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1、第七节 函数的图象(全国卷5年5考),【知识梳理】 1.利用描点法作函数的图象的步骤 (1)确定函数的定义域. (2)化简函数的解析式.,(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等). (4)描点连线.,2.利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换:,f(x-a),f(x)+b,f(x),Af(x),-f(x),f(-x),-f(-x),f(|x|),|f(x)|,【常用结论】 1.关于对称的三个重要结论 (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称. (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.,(3)若函数y=f(x)的
2、定义域内任意自变量x满足: f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.,2.函数图象平移变换八字方针 (1)“左加右减”,要注意加减指的是自变量. (2)“上加下减”,要注意加减指的是函数值.,【基础自测】 题组一:走出误区 1.判断正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)当x(0,+)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同. ( ) (2)函数y=af(x)与y=f(ax)(a0且a1)的图象相同. ( ),(3)函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于原点对称. ( ) (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的
3、图象关于直线x=1对称. ( ),提示:(1).如f(x)=2x-x2时,|f(x)|=|2x-x2|与f(|x|)=2|x|-x2在(0,+)上的图象不同. (2).如f(x)=x2时,2f(x)=2x2与f(2x)=4x2的图象不相同. (3).函数y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称.,(4).若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a对称.,2.将函数y=f(-x)的图象向右平移1个单位长度得到函数_的图象. 【解析】图象向右平移1个单位长度,是将f(-x)中的x变成x-1. 答案:f(-x+1),3.若关于x的方程|x|=a-x只有
4、一个解,则实数a的取值范围是_.,【解析】在同一个坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知当a0时,方程|x|=a-x只有一个解. 答案:(0,+),题组二:走进教材 1.(必修1P35例5(3)改编)函数f(x)=x+ 的图象关 于 ( ) A.y轴对称 B.x轴对称 C.原点对称 D.直线y=x对称,【解析】选C.函数f(x)的定义域为(-,0)(0,+)且f(-x)=-f(x),即函数f(x)为奇函数,关于原点对称.,2.(必修1P23T2改编)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间后,为了赶时间加快速度行驶,与以上事件吻合得最好的图象是 (
5、),【解析】选C.小明匀速运动时,所得图象为一条直线,且距离学校越来越近,故排除A.因交通堵塞停留了一段时间,与学校的距离不变,故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶,故排除B.,3.(2015全国卷)已知函数f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4),则a=_. (源于必修1P82A组T10) 【解析】因为f(x)=ax3-2x的图象过点(-1,4), 所以4=a(-1)3-2(-1),解得a=-2. 答案:-2,考点一 作函数的图象 【题组练透】 (2018临沂模拟)分别作出下列函数的图象: (1)y=|lg x|.(2)y=2x+2.(3)y=x2-2|x|-1.,【解析】(1)y= 图
6、象如图所示. (2)将y=2x的图象向左平移2个单位.图象如图所示. (3)y= 图象如图所示.,【规律方法】作函数图象的两种常用方法 (1)直接法:当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征直接作出.,(2)图象变换法:若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序.,考点二 函数图象的识别与辨析 【典例】 (1)(2018安徽联考)函数y=log2(|x|+1) 的图象大致是 ( ),【解析】选B.y=log2(|x|+1)是偶函数,当x0时,y=log2(x+1)是增函数,其图象是由y=log2x的图
7、象向左平移1个单位得到,且过点(0,0),(1,1),只有选项B满足.,(2)(2018全国卷)函数f(x)= 的图象大致 为( ),【解析】选B.因为x0,f(-x)= =-f(x), 所以f(x)为奇函数,舍去选项A, 因为f(1)=e-e-10,所以舍去选项D; 因为f(x)=,所以x2,f(x)0, 所以舍去选项C.,【互动探究】将例(2)变为如下题目:下列四个函数中,图象如图所示的只能是 ( ) A.y=x+lg x B.y=x-lg x C.y=-x+lg x D.y=-x-lg x,【解析】选B.特殊值法:当x=1时,由图象知y0,而C,D 中y0,而A中 排除A.,【规律方法】
8、辨析函数图象的入手点 (1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置. (2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势. (3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.,(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复. (5)从函数的特征点,排除不合要求的图象.,【对点训练】 如图,矩形ABCD的周长为4,设AB=x,AC=y,则y=f(x)的大致图象为 ( ),【解析】选C.方法一:由题意得y= x(0,2)不是一次函数,排除A、B.当x0时,y2,故 选C. 方法二:由方法一知y= 在(0,1上是减函数, 在1,2)上是增函数,且不是一次函数.,考点三 函数图象的应用 【明考点知
9、考法】 函数图象的应用是每年高考的必考内容,多以选择题、填空题的形式出现,考查两图象的交点、函数性质、方程解的个数及不等式的解集等,难度中档或偏上.,命题角度1 利用图象研究函数的性质 【典例】已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是 ( ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-,0),【解析】选C.将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得 f(x)= 画出函数f(x)的大致图象,如 图,观察图象可知,函数f(x)为奇函数,且在(-1,1)上 单调
10、递减.,【状元笔记】 利用函数的图象研究函数的性质的四种对应关系 (1)图象的左右范围对应定义域. (2)上下范围对应值域. (3)上升、下降趋势对应单调性. (4)对称性对应奇偶性,命题角度2 利用图象解不等式问题 【典例】设奇函数f(x)在(0,+)上为增函数且f(1)= 0,则不等式 0的解集为 ( ) A.(-1,0)(1,+) B.(-,-1)(0,1) C.(-,-1)(1,+) D.(-1,0)(0,1),【解析】选D.f(x)为奇函数,所以不等式 0化为 0,即xf(x)0,f(x)的大致图象如图所示. 所以xf(x)0的解集为(-1,0)(0,1).,【状元笔记】 利用图象解
11、不等式的适用条件 当不等式问题不能用代数法求解,但其对应函数的图象可作出时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.,命题角度3 利用图象确定方程解的个数或函数零点个数问题 【典例】若定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),且当x0,1时,f(x)=x,则函数y=f(x)-log3|x|的零点个数是 ( ) A.多于4个 B.4个 C.3个 D.2个,【解析】选B.因为偶函数f(x)满足f(x+2)=f(x),故函 数的周期为2.当x0,1时,f(x)=x,故当x-1,0 时,f(x)=-x.函数y=f(x)-log3|x|的零点的个数等于函 数y=
12、f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象的交点个数. 在同一个坐标系中画出函数y=f(x)的图象与函数,y=log3|x|的图象,如图所示,函数y=f(x)的图象与函数y=log3|x|的图象有4个交点.,【状元笔记】 图象法解方程解(或函数零点)个数问题的步骤 (1)构造函数,转化为两函数图象的交点个数问题. (2)在同一坐标系中分别作出两函数的图象,数形结合求解.,【对点练找规律】 1.对于函数f(x)=lg (|x-2|+1),给出如下三个命题:f(x+2)是偶函数;f(x)在区间(-,2)上是减函数,在区间(2,+)上是增函数;f(x)没有最小值.其中正确的个数为 ( ) A.1
13、B.2 C.3 D.0,【解析】选B.因为函数f(x)=lg(|x-2|+1),所以函数f(x+2)=lg (|x|+1)是偶函数; 由y=lg x y=lg(x+1) 去掉y轴左侧的图象,以y轴为对称轴,作y轴右侧图象的对称图象得到,y=lg(|x|+1) y=lg(|x-2|+1), 如图,可知f(x)在(-,2)上是减函数,在(2,+)上是增 函数;由图象可知函数存在最小值为0.所以正确.,2.若当x(1,2)时,函数y=(x-1)2的图象始终在函数y=logax的图象的下方,则实数a的取值范围为_.,【解析】如图,在同一平面直角坐标系中画出函数 y=(x-1)2和y=logax的图象,
14、由于当x(1,2)时,函数 y=(x-1)2的图象恒在函数y=logax的图象的下方,则 解得1a2. 答案:(1,2,3.已知函数f(x)= 若方程f(x)-a=0有 三个不同的实数根,则实数a的取值范围是_.,【解析】画出函数f(x)的图象如图所示,观察图象可知,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,即函数y=f(x)的图象与直线y=a有三个不同的交点,此时需满足0a1. 答案:(0,1),思想方法系列6利用数形结合思想解题 【思想诠释】研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要明确参数对图象的影响,进行分类讨论.,利用函数图象解题的两个注意点: (1)识图:对
15、于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.,(2)用图:要用函数的思想指导解题,即方程问题函数解(方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标,或是方程变形后,等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标),不等式问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围).,【典例】函数f(x)的定义域为R,且f(x)= 若方程f(x)=x+a有两个不同实根,则a的取值范围是 _.,【解析】当x0时,f(x)=2-x-1, 当00时,f(x)是周期函数,如图,欲使方程f
16、(x)=x+a有两个不同实根,即函数f(x)的图象与直线y=x+a有两个不同交点,故a1,则a的取值范围是(-,1). 答案:(-,1),【技法点拨】利用函数的图象求参数的值或取值范围 已知方程解的个数求参数范围时,可将问题转化为两函数图象交点的个数问题,从而利用数形结合求解.,【即时训练】 已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是( ),【解析】选B.f(x)= 如图,作出y=f(x)的 大致图象,其中A(2,1),则kOA= .要使方程f(x)=g(x) 有两个不相等的实根,则函数f(x)与g(x)的图象有两个 不同的交点,由图可知 k1.,