a0
8、,a1)的图象恒过点A,下列函数中图象不经过点A的是 ( ) A.y= B.y=|x-2| C.y=2x-1 D.y=log2(2x),【解析】选A.易知A(1,1),经验证可得y= 的图象不经过点A(1,1).,2.方程2x=2-x的解的个数是_.,【解析】方程的解可看作函数y=2x和y=2-x的图象交点的横坐标,分别作出这两个函数图象(如图). 由图象得只有一个交点,因此该方程只有一个解. 答案:1,考点三 指数函数的性质及其应用 【明考点知考法】 指数函数的性质是高考的重点,主要考查利用函数的单调性比较大小或求最值,主要以选择题或填空题的形式呈现.指数函数的单调性是由底数a决定的,因此解
9、题时通常对底数a按01进行分类讨论.,命题角度1 指数函数单调性的应用 【典例】(1)已知f(x)=2x-2-x, 则f(a),f(b)的大小关系是_.,【解析】易知f(x)=2x-2-x在R上为增函数, 又a= 所以f(a)f(b). 答案:f(b)f(a),(2)设函数f(x)= 若f(a)1,则实 数a的取值范围是_.,【解析】当a-3, 所以-3a0; 当a0时,不等式f(a)1可化为 1,所以0a1. 故a的取值范围是(-3,1). 答案:(-3,1),【状元笔记】 利用单调性比较幂值大小的关注点 (1)比较指数幂的大小常利用指数函数的单调性及中间值(0或1). (2)利用指数函数的
10、单调性解不等式最重要的是“同底”原则.,命题角度2 探究指数型函数的性质 【典例】(1)(2017北京高考)已知函数f(x)=3x- , 则f(x) ( ) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数,【解析】选B.因为函数f(x)的定义域为R, f(-x)=3-x- 所以函数f(x)是奇函数. 因为函数y= 在R上是减函数,所以函数y=- 在R上是增函数. 又因为y=3x在R上是增函数, 所以函数f(x)=3x- 在R上是增函数.,(2)(2018潍坊模拟)函数f(x)= 的单调减区间为_.,【解析】设u=-
11、x2+2x+1, 因为y= 在R上为减函数,所以函数f(x)= 的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间.又u=-x2+2x+1 的增区间为(-,1. 所以f(x)的减区间为(-,1. 答案:(-,1,【状元笔记】 求解与指数函数有关的复合函数问题的策略 (1)明确复合函数的构成. (2)涉及值域,单调区间,最值等问题时,都要借助“同增异减”这一性质分析判断.,【对点练找规律】 1.(2016全国卷)已知 则 ( ) A.bac B.abc C.bca D.cab,【解析】选A.因为 函数f(x)= 在(0,+)上单调递增,所以 所以 bac.,2.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常
12、数),若f(x)在区间2,+)上单调递增,则m的取值范围是_.,【解析】令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间 上单 调递增,在区间 上单调递减.而y=2t在R上单调 递增,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在2,+)上单调递增, 则有 2,即m4,所以m的取值范围是(-,4. 答案:(-,4,3.已知实数a1,函数f(x)= 若f(1-a)= f(a-1),则a的值为_.,【解析】当a1时,代入不 成立.故a的值为 . 答案:,思想方法系列3指数函数中的分类与整合思想 【思想诠释】分类与整合就是所给变量不能进行统一研究时,要分类研究,再整合得到的结论.指数函数的单调性与底数的取值有关
13、,如果底数是字母时,常分情况讨论.解指数函数综合问题的两个注意点:,(1)指数函数的底数不确定时,应分a1和0a1两种情况讨论. (2)解决和指数函数有关的值域或最值问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法求解时要注意新元的取值范围.,【典例】已知函数f(x)= +b(a,b是常数且a0,a1) 在区间 上有最大值3和最小值 ,试求a,b的值.,【解析】令t=x2+2x=(x+1)2-1, 因为x ,所以t-1,0. (1)若a1,函数y=at在-1,0上为增函数, 所以at 依题意得,(2)若0a1,函数y=at在-1,0上为减函数, 所以at 依题意得 综上,所求
14、a,b的值为,【技法点拨】 本题易出现的错误有两个,一个是二次函数t=x2+2x在 区间 上的范围求错,直接将端点值代入,二是不 分类讨论,直接认为f(x)是单调递增函数.,【即时训练】 设a0且a1,函数y=a2x+2ax-1在-1,1上的最大值是14,求实数a的值.,【解析】令t=ax(a0且a1), 则原函数化为f(t)=(t+1)2-2(t0). 当00,且a1,所以a= .,当a1时,x-1,1,t=ax 此时f(t)在 上是增函数.所以f(t)max=f(a)= (a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,即a=-5或a=3, 又因为a0,且a1,所以a=3.综上得a= 或a=3.,